Le LIBER CHARASTONis, pubUé par Thâbit ibn Kun^ah

La plupart des bibliothèques ( i ) possèdent un ouvrage manuscrit intitulé : Liber Charasionis , editus a Tebit filio Cor ce.

Le nom de l'éditeur, ou mieux du commentateur, est celui d'un des géomètres arabes les plus illustres. Grâce à Wùstenfeld (2), nous possédons sur sa vie un certain nombre de détails précis.

Thâbit ibn Kurrah ibn Marwân ibn Kârâya ibn Ibrahim ibn Mariscos ibn Salamanos (Abu al Hasan) al Harrani naquit en 836 à Harrân, en Mésopotamie. Il fut

(1) J*ai pu trouver cet écrit dans cinq recueils appartenant au fonds latin de la Bibliothèque Nationale, savoir les Mss. 7310, 7377 B, 7434, 8080 A, i0260. Steinschneidor (a) en a trouvé un exemplaire dans le Ms. n® 184 de la Bibliothèque du couvent si-Marc de Florence et en a publié le commencement et la fin. M. Maximilien Curtz^ (b) a signalé la présence du même écrit dans deux Mss. de la Bibliothèque Vaticane, le Ms. Regina Suecorum 1235 et le Ms. 2975. 11 l'a retrouvé dans lo Ms. R. 40 2 de la Bibliothèque de gymnase de Thorn ; d'après ce dernier exemplaire, il a publié les énoncés des théorèmes. Nous nous proposons de donner une édition du traité complet.

(a) Steinschneider, Intorno al Liber Karastonis. Lettera a D. Baldnssare Boncompagni (Annali di Matematica, t. V, 1863, p. 54).

(b) Maximilian Curlze, Ueber die Handschrift R. 4° 2 : Problematum Euclidis explicatio des KônigL Gymnasial Bibliothek zu Thorn (Zeitschrift pur Mathematik und Physik, xiu^^r Jahrgang. Supplément, p. 45. 1868).

i2) Wiistenfeld, Geschichte der Arabischen Aerzte und Naturforscher. Sr. 20, n« 71 ; Gôliingen, 1840. — Cf. Moritz Cantor, Yorlesungen aber Geschichte der Mathematik, Bd. J, p. 603 ; Leipzig, 1880.

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d'abord changeur, puis se consacra à la science. Il acquit, à Bagdad, une grande réputation de mathématicien et d'astronome, en môme temps qu'il s'adonnait à l'étude de la langue grecque, dont il parvint à faire usage aussi aisément que de l'arabe et du syrien. Cette parfaite entente du grec lui permit de traduire et de commenter les œuvres des princes de la science hellène, d'Apollonius de Perga, d'Euclide, d'Archimède, de Plolémée et de C Théodose. 11 produisit également un grand nombre d'œuvres originales en Arithmétique, en Géométrie, en Astro- ^*/^^<i OiAJi^ nomie et en Astrologie. Au bout d'un certain temps, il

revint à Harrân, sa ville natale ; là, des épreuves l'attendaient ; il appartenait, en effet, à la secte des Sabians ;

^^ li^"^\AÀL\ -- '^^^^' comme il prétendait s'affranchir de certaines doc-

y, I trines ou de certaines pratiques, il fut excommunié. Il

'^^^^ revint alors à Bagdad, qu'il ne quitta plus. Le Khalife

-KAK^^v> ^ ^ Alrau'tadid (892-902) l'avait en grande considération et

/ l'honorait de son commerce le i)lus intime. Tâbit ibn

Kurrah mourut à Bagdad en 901.

Nous sommes donc exactement renseignés sur l'auteur du commentaire qui va nous occuper ; le traducteur même nous est probablement connu. Selon le prince Boncompagni (i), Gérard de Crémone (1 1 14-1 187) avait traduit de l'arabe en latin un Liber Carastonis. Steinschneider (2) a fort justement pensé que cette traduction était celle dont nous possédons de si nombreux exemplaires.

Mais si nous cormaissons avec certitude l'auteur de notre commentaire et avec probabilité le traducteur de cet écrit, notre embarras devient extrême lorsqu'il s'agit d'en interpréter le titre. Comment devons-nous traduire Liber Charastonis ? Faut-il écrire le livre de Charaston ou le livre de la balance ? Charasto est-il le nom d'un géomètre grec ou le nom arabe de la statera des latins, de notre balance

(1) B. Boncompagni, Délia vita e délie opère di Gherardo Cremonese, Rome. 1851.

(2j Steinschneider, loc. cit.

romaine ? Les deux opinions ont eu leurs tenants et le choix est malaisé.

Les copistes qui ont reproduit la version attribuée à Gérard de Crémone ont tous pris Charasto, Carasto, Kariisto ou Baracto (car toutes ces orthographes se rencontrent, parfois mêlées en une même copie) pour le nom d'un auteur. L'initiale majuscule du nom ne le marque pas moins que la forme de la phrase qui annonce le commencement ou la fin du livre : Incipit liber Karastotii de ponderibris^ dit le Ms. lo 260 (latin) de la Bibliothèque Nationale.

Parfois même, le copiste a cherché à deviner quel pouvait être ce géomètre ; ainsi, la Bibliothèque Nationale conserve, sous le n° ySio (latin), un manuscrit qui porte la date de 1604 ; ce manuscrit, dont les pièces paraissent avoir été copiées sur les pièces semblables coritenues au Ms. 10 260, renferme, en particulier, le Liber Char a stonis. Le scribe auquel nous devons ce recueil avait d'abord libellé le titre de la manière suivante : Incipit liber Barao tonis de ponderibtis ; puis, ne connaissîint aucun géomètre grec qtii répondît au nom ainsi déformé, il biffii Baractonis pour y substituer Erittosthenis, laissant ensuite Baracto, Carasto, Karasto et Charasto se partager ses préférences au cours du texte. Ces orthographes diverses ont d'ailleurs frappé un annotateur qui, au verso du premier feuillet, a écrit ces mots : « Eratostheyiis , sic legitur in litulo. Verum, initio libri, auctor ex quo translatus est nominatur aliter et, versus finem, diserte dicitur Charaston. -^ L'annotateur considérait donc Charaston comme l'auteur dont Thâbit ibn Kurrah avait commenté l'œuvre.

Cette opinion a encore été partagée par des bibliographes modernes ; Heilbronner (1), en un de ses Index, fait figurer Carasto comme un nom d'auteur, et Hammer, dans son histoire de la littérature arabe, interprète de

(1) Heilbronner, Historia Matheseos universae, Lipsiae, 1742; Index IIU

même les mots Kitâb el Karstûn que les traducteurs latins ont rendus par Liber Karastonis.

Cette opinion, selon M. Steinschneider (i), serait fort analogue à Terreur du singe qui prenait le Pirée pour un nom d'homme ; Karastûn ne serait qu'une altération du mot arabe JTar^/^n; selonFleicher,cité parSteiuschneider, ce mot peu usité, et venu, peut-être, par l'intermédiaire du syriaque, du mot grec x"P, ^nain, signifierait la balance romaine; Kitâb el Karstûn, libei^ Karastonis, devrait se traduire non le livre de Charaston, mais le livre de la romaine.

L'interprétation du mot Karaston, proposée par M. Steinschneider. a été adoptée par M. Heiberg (2) et par M. Maximilien Curtze (3). Selon ce dernier auteur, le Traité de la balance exhumé par M. Woepcke et attribué par lui à Euclide, tandis que certains manuscrits en font une œuvre des trois frères, serait identique au Kitâb el Karstûn composé par les Benî Moûçâ, et dont M. Steinschneider signale l'existence d'après Casiri et d'après Hammer ; eii outre, la comparaison du Liber Karastonis de Thâbit avec le Thmté de la balance traduit par I)*" Woepcke montrerait, dans le premier de ces deux ouvrages, un simple développement du second.

La lecture du Liber Karastonis serait peut-être (je ne sais si les érudits s'en sont doutés) le meilleur moyen de tirer au clair cette question.

Qu'à la fin de cet écrit, le mot Charasto ou Karasto soit pris dans le sens de balance romaine, cela ne saurait faire l'ombre d'un doute. Après avoir montré comment on pourra calculer le poids du plateau qui, pendu au petit

(1) Steinschneider, Intomoal Liber Karastonis, Lettera a D. Baldas* sare Boncompagni (Annau di Matenatica, t. V, 1865, \), 54).

(âi Heiberg, LitterargeschichtUche Studien iXber Buklid, Leipzig, i882, p. 11.

(3} Maximilian Curtze, Das angebliche Werk des Euhlides iJiber die Waage (Zëitschkift fur Matuematik und Puysik, xix«r'Jahrgang, p. 263 ; 1874).

bras de la romaine, compensera l'excès de pesanteur du grand bras, Thâbit ajoute : ^ Nous diviserons le grand bras en segments qui soient dans un rapport connu avec le petit bras. Alors on saura ce que pèse un poids pendu à une division quelconque du charaston engendré (generati carastonis) par ce procédé, d'après la règle précédemment établie pour le cas où le fléau se réduit à une simple ligne. r>

Une impression bien différente est reçue lorsqu'on lit l'épître dédicatoire adressée par Thâbit à un personnage qu'il nomme son frère ; traduisons le début de cette épitre :

■* Que Dieu continue ta conservation, et qu'il multiplie la proportion de ton salut, afin que je ne sois pas privé d'un frère tel que toi ; qui aiguillonne les esprits par sa curiosité ; qui excite l'âme à la spéculation ; qui, par sa propre nature, imprime la science ; qui s'aiguise lui-même ; qui retourne ce qui s'oppose à l'assimilation d'un sujet, et qui, de ce sujet, expose ce qu'il faut.

« J'ai lu, ô mon frère ! la lettre sur ce que j'ai dit touchant ton examen des Causae Km^astonis , avec les traces que tu as relevées en celui-ci et les figures que tu as construites à propos de lui ; ces choses, tu les a trouvées lorsqu'abandonnant tout autre sujet de recherches, tu as fait de celle-ci ton occupation exclusive et, sur ces recherches, tu as fort bien exercé ta méditation. Parmi les passages obscurs, inacceptables aux intelligences, j'ai tenté une épreuve. J ai donc tenu compte, ô mon frère, du changement de langue des traducteurs et des caprices de la main des copistes. J'ai longuement hésité à ce sujet, car toi-même tu n'as pu rendre ton opinion sauve de toute interprétation erronée. Tu m'as demandé de te donner de lui une exposition, écrite dans un langage facile, où ses intentions soient mises au jour, par des méthodes qui abrègent la longueur de son discours et allègent la difficulté de son raisonnement. Je te répondrai donc au sujet de ce que tu m'as demandé, et je te parlerai enfin

des choses au sujet desquelles tu veux être éclairé, avec des indications suffisantes et de saines démonstrations. Tu connaîtras donc où se trouve l'erreur, et à partir de quelle origine elle s'est multipliée jusqu'à s'emparer, en quelque sorte, de tout Tensemble. A quel point elle est répandue, tu le sais déjà.

» Que Dieu te dirige et qu'il illumine l'intelligence de ton cœur !

» Que l'absence de figures géométriques dans les Causae Karastonis ne soit pas une excuse... '^

Il résulte de ce passage que Thâbit se propose de restituer uue forme claire à un écrit devenu incompréhensible par la faute des copistes et des traducteurs ; ce n'est donc point un écrit arabe qu'il s'agit de commenter, un traité dû aux Ben! Moûçâ, mais bien un écrit grec ; et il paraît bien difficile d'interpréter les phrases que nous avons citées sans voir dans les mots Causae Charastonis le titre de l'ouvrage et le nom de l'auteur, sans traduire ainsi ces mots Le livide des causes, par Charaston.

Si donc, en divers passages qui se trouvent à la fin de notre manuscrit, le mot Charasio signifie assurément la balance dite romaine, il semble bien, au début du même ouvrage, désigner un mécanicien grec. Y a-t-il après tout, dans ce double sens, rien (lui doive étonner ? Ne voit-on pas chaque jour, dans les arts mécaniques, un instrument prendre le nom de celui qui l'a créé ou perfectionné ? Nos descendants ne pourraient-ils pas éprouver quelque embarras en cherchant si Verniei^ fut un homme ou une règle divisée ? Et, dans nos laboratoires, ne faisons-nous pas les [)esées grossières sur la Roberval, sans que Roberval cesse d'être le nom d'un illustre géomètre i

11 nous semble donc probable que Charaston désigne le nom d'un auteur grec, qui avait écrit un traité sur la balance romaine à laquelle on aurait donrié son nom ; ainsi s'expliquerait, pour désigner la balance, l'existence en langue arabe de ce synonyme d'origine grecque : Kai^stûn.

De ce gôomèire grec, nous est-il possible de découvrir quelque autre vestige i

Nous lisons dans Montucla (i) :

tf Plusieurs des livres de Ptolémée sont accompagnés de cette adresse : ad Sy^'um frairem ; ce qui prouve qu'il avait un frère de ce nom, qui était prol)ablenient versé en astronomie, peut-être un coopérateur de ses observations et de ses calculs.

r^ Jo lui ai aussi déterré un fils nommé Hériston, duquel on peut former le même jugement. Cest dans le titre d'un livre extrêmement rare, imprimé à Venise en i5o9 sous ce titre : Saa^afissimae astronomiae Pfolomei libei^ diversarum rei'um quem soipsit ad Ileristonem filium suwn,. , »

Kâstnor, qui a eu entre les mains ce livre 7*arissime (2), nous en a donné une description minutieuse (3) et un résumé. C'est un in-4'', écrit en caractères gothiques, dont le titre complet est : Saartfissùne asfj'onomie Ptholemei liber divei'sarutu 7wu))i, quem. sanpsit ad HeHstonem filium sititm, tractans compendiose de diversis rebtis, ut habetur in tabula que est in principio istius lib?n, MD VIII. Felicibus astris p?odeat in lucem, ductu Pétri Liechtenstein. Cum privileyio. A la fin du livre, se trouvent ces lignes : Explicit liber dirersarum rerwn Ptholemei philudieyisis Alexandrini, astj^onomorum principis clarissimi, Anno virginei part us 1509, die tertio aprilis, Venetiis, in edibu^ Pétri Liechtenstein Coloniensis Germani,

Ainsi donc, selon le livre imprimé par Pierre Liechtenstein, Ptolémée aurait eu un fils, versé en astronomie, du nom d' Hériston. Hériston n'est pas Charaston ; mais la différence est faible ; elle le semblera surtout à ceux qui connaissent les déformations étranges qu'ont subies les

(i) Montucla, Histoire des Mathématiques, t. 1, p. 514; Paris, An VII.

(i) J. Graesse, Trésor de livres rares et précieux, t. V.

(3; Geschichie der KUnste und Wissenschaften seit der WiederhersU'llung derselben bis an das Ende des achtzchnten Jahrhunderts. vni« Abtheilung : Geschichte der Mathematik, von A. G. KUstner, Bd. Il, p. 688; 1797.

noms grecs traduits d'abord en arabe et de l'arabe en latin. Steiiischneider (i) a signalé quelques-unes de ces déformations : « Héron est devenu Iran et Iranius, Menelaùs s'est transformé en Milleius ; Achimedes tantôt en Arsamites, tantôt on Araniides, tantôt en Archimenides r». Pour nous, nous avons rencontré du nom d'Archimède ces formes diverses : Arsamides, Arsanides, Ersemides [Bibl. Nat. 16 649 (lat.) — Bibl. Mazar. 3642], Arsamithes [Bibl. Nat. 9335 (lat.)], Alaminides [Bibl. Nat. 10 252 (lat.)]. QueCharaston fût devenu Hériston, il n'y aurait rien là qui nous puisse surprendre.

Mais le véritable nom de l'auteur qui nous occupe n'est point Charaston, ni Hériston ; ce nom se doit très vraisemblablement lire Charistion, XapKiriwv.

Ouvrons n'importe quel dictionnaire grec au mot ;^aûi(in'wv, et nous y trouverons ce renseignement : sorte de balance inventée par Archimède ; le dictionnaire de Bailly '2) nous dira, en outre, que le terme a été employé par Simplicius en ses Commentaires à la Physique d'Aristote.

Le seul passage où Simplicius (3) ait employé ce mot nous donne, d'ailleurs, des renseignements précieux. Simplicius y commente l'axiome fondamental de la Dynamique péripatéticienne, la proportionnalité de la puissance motrice au poids mû et à l'espace parcouru en un temps donné ; il se propose de discuter les restrictions qu'il convient d'apporter à cet axiome ; (^i , à ce propos, il nous dit qu' - Archimède, en se fondant sur cette proportionnalité entre la puissance motrice, le poids mû et lespace parcouru, avait composé un instrument propre à peser qui est

nommé cha7nstion, — T^tiJr/î $ï rr, ÔLyaikoyloL roù xivoOvro; xai

(l) Sieinschneider, Hebratsche Bibliographie, Bd. VU, p. 92; 1864. Cf. Moritz Cantor, Geschickte der Mathematik, Bd. I, p. 604 ; Leipzig, 1880.

(i) Bailly, Dictionnaire (frec- français, Paris, 1805.

(3) Simplicii in Arisiotelis Physicorum libros quatuor poster iores comment aria ; CommenCaria in Physicorum VII, 5 (Édition Diels, Berlin, 1895, p. 1110).

TQÙ xivovixivQv xai Toû diOLdZYiuLaTOi TO aTaôiunoTixàv Spyavov tov

Ainsi, du temps de Simplicius (vi® siècle), non seulement on donnait à la balance romaine le nom de chaHsiion, mais encore il était d'usage d'en rattacher la théorie aux principes dynamiques admis par Aristote, ce qui est précisément l'objet des divers écrits que nous analysons ; et, de plus, on avait oublié l'auteur de ces considérations mécaniques, puisqu'on les attribuait à Archimède, alors que l'illustre syracusain avait employé, dans l'analyse de semblables problèmes, de tout autres méthodes.

Que cet auteur se soit précisément nommé Xûfotariwv, Charistioyi ; que, par un phénomène bien fréquent dans les arts mécaniques-, l'instrument ait pris le nom de celui qui l'avait inventé ou étudié, cela ne paraît point douteux. Comment expliquer, sans cela, que la racine x^P*^» grâx^e, ait pu fournir le nom d'une balance ? Quoi de moins étonnant, au contraire, que de voir cette même racine fournir un nom propre, alors qu'elle a déjà fourni (i) le nom de femme Xapirtô et les noms d'homme Xa&tdGÉvy);, Xaptata^y;;,

Xaoïato:, XaoïoTto; et XaoïVwv ?

Certains auteurs, il est vrai, ont cru que -/apidrlfùj désignait non pas la balance romaine, mais un guindoau propre à hâler les vaisseaux sur le l'ivage. Le texte de Simplicius est cependant formel, et les mots (Tra0|ULt(Tn3cov 6pyctyo)/ ne peuvent s'entendre que d'une balance.

On pourrait supposer que Charistion a également donné son nom à un appareil en usage dans les ports ; mais il me semble plus probable qu'il s'agit ici d'une confusion de date récente.

Selon Simplicius, c'est l'invention du charistion qui aurait porté Archimède à s'écrier : « 7rà ^w /.xl xivw Tr,v /yjv. Un point de départ, et je remue la Terre «. Ue même,

(1) Bailly, Dictionnaire grec- français ; Paris, i89o.

Tztazes (i) lui attribue ce propos : « 7rà ^w x.at '^apmrtWi

7CLV yoLV y.cv/;aw Trào'av ?» .

Ce propos s'appliquer admirablement à la romaine, où un petit poids, pendu au grand bras du fléau, soulève un grand poids, pendu au petit bras.

Toutefois, d'autres auteurs ont pensé que ce propos d'Archimède n'avait point trait à la romaine. Plutarque,

qui lui donne la forme : ^ A6; /utot ttoû orw xai ràv yày y.tyàcxw »,

ne dit point à quelle machine il avait trait. Pappus, plus explicite, déclare (2) qu'Archimède s'écria : « Ao; [f-oi ttow o-ro) éLoi >ttvw rrjv yr^v » dans sa joie d'avoir combiné un puissant guindeau ; il donne la description de ce guindeau où, par l'emploi de multiples engrenages, une petite puissance peut mouvoii* une grande résistance ; il assure, d'ailleurs, qu'il emprunte cette description à Héron d'Alexandrie.

Cet instrument est, en effet, décrit par Héron d'Alexandrie (3), qui ne le donne point comme étant d'Archimède. Mais ni Héron d'Alexandrie, ni Pappus, n'attribuent h ce guindeau le nom de /aptorîwv, ce qu'ils n'eussent point manqué de faiie s'il eût été ainsi nommé, de leur temps, à Alexandrie.

Sans doute, les passages où le mot célèbre d'Archimède sur la possibilité de mouvoir le monde est donné comme ayant trait au j^aotcrriwv ont été rapprochés de ceux qui font de ce mot une allusion au guindeau ; on en a alors conclu, bien à tort, que le chainstion était le guindeau. Nous ne saurions nommer avec précision Fauteur de cette confusion. Nous savons seulement qu'elle est acceptée

(1) Tzetzes, Twv vtXta^îwv B (Corpus poetarum GRiECORUM, t. H, Genève

i6l4). — Tzeizes vécut à Conslanlinoplo de 1120 à 1180 environ.

(2) Pappi Alexandrini colîectiouis quae supersunt, edidil F. Hullsch. Lib. vin. Propos. XI, p. 1060; Berlin, 1888.

(3) A. J Vincent, Géomt^trie pratique des Grecs (Notices et Extraits DBS Manuscrits de la Bibliothèque Impériale, t. XIX, t* partie, p. 330). — Carra de Vaux, Les Mécaniques ou r Élévateur de Héron d'Alexandrie, publié pour la première foi.s sur la version arabe de Qostâ ibn Lûkû. Livrai, art. I, Paris. 1894.

par Stevin (i); Stevin nous apprend que la description du charistion avait été retrouvée par Jacques Besson.

Poui* nous, l'opinion de Stevin n'est point fondée, et XaciTTLoyj désigne la balance romaine.

Tenons donc pour certain que le livre grec dont Thâbit ibn Kurrah a entrepris la restitution était l'œuvre d'un géomètre alexandrin, du nom de Charistion, qui ôtait probablement fils de Ptolémée ; que la balance romaine, étudiée par cet auteur, en prit le nom, en grec d'abord, puis en arabe, où elle fut appelée karstûn ; enfin que les caprices des traducteurs ont tiré de ce nom les deux formes Charaston et Hériston.

L'étude de l'œuvre de Thàbit nous apportera encore quelques nouveaux renseignements.

Tout d'abord, Thâbit nous apprend que l'écrit dont il entreprend le commentaire est intimement lié au livre attribué à Euclide : ^ Hoc autem capitulum innixum est super librum qui dicitur Liber Euclidis »». A ce livre, il renvoie celui qui voudra des renseignements détaillés ; il se contentera, à titre d'introduction, de rappeler d(^ ce livre ce qui est nécessaire à Tintelligence de l'écrit qu'il va étudier.

Ces déclarations précèdent immédiatement l'énoncé suivant : Les espaces que deux mobiles parcourent en un même temps sont entre eiur comme les vertus de ces deux mobiles ; aucune démonstration ne suit cet énoncé ; un exemple suffît à l'éclairer. Or cet énoncé formule l'axiome fondamental de la Dynamique péripatéticienne, et cela, dans les termes mêmes où il figure au traité De ponderoso et levi. Nous voici donc assurés que Thâbit connaissait le petit écrit De poyideroso et levi ; que, de son temps, cet écrit portait déjà le nom d'Euclide ; enfin que les Causes de Charistion avaient -e livre pour fondemeni.

(1) Mathematicorum Hypomnematum de Statica , conscriplus a Simone Stevino brugensi. Liber HI : De Stalicaî praxi, p. 101.

De cet axiome à la loi de l'équilibre du levier, Thâbit passe par deux propositions qui développent simplement, avec beaucoup de précision, la démonstration de cette loi telle qu'elle est indiquée aux Myj^ç^avtxà TrpocXyijuiaTa d'Aristote.

Au cours de ces démonstrations, le levier est supposé sans pesanteur ; il en est encore de même au cours des deux propositions suivantes :

Si le fléau d'une balance en équilibre porte deux poids égaux suspendus à des distances inégales du point d'appui, on pourra, sans rompre l'équilibre, remplacer ces deux poids par un poids unique, égal au double de chacun d'eux, et suspendu au milieu de l'intervalle qui sépare leurs points de suspension.

De même, si l'un des bras du fléau d'une balance en équilibre porte un certain nombre de poids égaux entre eux, pendus en des points équidistants les uns des autres, l'équilibre demeurera assuré si l'on remplace tous ces poids par un poids unique, égal à leur somme, et suspendu au milieu de l'intervalle qui contient tous les premiers points de suspension.

De cet énoncé général. Thâbit donne la démonstration en supposant que le nombre des poids à réunir soit quatre ; mais, visiblement, la démonstration est aisée à généraliser.

Ces propositions, vraies pour des fléaux sans pesanteur, cessent de l'être si le fléau est une règle d'une certaine épaisseur et d'une certaine pesanteur, dor)t les deux bras ne sont point égaux. Thâbit se propose de montrer comment on peut ramener ce cas, qui est celui de la balance romaine, à la considération d'un fléau sans ))esanteur.

Dans ce but. il considère d'abord un fléau réduit à une ligne sans épaisseur, dont une partie est recouverte par ui) cylindre pesant ; il se propose de prouver que ce cylindre équivaut à un poids égal, suspendu au point marqué par le centre du cylindre. La démonstration, tirée de la proposition qui précède celle-ci, revient, en somme, h admettre pour certaines portions du cylindre ce que Ton veut prouver du cylindre tout entier.

Cette proposition admise, il devient aisé de démontrer celle-ci §: Un fléau cylindrique, homogène, pesant, ab (fig. 16) dont les bras ag, bg sont inégaux, peut être mainteim parallèle à l'horizon en suspendant un certain poids e à l'extrémité du petit bras ga ; si bd est l'excès du grand bras sur le petit bras, si u est le point milieu de bd, le poids e sera au poids du segment bd comme la longueur gu est à la longueur ga.

Thâbit en tire cette règle : Si p est le poids total du fléau, le poids e est donné par la formule

ab e = p — ^ •

Ce poids étant connu, on pourra suspendre au petit bras de la balance un plateau qui le représente exactement ou bien encore placer à lextréraité de ce bras une surcharge égale ; sur le ha^^aston ainsi constitué, on pourra raisonner désormais comme sur un fléau sans poids.

« Et maintenant, ô mon frère, ajoute le géomètre arabe, je t'ai exposé ce qui est capable de seconder le travail de ton esprit, de t'aider en l'œuvre de la connaissance, do te donner de saines idées à la lumière de la vérité et de porter ton âme à poursuivre son étude... Cet art est donc appuyé par les démonstrations et l'expérience le vérifie. Lors donc que tu feras usage de ce qu'il a démontré, lorsque tu auras compris par leurs démonstrations ce que nous avons énoncé en commençant, ce que nous t'avons exposé te fera franchir la borne de l'hésitation, te gardera d'une assimilation erronée, te fera

it-

voir où se trouve la rectitude et te fera reconnaître le^ endroits ou Ton peut tombei- en erreur. Donc c'est la lin. «

Cette courte analyse nous montre clairement que le remarquable écrit de Thâhit n'est, en aucune façon, un développement du Traité de la balance traduit par le D*" Woepcke. En r(*vanche, il tient par les liens les plus étroits aux quatre propositions dont nous avons signalé Texistence et résumé le contenu ; lannlogie est telle qu un copiste a pu prendre ces quatre propositions pour un résumé du livre de Thâbit.

Une divergence, cependant, mérite d'être signalée. Thâbit tire la démonstration de la loi d'équilibre du levier de l'axiome fondamental de la Dynamique péripatéticienne : il la tire en suivant exactement la méthode indiquée dans les Questions mécaniques d'Aristoie ; la marche esquissée par l'auteur de la proposition A est tout autre ; elle suppose que la loi d'équilibre du levier a été établie directement et elle en déduit l'extension au levier dt» la loi de Dynamique énoncée dans la <I»u<Ttx>^; àxcoaau et dans le WzrA olpavoù d'Aristote, ainsi que dans le Libe?^ de ponderoso et levi attribué à Euclide. Tandis que l'écrit de Thâbit se rattache immédiatement au De yonderoso et levi^ il faut nécessairement, entre ce livre et nos quatre propositions, j)lacer un intermédiaire ; nous l'avons dit, ce fragment intermédiaire pourrait bien être la source qui a donné naissance à la pièce publiée par le D'' Woepcke.

Si donc nos quatre propositions ont la plus étroite parenté avec l'écrit grec que Thâbit s'est proposé de reconstituer, elles ne paraissent pas représenter cet écrit même. Une autre considération fortifie cette opinion : Thâbit ne parle pas seulement de l'obscurité de l'écrit qu'il comment(\ mais aussi de sa prolixité; il se propose de l'abréger; il ne saurait être question de nos quatre propositions, dont les démonstrations sont réduites à quelques indications d'une extrême concision.

Nos quatre propositions ne semblent donc pas être un

débris des Causae Chœrastonis ; elles en seraient plutôt un résumé ; ou, plus probablement, elles représenteraient un thème plus ancien, dont Charistion aurait écrit un commentaire développé et légèrement modifié.

Ces remarques suggèrent une hypothèse; Ptolémée avait écrit un traité Sur les poids, Ilept poTrwv, qui nous est inconnu. Thurot avait déjà émis la supposition (i) que certains fragments parvenus jusqu'à nous, notamment le De pondo^oso et levi attribué à Euclide, pouvaient bien être des débris du Ilcpi poTrôv. Cette supposition ne pourrait-elle être exacte en ce qui concerne nos quatre propositions (2), en ce qui concerne également l'écrit dont le Traité de la balance, publié par Woepcke, est une déformation î Charistion se serait alors borné à développer et à rattacher plus étroitement à la méthode péripatéticienne le Ileûî poTrwv composé par son père.