Transformons l'équation que nous venons d'obtenir

Pour cela, considérons un élément de surface (iw et prenons la normale à cet élément comme axe des œ. L'induction magnétique a pour projections :

p.L, [jlM, }xN.

En particulier, sa projection sur ox est L[x et l'équation précédente nous donne ici :

A. ^ • rfco =JÇi.dy + Zdz)

L'intégrale curviligne du second membre peut être transformée en une intégrale double étendue à la surface entourée par le contour fermé :

/ \dy dzj ^ ■ ^ *

Comme ici la surface est infiniment petite, il reste:

. c?.ulL , /o?Z d\\ j

A — - — ' d(x) = ( -r- — -7- ao).

dt \ dy dz )

On obtiendrait de même deux équations analogues, de sorte qu'on a le système suivant d'équations :

' dt dy dz . dU dX dZ

Au. —T— = —r- r—

dt dz dx

, d^ dX dX dt dx dy

Remarque. — La force électromotrice d'induction n'est

égale à la variation du flux que si on adopte le même système d'unités pour les forces électrique et magnétique. Ce n'est pas ce que nous avons fait ici ; nous avons rapporté la force électrique au système C.G.S. électrostatique, et L, M, N au systèmeC. G. S. électromagnétique; aussi, la force électromotrice est seulement proportionnelle à la variation du flux, et A est différent de l'unité ; c'est l'inverse de la vitesse de la lumière.

20. Définition du courant. — Dans certains corps appelés conducteurs, il se produit, quand la force électrique y est différente de o, un phénomène se traduisant par réchauffement du conducteur. La quantité de chaleur produite pendant un temps dt, dans un élément di du volume (supposé homogène), peut se représenter, d'après la loi de Joule,

par :

À (X'-^ + "^^ + Z2). dx.dt,

A étant un coefficient qui dépend de la nature du corps et qui est nul pour les corps non conducteurs. Nous supposons cette quantité de chaleur évaluée en unités C.G.S. de travail. Le produit (X^ + Y^ + Z^) dx représente une quantité d'énergie ; donc le produit l.dt doit être un nombre, c'est-à-dire que X est l'inverse d'un temps ; Maxwell remplace X par c ; c'est la conductibilité.

Supposons que nous ayons affaire à un conducteur non homogène ; il se produit ce qu'on appelle un phénomène Peltier, une absorption ou un dégagement de chaleur. La quantité de chaleur produite peut alors s'écrire :

\.dtxh. (^-X-' — ^-XX'

DEFINITION DU GOURANT 19

L'effet Peltier est ainsi représenté par :

— l.dt.di:. 2'XX'.

X', Y', Z' étant des constantes que nous appellerons par définition^ les composantes de la force électromotrice de contact : c'est ainsi que nous définissons cette force électromotrice.

Comme cas particulier, le phénomène de Peltier comprend le phénomène thermique qui a lieu dans les piles, et qui sert justement à entretenir l'énergie des piles.

Les composantes du courant seront définies par :

M = X (X — X') v = l{Y — T) to=.\{Z — Z')

Si on veut, ceci est l'expression de la loi de Ohm ; mais ici c'est une définition. Nous ne pouvons plus prendre la définition ordinaire du courant, qui est la suivante :

u.d(i> est la quantité d'électricité vraie qui traverse un élément de surface d'étendue c^w, perpendiculaire à l'axe des^; et, en effet, nous ne regardons plus l'électricité vraie comme une véritable matière, mais comme une simple intégrale.

Considérons cependant la quantité d'électricité vraie E qui se trouve à l'intérieur d'une certaine surface fermée s ; soit un élément f/w de la surface où les composantes du courant ont pour valeur m, v, lo. Considérons (m, v, lo) comme un vecteur et projetons-le sur la normale. Cette projection a pour expression :

aM -j- py -}- Y'ifj,

a, p, Y étant les cosinus directeurs de la normale.

On pourrait appeler lliix de courant à travers l'élément diù la quantité :

[ixn -\- ^v -{- Y?y) (/(i),

mais ceci n'aurait pas de sens pour nous, car nous n'avons rien dit du mouvement de l'électricité.

Avec l'ancienne définition du courant, l'égalité :

— = —J{^u -I- pf -f- ^w). du

exprime que l'augmentation de la charge à l'intérieur de la surface est égale et de signe contraire à la quantité d'électricité qui sort à travers la surface ; elle est donc évidente par elle-même.

Avec nos définitions, le sens précédent ne subsiste plus, mais nous conserverons l'équation en la regardant comme l'expression d'un fait expérimental.

21. Transformons l'équation précédente en appliquant le théorème exprimé par :

J'a.F.c/co = i'i

-r- ■ dz

On peut l'écrire :

c?E udu .v^ .,... .

dv dw\ dy'^lz)

Mais nous avons d'autre part (14) :

Cdx /d.tX , d.tY , d.eV^

j A-kX dœ dy dz j

d'où

DÉFINITION DU GOURANT 21

dE d. [d-z /d.zX. . d.tY , t^.eZ^ -T

dt dt j Atz \ doo ' dy dz

dE En égalant les deux valeurs de — ? on obtient l'équation

d. ■^ c^.eX ^ du

dt ^ dx ^ dx

22. Application du principe de la conservation de l'énergie. — Nous allons maintenant appliquer le principe de la conservation de l'énergie et tirer de là et de nos définitions les équations fondamentales de la théorie.

Nous avons à envisager plusieurs sortes d'énergie :

L'énergie électrique, E =: \— — V-X-; L'énergie magnétique, H = \^ — • /.L^

En outre, la chaleur produite par les courants, due aux phénomènes de Joule et de Peltier ; nous désignerons par hdt la quantité totale de chaleur produite par les courants pendant le temps dt.

Comme nous n'avons pas à considérer ici de travail mécanique, le'principe de la conservation de l'énergie s'exprimera par l'équation :

dE dR , „

Calculons séparément chaque terme :

î fz.dx ■^ ^ d^

J —j Atz 2j*^ dt

<iH (\x.dT v^ , d\j

~di~lir 2j dt'

Nous allons transformer cette dernière expression en nous servant des équations du paragraphe 19,

^ dt di/ dz

On aura :

m Ç dz sr\ , (']! dl —jAkizlj'\dy

(dZ £Y dz

Remarquons que ^ • L y^ est la somme des trois termes

fj'ii * ri ^ * rJ /Y*

et que cette somme peut s'écrire V. M —> puisque, par permutation, on retrouve bien les trois termes.

De même on peut écrire V^-N --j- au lieu de N . L — — On a alors :

dU 1

dt ~ 4ATr

E-Mf^'^-Af-'^

Nous allons transformer cette expression en employant un procédé de calcul analogue à l'intégration par parties.

PRINCIPE DE LA. CONSERVATION DE l'ÉNEROIE 23

Nous savons que pour une surface fermée quelconque et une fonction F quelconque

ïFt^CO = |— .G?T

Appliquons ce théorème en faisant F = MX. On obtient

/,.MX.rf„ = /Mf * + /xf *.

On obtiendra de même

Anx.c^o

Nous pouvons écrire deux autres équations analogues à (1) et deux autres analogues à (2). Additionnons membre à membre les six équations ainsi obtenues, en changeant les signes des trois équations du dernier groupe.

Pour simplifier, désignons par A le déterminant

dont le développement va se trouver dans le premier membre de la somme. Cette somme peut s'écrire :

d'où l'on déduit :

~J 4 Att J 4 Att ■ 2j V f^- dyj

Dans cette expression, H représente l'énergie magnétique contenue dans un volume limité par une surface fermée S ; la première intégrale est étendue à tous les éléments de cette surface, et la deuxième à tous les éléments du volume enveloppé.

Étendons cette équation au cas de l'espace indéfini ; les perturbations que nous aurons à considérer sont des perturbations locales; nous pouvons donc considérer le champ comme nul à l'infini ; les éléments de la surface enveloppante étant à l'infini, la première intégrale est nulle, et il reste :

~ J AX-kIj \dz~ dy)'

D'ailleurs, nous avons trouvé :

J =fl.^'X{X — X').dT

et nous avons posé : u = 1 (X. — X).

Nous avons donc formé tous les termes de notre équation primitive, qui peut alors s'écrire :

rdr. x^ ^^ r ^ dX dM , dN . . . 1

J 4A7îZj \ dt dz ^ dy ' J

Telle est l'équation qui exprime la conservation de l'éner-

PRINCIPE DE LA CONSERVATION DE l'ÉNERGIE 25 gie ; elle nous conduit à poser :

. dX dM dl^ , A , r dt dz dy

. dy dH dh / A L

dt dx dz

. dz dL r/M , ■

Ae ^- = — - — -— — 471 Azo + t dt dy dx

Nous nous proposons maintenant de démontrer que ^, tj, X, sont nuls.

L'équation de la conservation de l'énergie devient :

y«fT(Xi-f Y-^ + ZÇ) = 0.

Quelle hypothèse pouvons-nous faire sur ^, tj, ^ ? 11 y en a une qui est naturelle, c'est que ^, t], Ç sont des fonctions linéaires de X, Y, Z, L, M, N et de leurs dérivées prises par rapport à x, y, z^ les dérivées par rapport au temps pouvant être remplacées par leur valeur en fonction des précédentes.

Supposons lechamp seulement électrostatique: alors L, M, N

sont nulles ; —r-i "iT et — sont également nulles, puisqu'alors

le champ électrique est constant; enfin u, v, lo sont nulles, puisqu'il n'y a pas de courants.

On a donc :

quelles que soient les composantes X, Y, Z. Si \,'r\, C s'annulent, quelles que soient X, Y et Z, pourvu que L, M et N soient seuls, c'est que ^, -^ et Ç sont des fonctions linéaires de L, M, N et de leurs dérivées par rapport à x, 2/, 2. Ce fait ne peut être compatible avec notre dernière équation que si l'on

a dans tous les cas :

ce qui permet de simplifier le groupe des trois équations précédentes.

23. Équations fondamentales. — Nous avons donc obtenu successivement les deux groupes suivants d'équations :

. dh dz dy dt dy dz

. c?M c?X dz

' dt dz dx

et d'autre part

— AtzKu

dt ''

~ dz

dij

rfN

— 47:Au

dt '

— 47:AtO

dt ''

Nous venons de déduire ces équations, qui sont les équations fondamentales de la théorie de Hertz, du principe delà conservation de l'énergie, ce qui semblerait montrer que les anciennes théories étaient en désaccord avec ce principe. Il n'en est rien. Dans la théorie de Hertz, l'énergie électrique est la même, que le champ soit produit par des conducteurs chargés ou par des phénomènes d'induction, tandis que, dans les anciennes théories, on supposait bien une énergie au champ produit électrostatiquement, mais on supposait dénué d'énergie électrique un champ dû à des phénomènes d'induction.

CAS d'un diélectrique 27

24. Cas d'un diélectrique. — Les équations se simplifient lorsqu'on les applique à un point compris dans un diélectrique, et non dans un corps conducteur. En effet, m, v, lo disparaissent alors ; le premier groupe d'équations ne change pas, mais le second devient :

As —r-

dU ~ dz

d^ dy

~~ dx

dh dz

dL ~ dp

On peut, dans ce cas, passer du premier groupe d'équations au second en changeant X, Y, Z en L, M, N et [x en — e.

25. Théorème de Poynting. Vecteur radiant. — Considérons l'énergie totale comprise dans un volume donné de diélectrique limité par une surface fermée S .

J est nul puisqu'il s'agit d'un diélectrique.

Calculons les variations de E et de H.

Nous avons trouvé :

dR (k.dh

dt J A^■K JAKtzAj \dz dy }' d'ailleurs :

(iE U.dx s^ -^

dt'

expression que* l'on peut transformer au moyen des équations du paragraphe 24 et écrire :

t ~J 4 Att 2j' ^ \dz dy

En additionnant membre à membre ces deux relations, il vient :

t/ (E 4- H) p^.dui dt J 4A7r *

Considérons maintenant un vecteur a, è, c dont les composantes ont pour valeur :

Remarquons que le produit a% -\- b^ -f- cy n'est autre chose que le développement du déterminant A, divisé par 4A7r. L'équation précédente peut donc s'écrire :

d. (E + H) df.

- /(aa -\-bf,-\- cy). doi.

Elle s'interprète alors facilement de la façon suivante : Considérons un iluide fictif remplissant l'espace et dont les molécules ont en un point une vitesse représentée par le vecteur a, h, c. La quantité de ce iluide qui passerait à travers l'élément diù situé autour du point serait précisément :

[a% -\- b^ -\- cy). (io),

de sorte que l'équation précédente peut s'exprimer ainsi : La variation de la quantité d'énerg-ie existant dans le volume considéré est proportionnelle à la quantité de ce fluide qui traverse la surface enveloppante.