I.orsqu'en 1687, Varignon donne son Projvt duxt

il) Newton, lue. cit., Atiomata, kive lfget motus. CorolUnmn t.

nouvelle Méchanique, il prend pour point de départ de ses déductions des axiomes que Ton dirait empruntés à la Physica auscultatio ou au De Cœlo. Mais, à ce moment, Lamy et Newton montrent que les mêmes conséquences se peuvent tirer d'une Dynamique exacte. Varignon a sûrement connu la Lettre du P. Lamy et il serait de toute invraisemblance qu'il eût ignoré les Principes de Newton. En ces deux écrits, il trouvait le moyen de corriger ses raisonnements et de les rendre saufs de tout emprunt à une Physique surannée. S'est-il soucié de le faire ? Aucunement. Pendant trente-cinq ans, il consacre ses efforts à développer les indications contenues dans le Projet, et la Nouvelle Mécanique qu'il produit par ce labeur persévérant te trouve plus profondément imprégnée de Dynamique péripatéticienne que son premier essai.

La Xéo-Statique du P. Saccheri prête à des remarques analogues.

Le P. Saccheri est originaire de San Remo, où il naquit à une date inconnue. Il mourut à Milan, le 5 octobre 1733. L'année même de sa mort, il avait publié un livre de géométrie intitulé : Euclides abomni nœvo vindicoins (1).

Cet ouvrage suffit à prouver que le P. Saccheri était un logicien original et puissant. Il lui a valu l'honneur d'être salué par Beltrami (2) comme un précurseur de Legendre et de Lobatehewsky ; et M. P. Mansion (3) a pu dire de cet ouvrage : « Malgré ses défauts, YEuclides ab omni nœvo vindicatus est l'ouvrage le plus remarquable que

(I) Euclides ab omni nœvo vindicatus sive conatus geometricus quo stahiliuiilur prima univers» geometria? principia, auctore Hieronymo Sacch<*tio, Soeietaiis Jesu, in Ticinensi Univershate Matheseos professore. Opusrnltim cx n>0 Senaïui Mcdiolanensi ab auctore dicatum. Meiliolani, MI)<:<:X\XIII. Ex lypographa Pauli Anlonii Montant.

(i) E. Beltrami, Un precursore italiano di Legendre e di Lobatchetcski (Re>dicoNTJ dklla R. Accademia DBI L IN CEI, l. V, p. 441 ; 17 mars 1889).

(5) I». Mansi>n, Analyse des recherches du P. Saccheri, S. /., sur le Postulatum d'Euclidc (Annales de la Société scientifique de Bruxelles, XIV* année, 1889-00, seconde partie, p. 46).

Ton ait écrit sur les Éléments avant Lobatehewskv et Bolyai. »

Un tel géomètre semble particulièrement apte a éviter les paralogismes lorsqu'il traite des principes de la Mécanique; en sorte que Ton pourrait croire sa S*éo-Stati<jue ■ u publiée en 1703, exempte de toute contradiction.

Un écrit de son confrère, le F. Ce va (2), avait signal* a l'attention du P. Saccheri certaines propriétés remarquables d'une pesanteur qui attirerait les éléments Je volume des divers corps vers un centre fixe, et doM l'intensité serait proportionnelle à la distance de lVlem*u attiré au centre commun des graves.

Cette loi de gravité est précisément celle que Jean de Beaugrand, le Géostaticicn, avait proposée et que Ferait acceptait avec quelques nuances.

Au sujet d'une pesanteur soumise à cette loi, Saccheri se propose de démontrer deux propositions qui m'M, d'ailleurs, parfaitement exactes.

La première de ces propositions, qui semble condenser ce que les vues erronées de Fermât contenaient de veril* diffuse, peut se formuler ainsi : Si la gravité suit une telk loi, la pesanteur résultante d'un corps passe toujours par un point [centre de gravité) qui occupe, dans ce coqw», uce position absolument fixe et indépendante de la situatioc du corps.

La seconde de ces propositions affirme qu'un point, abandonné sans vitesse initiale et tombant en chute libre, mettra toujours le même temps pour parvenir au centra commun des graves, quelle que soit, au début du niouttment, sa distance à ce centre.

Des deux propositions que Saccheri se propose dVtablir.

(I. 1 X*<fSttitica auctore HuTonxmo Sacche rio, e Sorietate Je», tn T*nrr.M t'hivemUte iiialhcseo» profcssore, c&cellentiffimo Senatat Irdvàni'HM; MDM.VIII Ex t)povraphia Jorephi Pamiulpoi Malatc*t*.

J< <loi« jii H. I 1 . Thirion la ro!:iiais>ance ri la communication de cr m ou\rat'c ; qu'il me |»ermette «le lui en exprimer ici ma vit* reroiiikai«>a*tf

(t) Cf. saccheri, Xeo-SUittca, lin. IV, IntroducUo, p. là*.

Tune ressortit à la Statique et l'autre à la Dynamique ; il nous sera donc donné de connaître les principes que le savant Jésuite emploie en ces deux branches de Mécanique.

Au point de départ de ses déductions, Saccheri place la notion de momenium (i) ; cette notion, voisine de celle que Galilée nommait mémento, identique à la quantité de mouvement de Descartes, s'obtient en multipliant la masse (2) du mobile par la vitesse dont il est animé ; à cette vitesse même, Saccheri donne, en général, le nom A' impetus (3).

La composition et la décomposition des momenia ou des impetus n'est pas autre chose que la composition et la décomposition des vitesses ; de ce problème, il n'est point malaisé à Saccheri d'exposer la solution, connue depuis Aristote. Mais bientôt (4), nous voyons que les propositions ainsi obtenues subissent une insensible transposition; un imperceptible glissement transporte à la vis motrix ce que Ton avait prouvé de Y impetus % et les lois cinématiques de la composition des vitesses se transforment en lois statiques de la composition des forces, sans que l'auteur ait paru s'apercevoir de ce changement, que le lecteur discerne à grand'peine.

C'est par une telle transposition des fœxes aux impetus que se trouve évaluée (5) la pesanteur apparente d'un grave sur un plan incliné. Sans doute, il est question, en cette évaluation, de vitesse à partir du repos (impetus ex quiète) et l'on pourrait y voir l'indication que les forces doivent être mesurées par la vitesse qu'elles impriment, gu bout d'un temps infiniment court, au mobile partant du repos; les raisonnements de Saccheri seraient alors semblables à ceux de Lamy et de Newton ; ils seraient

(I) Saccheri, Neo-Statica^ lib. 1, Definiliones, p. J. (i) ld., t'Mf ., lib. I, Definitio 7, p. 2.

(3) ld , rtfrf., iib. I, Deflnitio 0, p. 2.

(4) ld., ibid., lib. I, Propp. IX, X, XI.

$) ld., ibid., lib. I, Propp. XXVII cl XXVIII.

exacts. Mais aucun commentaire du mot ex quiète n'indique qu'il lui faille, en ce lieu, attribuer une telle important : dénué de tout rôle dans les considérations de Statique que développe Saccheri, il semble n'être qu'un subterfuge p«»ur rendre moins criarde la contradiction qui éclate entre cette Statique et la Dynamique du même auteur.

Est-il possible, d ailleurs, de douter un seul instant que Saccheri regarde la vis motrix comme proportionnelle à Yimjtetiis, comme identique au momentum, lorsqu'on h; cette définition (i) du centre de gravité :

« Par centre de gravité 9 nou$ entendons, en tout grave, ce point par lequel passe la direction naturelle de ïimpetus composé qui tend au centre commun des graves; on duit comprendre que cette direction résulte de l'ensemble d** impetus naturels par lesquels les diverses parties du grave tendent au même centre. »

Il est bien clair que la Statique de Saccheri repose tout entière sur la supposition que la force est proportionnelle à Yiui/tetus, c'est-à-dire à la vitesse. Comme la Statique de Varignon, elle emprunte tous ses principes à la Dvi.amique d'Arisiote.

Or, lorsqu'il aborde des problèmes de mouvement, c'est la Dynamique de Newton qu'invoque Saccheri.

Prenant un point pesant qui décrit une certaine trajectoire 12), il considère Yimjwtus rirus de ce point, ce*tà-dire (3) la vitesse dirigée suivant la tangente a la trajectoire; il considère aussi, suivant une direction quelconque D, Yimi*etus sulmascens ; cette grandeur est identique, d'après ce qu'il a sans cesse admis dans ses deux premiers livres, au quotient, par la masse du point, de la romjxsante «lu poids suivant la direction 1). Si Saccheri était conséquent avec les principes dont il a tiré sa Statique, il égalerait Yimjtftus subtutscetis selon la direction D * U

Mi SiKTln n, Xi't-SttitiCii. hb. Il, Drlimlio 5, p. 55.

(S. ht . ibtrt., hb. III, l'ro|> I

• 3; M , i&</.. ht». III, Adiiiomho, |>. 84.

composante de Yimpetus vivus selon la même direction. Ce n'est pas ce qu'il fait ; à Yimpetus subnascens, il égale Y accroissement (incrementum) de la composante suivant D de Yimpetus vivus. Pour parler notre moderne langage, il égale le quotient par la masse du mobile de la composante du poids suivant une certaine direction à la composante de Yaccélération suivant la même direction ; l'égalité qu'il pose ainsi est le principe même de la Dynamique de Newton.

Nous voyons ainsi Saccheri, qui est un géomètre très habile et un logicien très subtil, se servir, pour traiter des problèmes de Dynamique newtonienne, de propositions de Statique qu'il a établies en suivant la méthode d'Aristote. Tout aussi bien, nous verrions le grand Euler, alors qu'il expose en un admirable traité (t) la Mécanique issue de l'œuvre de Newton, adopter en bloc les lois de Statique que Varignon a fondées sur les principes péripatéticiens.

Ces exemples suffisent à montrer combien la substitution de la Dynamique moderne à la Dynamique d'Aristote a été lente et malaisée. C'est que la Dynamique d'Aristote offrait une traduction bien plus immédiate des expériences les plus obvies ; infiniment plus abstraite, la Dynamique moderne est le fruit d'un prodigieux effort de réflexion et d'analyse ; il a fallu des siècles pour déshabituer l'esprit humain de la première et pour l'accoutumer à la seconde.

7. La lettre de Jean Bernoulli à Varignon (1717) L'énoncé définitif du principe des déplacements virtuels

En l'an 1687, il semble que la Mécanique ait pour toujours renoncé à la méthode des déplacements virtuels de

(I) Mechanica sive Motus Scientia, analytice exposita, auctore Leonhardo Eulero, Academiae Imper. Scientiarum membro et malheseos sublimions professoiv. Instar supplementi ad Commentar. Acad. Scient. Imper. Petropoli, ex typographia Academiae Scientiarum. An. 1736.

Jordanus. de Descartes et de Wallis, aussi bien qu'a la méthode des vitesses virtuelles d'Aristote, de Charwi«*a et de Galilée. Tous ceux qui ont écrit sur la Statique après Wallis, à l'exception de Casati et de De Chalb-s ou bien ont passé ces méthodes sous silence, ou bien <»ot déclaré que l'esprit n'y trouvait pas une suffisant* «vhurance pour y prendre le fondement de la Statique ; tout .ta plus ont-ils consenti à en faire un corollaire de proposait»:* construites sur d'autres hypothèses.

Après s'être efforcés d'asseoir toute la Statique sur i« principe du levier, ils ont reconnu dans la loi de composition des forces concourantes un axiome d ou se peuvent aisément déduire les règles d'équilibre de toutes Ie> iu&chines ; en rattachant directement cette lui aux premiers principes de la théorie du mouvement, ils lui ont confat une clarté et une certitude qui conviennent parfaitement à l'hypothèse sur laquelle doit reposer toute une doctrine. . La Statique semblait donc définitivement engagée dam la voie que Varignon traçait en son I*rojet (fune Xi*urr'.U Méchunique, que le P. Lamy marquait dans sa lettrv % M. de Dieulamant. Elle n'avait plus qu'à progresser d.ms la direction que ces auteurs lui avaient assignée. A c« progrès, d'ailleurs, Varignon consacrait le reste de si vie ; il s'efforçait de conduire la Statique au but qu il là avait montré ; de ses efforts résultait cette Xoucrlle Altaï niquv ou Statique qui, publiée peu de temps après la mort de son auteur, devait rester si longtemps classique.

Quant à la méthode des déplacements virtuels. ih»ci nous avons suivi le développement continu de Jordai.u* à I)eM'ari«\N et h Wallis, il semblait quelle fût définitivement condamnée et qu'elle n'eût plus qu'a rentrer dan> l'oubli.

Lorsqu'on suit le développement lent et complique ptf lequel une scienre se perfectionne, on voit parfois un* idée qui, pendant un certain temps, a brillé d'un vif éclat, s'obscurcir peu a peu et cesser d'être perçue ; il

semble quelle soit à tout jamais éteinte. Mais bien souvent, cette disparition, que l'on prendrait pour une définitive extinction, n'est qu'une éclipse de peu de durée ; le moment où l'idée est devenue invisible à tous les yeux précède à peine celui où elle va reparaître, plus brillante qu'elle n'a jamais été, comme si elle s'était cachée un instant pour se reposer, pour reprendre de nouvelles forces et un nouvel éclat.

Déjà, nous avons vu la méthode des déplacements virtuels, qui s'était montrée si féconde dans les écrits de Jordanus, du Précurseur de Léonard de Vinci, de Léonard lui-même et de Cardan, négligée ou repoussée par Guido Ubaldo, par Benedetti et par Stevin. Mais le moment même où elle semblait complètement abandonnée est précisément celui où elle fut reprise par Roberval et surtout par Descartes, où son principe se dégagea, clair et autonome, de toute alliance avec le postulat des vitesses virtuelles et avec la Dynamique d'Aristote.

Nous allons assister à une résurrection toute semblable de la méthode des déplacements virtuels ; c'est dans le livre même qui semble consacrer l'irrémédiable défaite de cette méthode et le triomphe définitif de la Statique fondée sur la composition des forces, c'est dans la Nottr telle Mécanique de Varignon que nous allons voir le principe d'où découle cette méthode revêtir sa forme achevée.

Dans sa Nouvelle Mécanique, en effet, Varignon insère ( 1 ) une lettre que Jean BernoulH lui avait adressée de Bâle le 26 janvier 1717. Cette lettre contient le passage suivant :

* Concevez plusieurs forces différentes qui agissent suivant différentes tendances ou directions pour tenir en équilibre un point, une ligne, une surface, ou un corps ;

(1) Pierre Varignon, Nouvelle Mécanique ou Statique; section IX, Corollaire général de la Théorie précédante. Tome II, p. 174.

concevez aussi que Ton imprime à tout le système île • ~ forces un petit mouvement, soit parallèle a soi in.'-!:isuivant une direction quelconque, soit autour d'un j» .:.: fixe quelconque : il vous sera aisé de comprendre- q..r j.;ir ce mouvement chacune de ces forces avancera «mi r»> ■ ,l**r i dans sa direction, à moins que quelqu'une mi pi >.t-i;-* des forces n'ayant leurs tendances perpendiculaire a [ A direction du petit mouvement ; auquel cas cette for.-, ■ u ces forces, n avanceroient ni ne reculeroient de rit u ; car

JyMO.

ces avancemens ou reculemens, qui sont ce que j'appe 1 !* vitesses virtuelles fi), ne sont autre chose que .••» ilor.t chaque ligne de tendance augmente ou diminue pur lr petit mouvement ; et ces augmentations ou diminuri.t.* se trouvent, si Ton tire une perpendiculaire â IVxiivHîit* de la ligne «h» tendance de quelque force, laquelle p-»p ■:.• dieulaire retranchera de la même ligne de tendance, mi** dans la situation voisine par le petit mouvement, un-* petite partie qui sera la mesure de la vitesse rirtuelte ■!•* cette force.

* Soit, par exemple, P (rtg. 1 10) un point quelconque

I) Ou voit i|ii<» Jean Uernoulli a donné le nom «Je rttmrg vrtu'.tfs • des longueur*, et non point a de* \ liesses ; le nom île depUicm-Hi $ -tr tueh eût !><miI ête eorreot ; o«Mte fâcheux de nomination a |M»r»iste en Me» jnii|u«\ où Immucouj» tt auteurs nomment encore Pvincti* <U* r«/e»jrj vntueLlfi un priiui;*» où le> \iie&«es nom <jue faire et «ju- de«rj.; •< numinrr l'fituupe des d'pl<ice>/ifnts cirtutU.

dans le système des forces qui se soutiennent en équilibre ; F, une de ces forces, qui pousse ou qui tire le point P suivant la direction FP ou PF ; Pp, une petite ligne droite que décrit le point P par un petit mouvement, par lequel la tendance FP prend la direction fp, qui sera ou exactement parallèle à FP, si le petit mouvement du système se fait en tous les points du système parallèlement à une droite donnée de position ( 1 ) ; ou elle fera, étant prolongée, avec FP, un angle infiniment petit, si le petit mouvement du système se fait autour d'un point fixe. Tirez donc PC perpendiculaire sur fp, et vous aurez Cp pour la vitesse virtuelle de la force F, en sorte que F X Pp fait ce que j'appelle Énergie. Remarquez que Cp est ou affirmatif ou négatif par rapport aux autres : il est affirmatif si le point P est poussé par la force F, et que l'angle FPp soit obtus ; il est négatif, si l'angle FPp est aigu ; mais au contraire, si le point P est tiré, Cp sera négatif lorsque l'angle FPp est obtus ; et affirmatif lorsqu'il est aigu.

* Tout cela étant bien entendu, je forme cette Proposition générale : En tout équilibre de forces quelconques, en quelque manière quelles soient appliquées, et suivant quelques directions quelles agissent les unes sur les autres, ou médiatement, ou immédiatement, la somine des Énergies affirmatives sera égale à la somme des Énergies négatives prises affirmativement. »

C'est en ces termes que Bernoulli formule le principe, désormais complet, d'où l'on peut tirer toutes les lois de l'équilibre.

Comment Jean Bernoulli est- il parvenu à la connaissance de cet axiome général ? Ce que Varignon nous a communiqué de sa lettre ne nous donne aucun renseignement à cet égard ; mais il ne semble pas fort malaisé de

(I) Le lecteur remarquera que Jean Bernoulli introduit dans son énoncé quelques affirmations inexactes et quelques restrictions inutiles ; nous ne nous arrêterons pas a relever ces vétilles.

deviner ce que* nous ne connaissons point pur document positif.

La distance, en effet, est bien courte et bien ais»-e :i franchir entre la forme que Wallis avait donnée an principe des déplacements virtuels et la forme que cet axiome vient de prendre ; pour passer de Tune à l'autre, il suffit de déclarer ouvertement ce que Wallis soupçonnait déjà, de considérer nettement des déplacements infinitésimaux, des travaux infiniment petits ; cette transformation n*» pouvait offrir aucune difficulté à un géomètre rompu aux considérations de l'analyse infinitésimale. H parait donc très vraisemblable que Jean Rernoulli soit parvenu a son énoncé du principe des déplacements virtuels en coordonnant et en perfectionnant les affirmations éparses dan* l'œuvre de Wallis. Par Wallis et par Descartes, son œuvre se reliait avec continuité aux ébauches de Jordanie et des mécaniciens de son Ecole.

Ce n est pas que la méthode des déplacements virtuel* dont Bernoulli vient de donner l'énoncé général et précis, ravisse d emblée tous les suffrages et que tous les mécaniciens y reconnaissent le principe d'où doit découler la Statique entière. Varignon, qui nous fait connaître la découverte du grand géomètre de Bftle. refuse d'y voir un principe ; il n'y reconnaît qu'un - corollaire général de la théorie » qu'il a fondée sur la loi du parai lélogramn* de.N forces. * Cette proposition me parut si générale et « bell«\ dit Varignon (i) t que, voyant que je la pouvais aisi* neni déduire de la théorie précédente, je lui demandai la permission qu'il m'accorda, de l'ajouter ici avec la démonstration que cette théorie m'en fournissoit, et qu'il ne m 'envoyait pas. La voici séparée pour toutes les machines précédentes. * Et, sans se lasser, Varignon consacre cinquante pages à prouver que toutes les machines dont il a tiré les conditions d'équilibre de la loi de la o>tu-

(1) Varignon, Xuureiie Mécanique ou Statique, tome II, |». 171.

position des forces vérifient l'égalité posée par Bernoulli. Ainsi en avaient agi Guido Ubaldo avec l'axiome d'Aristote et le P. Pardies avec l'axiome de Descartes. Ils avaient refusé à ces postulats larges et féconds le titre de principes pour les reléguer au rang de corollaires.

Nous arrêtons ici cette Histoire. Avec la Nouvelle Mécanique de Varignon, avec la lettre de Jean Bernoulli, se trouve close cette période du développement de la Statique qui mérite d'être appelée les Oingines ; la Période classique est ouverte. Nous avions entrepris de rechercher les sources d'un fleuve ; nous en avons décrit le bassin supérieur, aux gorges sinueuses et tourmentées ; le fleuve entre maintenant dans une plaine aux molles ondulations où, dans un large lit, ses flots vont poursuivre leur cours paisible.

Au moment où nous cessons de le suivre, ce fleuve est divisé en deux bras, son courant se partage en deux directions différentes, et ces deux directions semblent orientées par les deux impulsions que la Statique a reçues dès l'origine ; en l'une, nous reconnaissons la tendance d'Archimède ; en l'autre, la tendance d'Aristote.

D'Archimède à Varignon, les géomètres ont poursuivi un môme idéal ; ils le poursuivront encore de Varignon à Poinsot, de Poinsot jusqu'à nos comtemporains. Ils rêvent de construire la Statique sur le modèle des Éléments de Géométrie d'Euclide. Ils veulent que, par une analyse aussi patiente qu'ingénieuse, les cas d'équilibre les plus compliqués des systèmes les plus divers soient décomposés, dissociés, jusqu'à ce que l'on voie clairement les équilibres simples, élémentaires, dont l'agencement complexe les a produits ; ils veulent, en outre, qu'en ces cas simples et élémentaires, le maintien de l'équilibre ait môme évidence et môme certitude que ces vérités de sens commun dont Euclide a fait ses demandes. Donner à la Statique des principes que l'on puisse réputer aussi clairs

et assurés que les axiomes de la Géométrie, tel était dej 1 l'objet d'Archimède lorsqu'il composait son Traita Ile-.: cTrtîTg'î'ov isoài'jzwM ; tel était encore le désir de I >aniel Hernoulli, puis de Poisson, lorsqu'ils s*efforçai«M.t dVta blir la loi du parallélogramme des forces sans faire appel aux principes généraux de la Dynamique.

Tandis que ce courant entraîne un bon nmnhr»* de mécaniciens, d'autres suivent la direction qif Aristote avait déjà imprimée à la Statique. Leurs efforts ne tendent point à une analyse qui dissocie les lois les plus complexes de l'équilibre et les réduise à des propositions élémentaires claires et évidentes de soi ; ils tendent bien plutôt à une large synthèse ; tous les cas de rep«»s que Ton rencontre dans la nature ou que l'art realise. il> s'efforcent de les embrasser en un principe unique et universel. Assurément, ils tirent ce principe de quelque* observations simples et obvies ; mais l'extrême ger erilisation par laquelle ils passent de quelques exj>erience< particulières à une loi si ample, efface en celle-ci tout caractère d'évidence immédiate. Plus la seience.en se développant, prend conscience des procédés logiques qu'elle im*t en œuvre, et mieux elle comprend que la certitude d'une hypothèse aussi générale ne pouvait être contenue dans les quelques faits qui l'ont suggérée ; mieux elle voit que ce qui confirme cette hypothèse et nous assure de « valeur, c'est l'aisance avec laquelle elle classe la multitude des lois diverses que l'expérience a découvertes, c'est la sftreié avec laquelle elle annonce à l'expérience de nouvelles lois à découvrir.

("est cette dernière tendance qui a conduit les géomètres, depuis Jordanus et ses élèves jusqu'à Roherval et a Descaries, depuis Descartes et ^tisWallis jusqu'à Jean Hernoulli, â préciser et à étendre sans cesse le principe «les déplacements virtuels.

Kutre ces deux tendances dont chacune s'efforce de diriger la Statique, le conflit est incessant. Mais un

observateur impartial de cette lutte n'a point de peine à reconnaître les qualités des deux méthodes. Certes, l'esprit d'analyse, par sa critique méticuleuse, contribue à dégager de toute trace d'erreur les vérités que l'esprit de synthèse a fait découvrir ; mais ses propres découvertes, rares et maigres, ne servent qu'à mieux prouver sa stérilité. La fécondité est l'apanage de l'esprit de synthèse ; c'est la méthode dos déplacements virtuels qui, sans cesse, élargit le champ de la Statique.

L'emploi exclusif de cette méthode caractérise la Mécanique analytique de Lagrange.

L'œuvre de Lagrange est le confluent où viennent se réunir tous les courants qui, successivement, ont entraîné la Statique, où aboutissent toutes les tendances qui en ont diversement orienté l'évolution.

La Statique a mis à l'origine de ses déductions tantôt le principe du levier, tantôt les propriétés du plan incliné, tantôt la loi de la composition des forces ; tous ces principes sont équivalents entre eux, et leur équivalence résulte de ce fait qu'ils découlent tous immédiatement du principe des déplacements virtuels. Ainsi la science de l'équilibre se trouve ramenée par Lagrange à une parfaite unité ; elle se trouve tout entière condensée dans une seule formule.

Varignon, reprenant une idée qu'Albert de Saxe et Guido Ubaldo avaient esquissée, s'est efforcé de trouver la raison de tous les cas d'équilibre dans les pressions que les corps mobiles exercent sur leurs appuis. Lagrange tire de la méthode des déplacements virtuels un procédé aussi simple que sûr pour définir et déterminer ces pressions qu'annulent les liaisons.

La doctrine d'Albert de Saxe, selon laquelle le centre de gravité de tout corps pesant tend à s'unir au centre commun des graves, a fourni un principe de Statique que Galilée et Torricelli énoncent en ces termes : Un système est en équilibre lorsque tout changement de sa disposition obligerait son centre de gravité à s élever. Ce principe est

demeuré longtemps séparé du principe de l'égalité entre le travail moteur et le travail résistant, du principe de Jordanus, de Descartes, de Wallis et de Jean Ben.ouUi. Lag range met à nu le lien étroit qui unit ces deux principes.

Le principe de Torricelli n'est pas l'exact équivalent du principe de Jean Bernoulli ; celui-ci prévoit tous le* cas d'équilibre, celui-là en exclut quelques-uns ; c'est grAce à la théorie générale de la stabilité, créée par Lngmnge. que Ton peut caractériser les cas d'équilibre que fait ronnaître le principe de Torricelli et montrer que ce sont les seuls équilibres stables.

Les physiciens se sont efforcés de tirer le principe fondamental de la Statique des lois de la Dynamique ; Roberval et Varignon ont ainsi déduit la loi du parallélogramme des forces de l'antique Dynamique péripatéticienne, de la proportionnalité entre la force et la vitesse ; le I\ Lamy et Newton l'ont, plus justement, déduite de la proportionnalité entre la force et l'accélération. D'Alembert a, en quelque sorte, retourné la question et montre comment tout problème de mouvement se pouvait ramener à un problème d'équilibre. Lagrange demande alors à la méthode des déplacements virtuels la formule qui met en équation tout problème de mouvement.

Les assemblages de corps solides ne sont d'ailleurs point les seuls systèmes dont l'équilibre dépende du principe des déplacements virtuels ; la Statique des système» dëforinahlcs et, particulièrement, des fluides, découle tout entière de ce principe ; les diverses méthodes propres * traiter l'Hydrostatique qu'ont proposées Newton, Bouguer. Clairaut, Kuler, peuvent toutes se ramener à cette méthode générale.

Ainsi, par la méthode des déplacements virtuel*, Lagrai ge constitue une Statique admirablement ur.e et ordonnée, ou se classent en un ordre parfait toute* les» lois de l'équilibre des corps solides ou fluides, où tous le*

désirs légitimes de ceux qui ont promu la science de l'équilibre trouvent leur pleine satisfaction.

Après Lagrange, la méthode des déplacements virtuels reste la méthode la plus précise, la plus générale, celle que les mécaniciens appellent à leur aide toutes les fois qu'il s'agit de dissiper une obscurité, de résoudre une embarrassante difficulté.

Navier a obtenu, sans le secours de cette méthode, les équations indéfinies de l'équilibre élastique ; mais, lorsqu'il veut compléter son œuvre et joindre aux équations indéfinies les conditions aux limites qui achèvent la détermination du problème, il reprend ce problème par la méthode des déplacements virtuels.

Poisson pense que l'élasticité d'un corps cristallisé ne dépend, en général, que de 1 5 coefficients ; Cauchy et Lamé en portent le nombre à 36 ; c'est en usant des procédés de Lagrange que Green peut trancher le débat et prouver que le nombre exact de ces coefficients est 21 .

Par le principe de l'équilibre des canaux, que Clairaut a imaginé et que Lagrange a déduit du principe des déplacements virtuels, Laplace a obtenu l'équation de la surface capillaire ; mais ses démonstrations sont peu sûres lorsqu'il veut établir les lois qui régissent le contact du liquide et du tube ; la constance de l'angle de raccordement est postulée et non démontrée. Uauss, dans un travail qui offre l'un des plus beaux exemples de la méthode de Lagrange, démontre avec une entière précision l'ensemble des lois de la capillarité.

La théorie de l'équilibre des plaques élastiques semble poser aux géomètres une désespérante énigme ; Cauchy et Poisson ne s'accordent pas dans l'énoncé des conditions qui doivent être vérifiées au bord d'une plaque ; les oonditions qu'ils proposent sont surabondantes. C'est encore la méthode des déplacements virtuels qui permet à Kirchhoff de donner le mot de l'énigme, d'écrire, sans omission

ni répétition, toutes les conditions requises au bord «l'iin* plaque élastique.

Certes, la méthode des déplacements virtuels jn*ut ♦ , -rr»» fière du domaine qu'elle a conquis et auquel «'lie a imp«->»des lois si claires et un ordre si parfait ; mais voi«i qu a la fin du xix e siècle de nouvelles contrées. prodigitMw»ment riches et étendues, viennent accroître son empira Ce ne sont plus seulement les équilibres mécaniques iju: se soumettent à ses arrêts ; elle pose, avec une souvi-rain»autorité, les conditions des équilibres qui mettent tir» aux changements d'état physique ou aux réactions chimique*, comme de ceux qui s'établissent en des systèmes élecirÎM*> et aimantés. La graine infime semée par Jordanu* ne s'est pas contentée de produire la Mécanique analytique de Lagrange ; elle a encore engendré la Mécanique • hmique et la Mécanique électrique de (îibhs et de Ilelrholtz.