Différence avec la résonance acoustique

Lorsqu'on étudie la résonance en acoustique, on trouve un maximum très net dans l'intensité de la résonance. Si on construit une courbe dans laquelle les abscisses représentent les hauteurs des sons que l'on étudie avec un certain résonateur, et les ordonnées l'intensité de la résonance, on obtient une courbe telle que la première de la figure 14.

Dans le cas présent, au contraire, le maximum est très

mal marqué. On peut représenter l'intensité de la résonance par la plus grande distance des deux boules du micromètre à étincelles pour laquelle des étincelles se produisent: pour une certaine forme de l'excitateur et du résonateur, on rapprochera au moyen d'une vis les deux extrémités du

micromètre jusqu'à ce qu'on obtienne des étincelles, et c'est la distance à laquelle on sera ainsi conduit qu'on portera en ordonnée ; plus cette distance sera grande, plus l'intensité de la résonance sera grande. On pourra faire varier les dimen-

FiG. 14.

sions du résonateur et porter en abscisse sa capacité ; les courbes que l'on obtient ainsi sont analogues à la deuxième courbe de la figure 14 ; le maximum n'y est pas nettement marqué.

55. Causes de cette différence. — Différentes explications ont été proposées pour rendre compte de cette différence.

I. — Explications de MM. Sarasin et de la Rive. — D'après MM. Sarasin et de la Rive, un excitateur produit non pas une vibration simple, mais une vibration complexe ; il y aurait là quelque chose d'analogue à une source de lumière, qui, au lieu de donner dans un spectre une raie fine, donnerait une bande estompée.

Un excitateur pourrait, à la vérité, produire différents harmoniques, du moins la théorie permet de le prévoir ; mais

cette théorie n'est pas assez bien établie pour que l'on puisse connaître la loi de ces vibrations harmoniques ; cette loi serait, en tous cas, moins simple que celle des harmoniques en acoustique, harmoniques qui sont nettement séparés.

II. — Une deuxième explication peut être proposée et paraît plus près de la vérité. Pour l'exposer, nous allons donner une théorie de la résonance, qui s'appliquera aussi bien à un phénomène électrique qu'à un phénomène d'optique ou d'acoustique.

56. Théorie générale de la résonance. — Supposons un appareil qui puisse être le siège de mouvements périodiques ; ces mouvements seront naturellement troublés quand interviendront des causes perturbatrices extérieures ; si celles-ci sont elles-mêmes périodiques et de période voisine de la période précédente, le corps considéré, partant du repos, pourra acquérir un mouvement intense : c'est ce qu'on appelle un phénomène de résonance.

Une quantité variera en fonction du temps : supposons que la loi périodique soit une loi pendulaire ; cette quantité, que nous désignerons par y, aura pour expression :

y = A cos p< -}- B sin ^t et satisfera à l'équation :

Supposons maintenant une cause excitatrice : pour en tenir compte, il nous faudra donner un second membre à

l'équation précédente et l'écrire :

^ + pv = m-

Nous allons supposer que f[t) est une fonction périodique avec amortissement, ce qui a lieu dans l'excitateur de Hertz et, en somme, dans presque tous les cas. Nous aurons, par exemple, pour f [t) une fonction de la forme :

f[l) = Ae-«'cos yt -j- Be-«'sin yt.

Cette expression est la partie réelle de :

Nous allons poser :

A—iB = c

et nous allons intégrer l'équation :

dt

^^ -h \^hj = ce^^

Nous trouverons une intégrale imaginaire dont nous ne conserverons que la partie réelle.

L'intégrale générale de cette équation est de la forme :

Y = A. cos ^t + B. sin dt 4- -r^. — ^ e^'

Pour déterminer A et B, nous allons nous reporter aux conditions initiales : nous supposons qu'on part du repos.

Pour ^ = o, on devra donc avoir :

Ces deux conditions nous donnent :

Comme e a sa partie réelle négative, dans le calcul de l'amplitude de la vibration résultante on pourra négliger le dernier terme et considérer seulement les deux autres. Si A, et B, sont les parties réelles de A et de B, l'amplitude sera alors proportionnelle à :

V^Af + B?.

Nous ne voulons pas faire le calcul complet, mais seulement nous rendre compte du sens des phénomènes ; nous sommes donc conduits à étudier les variations de l'amplitude seulement dans le voisinage de son maximum, c'est-àdire quand j3^ -(- s? est voisin de o.

Faisons varier [3 d'une manière continue, en ne lui donnant que des valeurs voisines de celle qui correspond au maximum ; un seul terme variera d'une façon sensible, c'est

le terme en — — , — :/, l'expression S^ -\- s^ varie lentement

fi- + £- ^

elle-même au voisinage de 0, mais son inverse varie rapide-

ment. On pourra donc regarder les termes autres que -^ — . — 5

comme constants.

108 PROPAGATION LE LONG d'uN FIL

Lorsque e^ -|- p^ sera voisin de 0, le rapport - sera voisin de — /.

On aura donc sensiblement :

B= iA

et B, sera le coefficient de i dans A, changé de signe. L'amplitude :

se réduira donc au module de A, c'est-à-dire au module de :

Il nous faut donc chercher comment varie le module de 8'^ 4" ^^1 t[in est :

Si nous supposons a := o, cette expression se réduit à

c'est-à-dire que l'amplitude est inversement proportionnelle à p^ — v2. L'amplitude de la résonance devient donc infinie quand 8 tend vers y, ce qui revient à dire que la résonance a un maximum bien marqué quand les deux périodes sont égales.

Si au contraire a n'est pas nul, la quantité placée sous le radical ne peut s'annuler : il y aura un maximum, mais d'autant moins marqué que oc sera plus grand ; il aura lieu pour :

Ce résultat nous conduit à penser que, si la résonance est moins marquée, dans le cas que nous étudions, qu'en acoustique, cela tient à ce que l'amortissement a une valeur plus considérable.

M. Bjerknes, en s'appuyant sur les considérations qui précèdent, a cherché à calculer, pour l'excitateur de Hertz, l'amortissement, qu'il a trouvé plus considérable que ne l'indique la théorie (^).

Remarques. — I. — Nous avons supposé que le résonateur n'avait pas d'amortissement ; la théorie montre, en effet, que cet amortissement est faible, et M. Bjerknes l'a vérifié expérimentalement (2).

Supposons cependant que cet amortissement ne soit pas nul et voyons comment le résultat précédent serait modifié.

L'équation différentielle représentant un mouvement périodique amorti est :

et notre équation de tout à l'heure devient :

Le calcul se conduirait absolument comme lorsque S = ô ; au lieu de p^ -j- s^, on aurait à considérer l'expression :

dont dépendrait l'amplitude des vibrations ; on trouverait

' Bjerknes, Wied. Annalen, t. LXIV, p. 74. 2 Bjerknes, Wied. Annalen, t. LXIV, p. 74.

qu'il n'y a résonance parfaite que quand les périodes sont égales et que, de plus, les amortissements sont les mêmes. II. — Nous avons, en somme, cherché ce qui se passe lorsque le terme e-' était très affaibli, puisque nous avons négligé l'influence de ce terme. Or ce n'est pas tout à fait ce qu'on mesure : on n'observe qu'un fait, la production (^e l'étincelle au micromètre du résonateur. Nous mesurons donc, non pas l'amplitude des variations de y, quand elles sont devenues régulières, mais le maximum de y. Le calcul est plus compliqué que dans le cas précédent ; mais le maximum de y reste de la forme :

fonction de (e, p, y)

Le dénominateur est toujours le module de B^ -|~ ^^^ ^t le numérateur pourra, comme précédemment, être supposé constant : on arrivera aux mêmes résultats.

En somme, les phénomènes de résonance sont compliqués par l'amortissement; nous allons étudier un autre procédé de vérification de la théorie de Hertz.

Il n'y a pas toutefois, entre l'explication de MM. Sarasin et de la Rive et la mienne, une opposition aussi tranchée qu'on pourrait le croire au premier abord.

Les deux physiciens genevois supposent la coexistence de plusieurs harmoniques, de sorte que la perturbation pourrait être exprimée par la formule :

y^= ^ (Aa cosa« 4- Ba sina/),

les a, les Aa, les Ba étant des constantes, ou mieux (puisqu'ils

ont constaté, non une série d'harmoniques discrètes, mais une sorte de spectre continu) par la formule suivante, où les sommes sont remplacées par des intégrales :

) y= [^ (q) COSqt -\- '\>{q) sin qt] dq.

J'ai proposé au contraire la formule :

(P) t/ = e-«' (A cosyi; -|- B sinyi).

Or une fonction quelconque peut être représentée paa l'intégrale de Fourier, c'est-à-dire par l'intégrale (a). La formule (§) peut donc èe ramener à la forme (a), en faisant un choix particulier des fonctions cp [q] et '\t [q). Mon explication rentre donc, comme cas particulier, dans celle de M. Sarasin.

57. Propagation des perturbations électromagnétiques le long d'un fil conducteur. — Un autre procédé pour vérifier les conséquences de la théorie de Hertz est la mesure directe des longueurs d'onde. Supposons que nous fassions parcourir un fil conducteur par des perturbations électrpmagnétiques ; si nous admettons que la propagation se fait avec une vitesse constante^ la même pour les différentes perturbations, et que nous puissions mesurer les longueurs d'ondes qui correspondent à deux excitateurs différents, nous connaîtrons le rapport des périodes de ces deux excitateurs.

Si nous admettons de plus que cette vitesse constante a

pour valeur -ri nous connaîtrons la valeur absolue de chaque

période.

Si les résultats ainsi obtenus sont conformes à ceux que donne la théorie, ce sera une probabilité de plus pour elle.

Pour forcer les perturbations électromagnétiques à parcourir un fil, on peut employer différents procédés, parmi lesquels nous distinguerons le procédé électrostatique de Hertz et le procédé électromagnétique de M. Blondlot.

Méthode de Hertz. — Deux plateaux AB, de grande capacité, remplacent les deux sphères de l'excitateur (/z^r. 15);

Fid. 15.

vis-à-vis de ces deux plateaux sont placés deux autres A'B', au milieu de chacun desquels est attaché un fd d'une certaine longueur. On augmente ainsi les capacités des plateaux A et B en formant avec chacun d'eux une sorte de condensateur.

Si l'excitateur entre en mouvement, l'un des plateaux, A par exemple, se charge positivement, B négativement; au bout d'une demi-oscillation, les charges changent de signe et le même fait se reproduit au bout de temps égaux.

Les plateaux A' et B' se chargent par inlluoice d'électrici-

PERTURBATIONS ELECTROMAGNETIQUES H3

tés de signes contraires à celles des plateaux A et B, et les fils deviennent le siège d'un phénomène ondulatoire dont la période est celle de l'excitateur.

Méthode de M. Blondlot. — L'excitateur a la forme d'un fil recourbé aboutissant à une sorte de condensateur [fig. 16) ; autour de ce premier fil s'en trouve un second qui se continue par p , , .

deux fils rectilignes de

grande longueur. On isole les deux fils circulaires l'un de l'autre en les entourant d'une gaine de caoutchouc.

Quand les vibrations se produisent, l'excitateur est le siège de courants périodiques qui donnent lieu dans le deuxième fil à des courants induits de même période.

58. Ondes stationnaires dans les fils. — Pour pouvoir mesurer la longueur d'onde, il faut produire des ondes stationnaires. On peut pour cela employer différents moyens.

I. — Supposons un des fils des appareils précédents coupé en un point C : il se produira une onde directe de l'origine du fil au point G ; elle s'y réfléchit, de sorte qu'on obtiendra deux ondes périodiques se propageant en sens contraires, et interférant, d'où la production d'un système de nœuds, points où le courant est nul, et de ventres, points où le courant est maximum.

Le point C où le fil a été coupé doit être un nœud ; le courant doit, en effet, y être nul, puisque l'électricité une fois parvenue en C doit s'y arrêter et revenir sur ses pas ; cela n'est d'ailleurs qu'à peu près vrai, car il se trouve, en somme, au

point C une petite capacité où peuvent s'accumuler de petites quantités«d'électricité.

II. — On peut mettre les deux extrémités du fil en communication avec les armatures d'un condensateur. La réflexion se produit alors dans des conditions différentes. 11 y aura un ventre à cette extrémité du fil, car

I , une grande quantité d'électricité doit

' I --^ entrer dans le condensateur pour le

YiQ, 17. charger et le décharger alternative-

ment ; et cela sans que le potentiel varie sensiblement. Or nous verrons plus loin que les points où le potentiel est constant sont des ventres pour le courant. III, — On peut enfin réunir les deux extrémités du fil. Une perturbation partie de l'excitateur suit alors le premier fil rectiligne jusqu'au bout et revient jusqu'à l'excitateur en suivant le second fil; en même temps une autre perturbation part de l'excitateur en suivant le premier fil et revient ensuite le long du second fil. Chacun des fils est donc parcouru par deux perturbations marchant en sens contraire qui interfèrent en produisant des ondes stationnaires. Au départ ces deux perturbations sont égales et de signe contraire. Il se produit alors à cette extrémité commune un nœud, par raison de symétrie.

Résultats. — Hertz pensait donc trouver sur le fil des points stationnaires et voulait mesurer leur intervalle àTaide de son résonateur : près d'un nœud, celui-ci ne donnerait pas d'étincelles ; près d'un ventre, au contraire, les étincelles auraient un maximum.

Ses premières expériences confirmèrent sa manière de voir; du nombre trouvé pour la longueur d'onde et de la