LA. RÉACTION CONTRE JORDANTTS GUIDO UBALDO — BENEDETTI

§ i. Guido Ubaldo, marquis del Monte (1) (1 545-1607)

Dès les débuts de la Statique, nous avons pu observer, aux prises avec les difficultés de cette science, deux sortes d'esprits : l'esprit d'intuition et l'esprit de déduction. Nous avons vu Aristote ou l'auteur, quel qu'il soit, des Mrj^avtxà n^ozlr.u.y-y., jeter des regards profonds en la nature des principes qui doivent régir la science de l'équilibre, quitte à ne point ranger dans un ordre parfait les vues qu'il avait saisies. Nous avons vu Archimède, au contraire, s'efforcer de n'énoncer aucune proposition qui ne se déduise très rigoureusement de postulats clairs et explicitement énoncés.

Précieuse lorsqu'il s'agit d'ordonner et de classer des vérités acquises, la méthode impeccablement déductive du géomètre n'est point celle qui permet de pénétrer d'emblée au cœur d'un problème obscur et de saisir les principes de la solution. C'est l'intuition, et l'intuition seule, qui peut jeter son filet jusqu'au fond des abîmes inconnus et y draguer les vérités dont s'alimentera la science. Mais lorsque le filet est revenu à la surface, lorsqu'est répandue sur le rivage la pêche abondante où les vérités précieuses sont mêlées aux erreurs dangereuses, la déduction doit accomplir son triage minutieux et patient, choisir ce qui est bon, le purifier de toute

(I) D'autres auteurs orthographient autrement ce nom; M. Kavaro, notamment, écril : Gwdobaldo dal Monte; nous suivons l'orthographe adoptée par Pigafetta dans la traduction de la Mécanique qu'il publia en

Kisl, «lu vivant de l'auteur.

souillure, le ranger avec soin, et rejeter au loin ce qui est faux et mauvais.

Pendant deux mille ans, l'intuition à continué sans relâche sa pêche fructueuse ; elle peut être fière du butin qu'elle a rapporté ; la déduction n'est presque jamais venue à son aide. La plupart des vérités fondamentales de la Statique font partie de ce butin ; mais il est temps que la rigueur géométrique les choisisse, les sépare des idées fausses parmi lesquelles elles sont confondues, les étale en pleine lumière ; car, en présence de cet amas confus où le vrai et le faux sont entassés pêle-mêle, les meilleurs esprits hésitent, ne sachant ce qu'il convient de garder, ce qu'il faut rejeter.

Le triage confié à la méthode déductive est une opération nécessaire, mais qui doit être menée avec discernement et prudence. Les conquêtes les plus précieuses de l'induction n'éclatent pas toujours aux yeux, nettes et scintillantes ; la vase des fonds auxquels elles ont été arrachées les souille encore et les dissimule; le géomètre pressé et peu clairvoyant est exposé à prendre quelqu'une de ces vérités pour une proposition fausse ou inutile, à la rejeter avec mépris, alors qu'un labeur plus soigneux et mieux éclairé lui en eût fait reconnaître l'insigne valeur.

Trop souvent, l'étroit esse de l'esprit géométrique, en réputant fausses des propositions que l'intuition avait formulées, mais qu'elle n'avait pas suffisamment démontrées, a repoussé de fécondes vérités et retardé le progrès de la science. De cette étroitesse, nous allons trouver de remarquables exemples en étudiant la réaction qu'ont dirigée, contre l'École de Jordanus, Guido Ubaldo et Benedetti ; cette réaction, menée au nom de la rigueur déductive, va révoquer en doute presque tout ce que la méthode intuitive avait découvert, d'Aristote à Léonard de Vinci.

Au milieu du xvie siècle, d'ailleurs, l'esprit géométrique est particulièrement exalté. Les chefs-d'œuvre de la Science

grecque sont enfin étudiés d'après les textes originaux ; la rigueur et l'élégance que laissaient seulement soupçonner les versions arabes, se montrent en pleine lumière; Fappus, et surtout Archimède, dont les écrits sont demeurés longtemps inconnus, montrent que la méthode déductive peut être suivie avec autant de sévérité dans l'étude de la Mécanique que dans l'exposé de la Géométrie.

Assurément, l'analyse subtile que le grand géomètre de Syracuse avait employée pour déterminer certains centres de gravité ou certains centres de carène ne ravissait pas tous les suffrages. Ceux dont l'esprit se portait surtout vers les applications pratiques des mécaniques ne trouvaient pas que Le résultat obtenu valût l'effort fait pour l'obtenir. « Archimède, écrivait Cardan (1), a découvert deux raisons d'être du centre de gravité ; l'une a trait aux poids suspendus, l'autre aux corps flottants sur l'eau ; en chacune de ces inventions, comme en l'étude de l'hélice, on trouve toute la subtilité qu'il est juste d'attendre d'un auteur aussi illustre ; mais le fruit n'est pas proportionné a La peine; depuis l'époque d' Archimède jusqu'à nos jours, il ne s'est rencontré personne qui ait pu montrer quellesorte d'utilité se peut trouver en une telle contemplation. »

Les esprits amoureux de la beauté géométrique ne partageaient point les sentiments, empreints d'un utilitarisme quelque peu grossier, que professait Cardan. François Maurolycus de Messine (1494-1575) et Frédéric Commandin d'Urbin (i5oo,-i575) traduisaient et commentaient Archimède. Mieux encore : des méthodes créées par l'illustre Syracusain ils donnaient de nouvelles applications ; ils s'en servaient pour déterminer divers centres de gravité jusqu'alors inconnus. Terminées dès 1548, les recherches dirigées en ce sens par Maurolycus parurent seulement

il) Hieronymi Carda ni Mediolanensis civisque Bononiensis Opus novum de proportionibus numerorum... Proposilio CLXXV1, p. i(.»~: Basileae, MDLXX.

plus d'un siècle après sa mort (1) ; Commanclin vit les siennes imprimées durant sa vie (2). D'autres géomètres suivirent la même voie ; parmi ceux-ci, nous pouvons citer Luca Valerio (3), que Galilée nomme (4) le « second Archimède de son temps », et Guido Ubaldo.

De tels esprits, habitués aux minutieuses exigences de la méthode Euclidienne, devaient être violemment scandalisés à l'aspect des intuitions souvent profondes, mais presque toujours troubles et confuses, des grands mécaniciens du xme siècle. En l'œuvre que ceux-ci avaient laissée, la sagacité des géomètres eût pu trouver un emploi utile et fécond ; elle eût pu s'appliquer à séparer la vérité de l'erreur, à rejeter celle-ci, à affermir celle-là. Mais offusqués par l'erreur qui se manifestait avec évidence, les admirateurs d'Archimède se refusaient à reconnaître, dans la Statique du moyen âge, la très grande et très précieuse part de vérité qu'elle contenait. Leur sens critique, se changeant en esprit de dénigrement, rejetait pêle-mêle tout ce qu'avait produit l'Ecole de Jordanus.

Ainsi l'admiration que les mathématiciens du milieu du xvie siècle professèrent pour les œuvres achevées et parfaites des géomètres grecs eut, d'abord, cette singulière conséquence de faire reculer la Statique, de déterminer l'abandon de vérités acquises, qu'un labeur pénible, prolongé jusqu'au milieu du xviie siècle, parviendra seul à reconquérir.

Cette réaction, nous l'avons dit, est surtout l'œuvre de deux disciples également subtils d'Euclide et d'Archimède : Guido Ubaldo del Monte et Giovanni Battista Benedetti.

(1) Admiranda Archimedis monumenta omnia quœ exstant .. ex tradiiione D. Prancisci Maurolyei. Panormî, ap. Cyllenium Hispanicum, MDCLXXXV.

■2 Federici Commandini Liber de centro gravitatis solidorum, Bononise. MDLXV.

(5) Lucae Valerii De centro gravitatis solidorum libri III, MDCIV. (4) Galileo Galilei, Dialoghi délie Scienze nuove... Giornata seconda.

Guiclo Ubaldo, marquis del Monte, était un fort habile géomètre ; il maniait avec élégance les procédés chers aux maîtres de la géométrie grecque. Nous en avons pour garants son traité De la vis ( î ) et aussi ses recherches sur les centres de gravité (2) ; des quelques passages, intéressant la Mécanique, que renferment ces dernières, nous aurons à faire mention lorsqu'en un prochain chapitre (Chapitre XV, 3), nous étudierons le principe de Torricelli.

Son traité de Mécanique (3), qui eut une très grande vogue à la fin du xvie siècle et au début du xvne siècle, ne porte point seulement la marque de l'influence exercée par Archimède ; Guido Ubaldo connaît Pappus, qu'il cite dans sa Paraphrasis aux livres d'Archimède, et, par Pappus, les Mécaniques d'Héron d'Alexandrie dont un résumé termine les Collections mathématiques ; c'est sans doute à ce résumé qu'il emprunte l'énumération des machines simples dont l'étude compose son traité, énumération qui sera religieusement conservée jusqu'à nos jours.

L'œuvre accomplie en Mécanique par Guido Ubaldo est,

(1) Guidi Ubaldi c Marehionibus Montis De cochlea libri quatuor, superiorum permis?)] et privilegio. Venetiis, apud Evangelistam Dcuchinum, HDCXV.

(2) Guidi Ubaldi e Marehionibus Montis In duos Archimedis œquiponderantium libros paraphrasis, scholiis illustrata. Pisauri, apud Hieronymum Goncordiam, MDLXXXVIII.

(5) Guidi Ubaldi e Marehionibus Montis Mechaniconon liber, in quo hsec continentur : De libra, de vecte, de trochlea, de axe in peritrochio, de runeo, de cochlea. Superiorum permissu et privilegio. Pisauri, apud Hieronymum Concordiam, MDLXXVII. — Le même ouvrage a éié réimprimé : Venetiis, apud Evangelistam Deuchinum, MDCXV. — Il a été également traduit en italien, sous ce titre, d'une emphase curieuse: Le mechaniche dell' illustriss. Sig. Guido Ubaldo de Marchesi del Monte, tradotte in volgare dal Sig. Filippo Pigafetla. Nelle quali si contiene lavera dottrina di tutti gli istrumenli principaii di mover pesi grandissimi con picciola forza. A beneficio di chi si diletta di quesia nobilissima scienza : et massimamente di capiiani di guerra, ingegnieri, architetti, et d'ogni artelice, che intenda pei via di machine far opre maravigliose, e quasi sopranaturali. Et si dichiarano i vocabili, et luoghi piu difficili. In Venelia, appresso Francesco di Franccschi Sanese, MDLXXXI. — Une deuxième édition de cette traduction a paru à Venise en MDCXV.

bien moins que son œuvre de géomètre, propre à servir sa renommée. Nul écrit n'est plus capable de marquer à quel point le souci exagéré de la rigueur déductive peut aveugler l'esprit et lui faire méconnaître les plus précieuses vérités. Intelligence pointilleuse, Guido Ubaldo prend des vétilles pour de graves erreurs ; il reproche sévèrement à ses prédécesseurs d'avoir toujours traité les verticales issues des divers points d'un levier ou d'une balance comme des lignes parallèles entre elles ; or, il commet des inexactitudes lorsqu'il veut tenir compte de leurs mutuelles inclinaisons et, d'ailleurs, dans la plupart des applications, il néglige, lui aussi, ces inclinaisons.

C'est à l'encontre de l'Ecole de Jordanus que s'exerce surtout sa sévérité; dès le début de son ouvrage, il se propose de reprendre la théorie de la balance « car, dit-il (1), il est étonnant de voir les ruines qu'ont accumulées en cette question Jordanus, qui a joui d'une grande autorité auprès des géomètres modernes, et les autres auteurs qui se sont proposé de discuter ce problème ».

Jordanus a faussement énoncé qu'un levier de bras égaux, aux deux extrémités duquel pendent des poids égaux, se trouvait en équilibre stable ; Guido Ubaldo déclare avec raison qu'un tel équilibre est indifférent. « Mais, ajoute-t-il (2), quelques géomètres professent, au sujet de cette affirmation, une opinion différente au nom de laquelle ils lui objectent plusieurs considérations ; il sera donc nécessaire de s'arrêter quelque temps à ce point ; et je tenterai de défendre, dans la mesure de mes forces, non seulement mon propre avis, mais Archimède luimême, qui semble avoir été du même avis ». En regard de cettf déclaration, une manchette porte ces indications : - Jordanus, de ponderibus ; Hieronvmus Cardanus, de subtilitate ; Nicolaus Tartalea, de quœsitis ac inventionïbus ».

(1) Guidi Ubaldi Mecanicoram liber, ad Franciscum Mariam II, Urbinatum ducem, pnefaiio.

i Guidi Ubaldi Mecanicorum liber, de libra, Propositio IV.

La proposition incriminée par Guido Ubaldo est sûrement inexacte ; mais elle constitue une application illégitime d'un lemme très juste et très fécond : Lorsqu'un bras de levier, dont l'extrémité porte un fardeau, tourne autour de son point d'appui, la gravité secundum situm du fardeau est d'autant plus petite que le levier est plus près d'être vertical. Cette proposition fondamentale, Guido Ubaldo n'ose la révoquer en doute ; mais il accumule les critiques contre la démonstration que ses prédécesseurs en ont donnée.

Parmi ces critiques, il en est de tout à fait ridicules ; tel le reproche de ne point tenir compte, en ce problème, de la mutuelle inclinaison des verticales.

D'autres objections, mieux fondées en apparence, n'eussent cependant pas arrêté longtemps un esprit plus clairvoyant et moins malveillant.

Ainsi, Jordanus et ses successeurs, pour déterminer le rapport entre la gravité véritable d'un poids et sa gravité secundum situm, supposent que le poids descende le long d'un certain arc et comparent la longueur de cet arc à la longueur qu'il prend du direct; or le rapport de ces deux longueurs change selon que l'on considère un arc plus ou moins long. « Si ce raisonnement était vrai, un même poids, dans une même situation, serait tantôt plus lourd, tantôt plus léger, selon que l'on considérerait d'une manière o.i d'une autre sa façon de se comporter en cette même situation ; cela est impossible. » La contradiction n'est qu'apparente ; pour connaître le rapport entre la gravité réelle et la gravité de situation, il faut prendre le rapport limite entre l'arc parcouru et sa projection* sur la verticale lorsque Varc est infiniment petit ; Jordanus l'avait indiqué aussi clairement qu'on le pouvait attendre d'un auteur du xme siècle ; et le Précurseur de Léonard l'avait plus qu'indiqué en un passage reproduit aux Quesiti de Tartaglia ; bien loin qu'il dût repousser une considération de ce genre, Guido Ubaldo, rompu à la méthode des limites

par l'étude des écrits d'Achimède, semblait désigné pour la tirer tout à fait au clair.

Bien au contraire, il rejette résolument toute détermination de la gravité secundum situm tirée de l'obliquité de la trajectoire : « L'esprit ne saurait être en repos, tant qu'on n'aura pas assigné aux variations de cette gravité une cause autre que celle-là ; il semble, en effet, que c'en soit le signe plutôt que la vraie raison. Cette variation provient d'une raison autre que celle que l'on tire du mouvement plus ou moins droit ou oblique. »

Quelle est donc cette raison, qui a échappé à l'École de Jordanus ?

Jïg. 61.

Considérons en D (fig. 6i) un poids mobile sur une circonférence dont le plan est vertical. S'il était libre et débarrassé de toute entrave, il tomberait tout droit par la verticale DS (i). Il en est empêché par le rayon CD qui

(1) Nous négligeons à dessein, en exposant le raisonnement de Guido Ubaldo, la convergence des verticales, dont l'auteur s'embarrasse.

l'oblige à se mouvoir suivant la circonférence, « qui le pousse, en quelque sorte, et qui, en le poussant, soutient partiellement ce poids. Ainsi les lignes CD, CL résistent au poids pour une part, mais non pour une part égale, r, Chacune d'elles résiste d'autant plus qu'elle fait avec la verticale un angle plus aigu. En F, où le rayon coïncide avec la verticale, cette résistance annule tout à fait la gravité du mobile. « La ligne CD résiste moins au poids placé en D que la ligne CL ne résiste au- poids placé en L. La ligne CD supporte donc moins que CL ; le poids est plus libre en D qu'en L... C'est pourquoi il est plus posant en D qu'en L... Ainsi donc un même poids peut, par l'effet de la situation qu'il occupe, être plus lourd ou plus léger ; non pas que, par l'effet de cette situation, il acquière réellement une gravité nouvelle ou qu'il perde de sa gravité première ; car il garde toujours la même gravité, en quelque lieu qu'il se trouve; mais parce qu'il pèse plus ou moins sur la circonférence. »

Ces considérations renferment assurément une idée juste ; lorsqu'un poids est assujetti à glisser sur une certaine trajectoire, il convient de considérer non seulement la composante du poids suivant la tangente à cette trajectoire, mais aussi la composante de la même force suivant la normale au chemin que le mobile est contraint de décrire. Cette pensée, d'ailleurs, s'était déjà présentée, sous maintes formes différentes, à l'esprit de Léonard de Vinci, et Guido Ubaldo ne fait que la retrouver.

Mais, ce point accordé, on ne voit nullement pourquoi il serait plus logique et plus naturel de déterminer en premier lieu la composante normale plutôt que la composante tangentielle ; on ne voit pas que les considérations i cposé< - par Guido Ubaldo lui fournissent une détermi nation quantitative de la composante normale ; enfin on ne voit pas comment, dans l'ignorance de toute règle de la composition des forces, notre géomètre pourrait tirer,

de la connaissance de la composante normale, la connaissance de la composante tangentielle.

A quel point les opinions de Guido Ubaldo touchant la composition des forces sont encore vagues et erronées, on en jugera par le passage suivant :

Si le bras de balance OD (fig. 62) est plus long que le bras OC, un poids placé en 0 sera plus lourd s'il pend à l'extrémité du premier bras qu'à l'extrémité du second « car la descente du poids sera plus proche du mouvement

Jfg. 62

naturel par la circonférence OH que par la circonférence OG. Si donc le centre de la balance est placé en D, le poids sera plus libre et moins lié que si le centre était placé en C ; partant, il sera plus lourd. »

Le P. Mersenne, qui reproduit (1) ce raisonnement en une de ses additions aux Méchaniques de Galilée, ajoute : « Aristote croit que la raison en doit estre prise de ce que le centre empesche plus les poids prochains que les éloignez, dautant qu'il les contraint davantage, et leur communique tant qu'il peut son immobilité... Ce que l'on

(1) Les Méchaniques de Galilée, mathématicien et ingénieur du duc de Florence, avec plusieurs additions rares et nouvelles, utiles aux architectes, ingénieurs, fonteniers, philosophes et artisans ; traduites de l'italien par L. P. M. M. (le P. Mersenne, Minime). À Paris, chez Henry Guenon, MDCXXX1V; 2e addition, p. 23.

peut aysément appliquer à l'approche ou à la distance des créatures d'avec la perfection divine, laquelle rend les créatures raisonnables dautant plus fixes et immobiles dans sa grâce et dans la ferme résolution du bien, qu'elles s'en approchent plus près. »

C'est avec raison que le P. Mersenne rapproche ici la pensée de Guido Ubaldo de celle d'Aristote ; le raisonnement que nous avons cité s'inspire de certains passages, et non des meilleurs, des M/i/anxà npoêA^ara ; c'est par le canal du commentateur péiïpatéticien de Jordanus ou des Quesiti de Tartaglia que le Marquis del Monte reçoit cette inspiration ; la malveillance de son sens critique à l'égard de l'Ecole de Jordanus ne le garde pas toujours des pires défaillances de cette Ecole.

D'ailleurs, si certains raisonnements touchant la gravité de situation gardaient encore comme un reflet de la grande vérité découverte par Jordanus, ce reflet ne tarde pas à s'effacer complètement dans l'intelligence, éprise de fausse rigueur, de Guido Ubaldo. Ce géomètre en vient à méconnaître (1) la notion même de moment d'un poids par rapport au point de suspension d'un levier : « Si une puissance soutient, par' V intermédiaire d'un levier, dit-il, an poids dont le centre de gravité se trouve sur le levier, lu puissance nécessaire pou?' soutenir le poids demeurera la même, quelque position que le levier fasse prendre au poids .

r> Je dis que la même puissance appliquée soit en K, soit en B, soit en G, (fîg. 63) soutiendra toujours le même poids. Car, par rapport au levier AB, le poids se comporte comme s'il était pendu en E ; et, par rapport au levier GF, comme s'il était pendu en L ; et, par rapport au levier HK, comme s'il était pendu enM. »

Lorsque le centre de gravité du poids fixé au levier se trouve hors du levier, la grandeur de la puissance dépend

(\) Guidi Ubaldi Mecanicorum liber, de vecie, Propositio X.

de l'inclinaison du levier suivant une règle qui change de sens selon que le centre de gravité est au-dessus ou audessous du levier. Toujours, le poids fixé au levier agit comme s'il était pendu à ce levier au point où se projette son centre de gravité.

Si l'on entend par puissance un poids pendu à l'extrémité du levier, la proposition de Guido Ubaldo est exacte, car l'inclinaison du levier diminue dans le même rapport le moment de ce poids et le moment du poids soulevé. Elle devient fausse, au contraire, si la puissance demeure

fig.63.

toujours normale au bras de levier ; tel l'effort exercé par la main du manœuvre. Or tout, dans l'écrit de Guido Ubaldo, semble indiquer que ce géomètre entend le mot puissance au second des deux sens.

En effet, si le mot puissance avait pour lui le même sens que le mot poids suspendu, on ne s'expliquerait pas pourquoi il distingue le levier de la balance, fléau rectiligne et sans pesanteur aux extrémités duquel pendent deux poids ; pourquoi, après avoir donné, à la manière d'Archimède, la théorie du second de ces instruments, il croit devoir établir spécialement les lois du premier ; pourquoi, en la déduction qui étend à un levier horizontal les lois de la balance, il prend soin de préciser qu'il substitue à la puissance un poids suspendu de même grandeur

qui. dans ces conditions, lui est sûrement équivalent ; pourquoi, enfin, les figures, qui portent toujours le dessin d'un poids suspendu lorsque Guido Ubaldo raisonne d'un tel poids, marquent seulement le point d'application de la puissance, lorsque c'est de cette notion qu'use la déduction.

Il semble donc qu'en la Mécanique de Guido Ubaldo comme, plus tard, dans les écrits de Descartes, la puissance appliquée au levier soit une force perpendiculaire à la direction du bras de levier ; dès lors, sa théorie du levier serait gravement erronée (1).

Remarque piquante ! L'auteur qui professait cette théorie a passé, et passe encore, auprès de bon nombre de mécaniciens, pour l'inventeur de la notion de moment ; cette réputation usurpée, il la doit à un passage de la Mécanique analytique de Lagrange. Voici ce passage (2).

«... C'est ce qu'on appelle maintenant le principe des momens, en entendant par moment le produit d'une force par le bras de levier sur lequel elle agit ... Ce principe général suffit pour résoudre tous les problèmes de Statique. La considération du treuil l'avait fait apercevoir dès les premiers pas que l'on a faits après Archimède dans la théorie des machines simples, comme on le voit par l'ouvrage du Guide Ubaldi, intitulé Mecanicorum

(1) Les géomètres qui onl reproduit la théorie de Guido Ubaldo ont eu soin de la préciser et de la corriger sur ce point. Pierre Herigone (a) entend par puissance un poids suspendu au bras du levier, ainsi que le montrent les figures dont il fait usage; les théorèmes de Guido Ubaldo deviennent alors exacts. Plus soigneux encore, Jacques Rohault, dans son traité posthume (b). traite séparément le cas où la puissance est représentée par un poids pendant librement et le cas où elle demeure toujours perpendiculaire au bras de levier. Le soin que ces auteurs ont pris de préciser la pensée «le Guido Ubaldo montre assez combien celle-ci était incertaine, sinon erronée.

(2) Lagrange, Mécanique analytique, lre partie, Section 1, sur les différents principes de la statique, art. i

(a) Pierre Herigone, Cours de Mathématique, t. 111; les Méchaniques, Proposition VI. Paris, 1034.

(6) Œuvres posthumes de M. Rohault (publiées par Clerselier). Traité deç Méchaniques, Proposition XI Paris, 1682.

liber, qui a paru à Pesaro en 1 577 ; mais cet auteur n'a pas su l'appliquer au plan incliné, ni aux autres machines qui en dépendent, comme le coin et la vis, dont il n'a donné qu'une théorie peu exacte. «

Rien dans ce que Guido Ubaldo dit du treuil ne justifie cette opinion de Lagrange ; en voici , d'ailleurs , une autre (1), du même auteur, qui n'est pas moins favorable à Guido Ubaldo et qui n'est guère mieux fondée :

« Pour peu qu'on examine les conditions de l'équilibre dans le levier et dans les autres machines, il est facile de reconnaître cette loi, que le poids et la puissance sont toujours en raison inverse des espaces que l'un et l'autre peuvent parcourir en même temps ; cependant, il ne paraît pas que les anciens en aient eu connaissance. Guido Ubaldi est peut-être le premier qui l'ait aperçue dans le levier et dans les poulies mobiles ou moufles. Galilée l'a reconnue ensuite... »

En fait, la loi dont parle ici Lagrange était connue depuis Aristote ; elle était d'un usage banal auprès des géomètres de l'Ecole d'Alexandrie comme auprès des mécaniciens du moyen âge ; Jordanus avait montré comment il convenait de la modifier pour l'appliquer correctement au levier droit ; le Précurseur de Léonard de Vinci en avait tiré la théorie du levier coudé et du plan incliné ; 1 .éonard de Vinci et Cardan en avaient fait l'application aux moufles, aux vis, à une foule de machines ; il eût été bien surprenant que Guido Ubaldo l'ignorât.

Guido Ubaldo connaît donc cette loi, non point sous la forme achevée que lui avaient donnée Jordanus et le Précurseur de Léonard de Vinci, mais sous la forme où la présentaient les Quœstiones mechanicœ d'Aristote. D'ailleurs, il se garde bien d'y voir le principe d'où doit découler la Statique tout entière ; il la relègue au rang de remarque ou de corollaire.

(1) Lagrange, loc. cit., art. 16.

Guido Ubaldo, par exemple, établit la loi d'équilibre du levier par des artifices imités d'Àrchimède ; cette loi une fois connue, il en déduit que la puissance capable de soutenir un poids est à ce poids comme sont entre eux, dans la rotation du levier, les trajets décrits par les extrémités ; il ajoute ce corollaire (1 ) : « Il est manifeste par là que le rapport du trajet de la puissance mouvante au trajet du poids mû est plus grand que le rapport du poids à la puissance. En effet, le trajet de la puissance est au trajet du poids comme le poids est à la puissance qui le soutient ; mais la puissance capable de soutenir le poids est moindre que la puissance capable de le mouvoir » . Le poids agit toujours suivant la verticale, tandis que, pour Guido Ubaldo, la puissance est probablement normale au levier; le rapport de ces deux forces capables de s'équilibrer change suivant l'inclinaison du levier ; mais Guido Ubaldo, nous l'avons vu, paraît avoir nié ce changement. D'autre part, une saine intelligence des principes de la Mécanique exigerait que l'on comparât au trajet décrit par le point d'application de la puissance non pas le trajet décrit par le point d'application du poids, mais la projection de ce trajet sur la verticale ; Guido Ubaldo ne se soucie point de cette distinction. On voit combien ses idées au sujet du rapport qui existe, en toute machine, entre le travail moteur et le travail résistant sont encore vagues et peu sûres.

Les difficultés qu'offre l'application do cette loi au levier ne se présentent plus lorsqu'il s'agit de poulies ou de moufles qui soulèvent verticalement un poids à l'aide d'une puissance tirant toujours dans une même direction; la, la puissance est au poids qu'elle équilibre comme le trajet parcouru par le poids est au trajet décrit par la puissance. Guido Ubaldo pourra donc appliquer correcte-

(1) (iuidi Ubalcii Mecanicorum liber, de vecte, Propositio III.

ment à ces machines la loi en question (1); mais, pas plus qu'il ne l'a fait pour le levier, il ne la prendra pour principe de leur théorie. Il ramènera l'étude de chaque groupement de poulies à l'analyse d'un certain assemblage de leviers ; puis, une fois établie la condition d'équilibre de la moufle considérée, il déduira de cette condition la remarque qu'entre un poids et la puissance qui le soutient, il y a même rapport qu'entre le chemin parcouru par la puissance et le chemin parcouru par le poids. Fastidieusement, ce corollaire reviendra après l'étude de chaque sorte de moufle. D'ailleurs, comme il faut, selon Guido Ubaldo, une plus grande puissance pour mouvoir un poids que pour le tenir en équilibre, il ajoutera (2) : « Il est manifeste par ce qui précède que le rapport du trajet de la puissance mouvante au trajet du poids est toujours plus grand que le rapport du poids à la puissance mouvante. »

En la Mécanique péripatéticienne, il était naturel de considérer avant toutes choses le rapport des vitesses entre la puissance mouvante et le poids mû ; Guido Ubaldo attache surtout son attention au rapport des trajets que ces deux forces parcourent en même temps ; bien que les deux rapports soient égaux entre eux, il y a là un changement de point de vue qui mérite d'être signalé ; la Statique de Guido Ubaldo, en effet, a sûrement influé sur Descartes qui, si nettement, a proclamé la nécessité de considérer non point les v itesses virtuelles, mais les déplacements virtuels.

Ce n'est pas à dire que Guido Ubaldo, dans l'étude des machines, laisse entièrement de côté, comme l'exigera Descartes, la considération des vitesses ou des durées de transport ; mais cette considération, il la rejette au dernier plan ; c'est, par exemple, tout à fait à la fin de son

(l) Guidi Ubalcli Mecanicorurn liber, de irochlea, Propositiones X ad (2i lil., ibid., do trochlea, Proposilio XXVI, Coiollarium.

étude des poulies et des moufles qu'il formule la proposition suivante (i) : - 11 est manifeste par ce que nous avons dit que plus un poids est mû facilement, plus il faut de temps pour le mouvoir ; que plus il est difficile à mouvoir, plus il est mû rapidement. »

La théorie du treuil (2) est construite sur le même plan que la théorie des assemblages de poulies; elle se termine par l<^s mêmes comparaisons entre le trajet décrit par la puissance mouvante et le trajet décrit par le poids mû ; entre l'aisance avec laquelle on meut un poids el le temps qu'il faut pour le mouvoir ; ici encore, ces comparaisons sont données comme des corollaires de la condition d'équilibre du treuil, et non comme des principes d'où se puisse tirer cette condition d'équilibre.

Après avoir sommairement ramené (3) l'étude du coin à la théorie du levier, Guido Ubaldo réduit (4) la vis à une combinaison du levier et du plan incliné. Cette réduction est obtenue exactement, mais le marquis del Monte n'en saurait tirer une théorie satisfaisante de la vis, car il s'attache à la loi du plan incliné qu'a formulée Pappus. En effet, l'une des pires conséquences de la réaction immodéque l'admiration exclusive des anciens provoqua contre la Statique du xme siècle fut le retour à la théorie de Pappus, théorie si essentiellement opposée aux principes de l'École de Jordanus, puisqu'elle attribue à un corps mobile sur un plan horizontal une gravité secundum situm, bien que son trajet ne prenne nullement du direct. La doctrine de Pappus rentra si bien en laveur auprès des géomètres que Galilée eut peine à la faire de nouveau rejeter, à établir que la moindre force suffit à mouvoir un corps sur un plan horizontal parfaitement poli. La loi

(1 Guidi Ubaldi Mecanicorum liber, de trochlea, Propositio XXVIII, Corollarium il.

i2) id , ibid , de axe in peritrochio. (3) ld., ibid , de cuneo.

(i) ld., ibid , de cochlea.

du plan incliné formulée par Pappus ne peut donner de la vis qu'une théorie inexacte ; aussi est-ce sans aucune démonstration que Guido Ubaldo énonce ce corollaire : « Il est manifeste par ce qui précède que plus les tours de l'hélice sont nombreux, que plus les manivelles ou bras de cabestan sont longs, plus le poids est mû facilement, mais lentement. »

Œuvre parfois erronée, toujours médiocre, la Mécanique de Guido Ubaldo est souvent en recul sur les idées qu'avaient publiées les écrits de Tartaglia et de Cardan. Il nous fallait cependant l'étudier en détail, car elle eut grande vogue à la fin du xvie siècle et au commencement du xviie siècle ; bien souvent, nous aurons à noter l'influence qu'elle exerça sur les écrits composés à cette époque.