Théorie de la propagation, d'après Hertz
Nous allons étudier la propagation des ondulations électromagnétiques dans un fil indéfini, rectiligne, de section constante, que nous prendrons pour axe des z.
Nous avons étudié plus haut les équations de la forme :
, dX, d^T),
dy dz'
nous en avons trouvé une première solution remarquable; dans le cas particulier où le champ est de révolution, nous en avons trouvé une autre, que nous avons appelée ^Vl'j C'î et dans laquelle les composantes ^' et t)' étaient constamment nulles.
Ici, ces deux solutions se confondent; en effet, les composantes M et u du courant sont nulles, et la fonction ^, par exemple, est nulle, puisque c'est le potentiel d'une matière
attirante fictive dans l'expression de la densité de laquelle entre u; il en est de même pour -q.
Dans le diélectrique, Ç satisfait à l'équation:
Nous allons supposer que la perturbation se propage avec une vitesse constante V qu'il s'agit de déterminer, t, sera de la forme :
en sorte qu'on aura :
dK 1 dK dz'^ ~ V^ dl^'
dK En remplaçant -r~^ par cette valeur dans l'équation précédente, celle-ci devient :
Pour déterminer V, nous allons nous servir des conditions aux limites : les lignes de force électrique doivent aboutir normalement à la surface du fil, c'est-à-dire normalement à 0^^. A la surface on aura donc :
d'où l'on déduit :
dl.
dl = '-
THEORIE DE LA PROPAGATION D APRES HERTZ 117 Appliquons nos formules :
dy dx
A ^ ih ^.
dt dy dx
Dans cette dernière équation, on a supposé e = 1 et ?o ^ o, puisqu'on l'applique à un point du diélectrique. Des deux premières de ces équations on déduit :
dL . dK dy ' dy^
m.__dK^ dx dx'^
En remplaçant dans la troisième -r- et -r- par leurs va-
dy dx ^
leurs, elle devient :
dZ dX dX dt dx'^ ~^ dy'^
et cette relation portée dans l'équation (1) donne :
dK De là on déduit, en supposant —^ différent de o, que la
vitesse de propagation est égale à l'inverse de A, c'est-à-dire à la vitesse de la lumière.
Ne pourrait-on supposer que -r-^ est nul à la surface, ce
qui ne laisserait pas subsister le résultat précédent ? Cela est impossible, parce que, comme on part du repos, on déduirait de là que :
à la surface ; or Z, est le potentiel d'une manière attirante de densité proportionnelle à v^^ et ce potentiel croît au contraire d'une façon rapide quand on s'approche de la surface du fil.
Il résulte de là que la seule solution est celle que nous avons indiquée, l'égalité de la vitesse de propagation et de la vitesse de la lumière.
60. On peut arriver au même résultat d'une autre façon : nos équations ont une autre solution remarquable que celle dont nous venons de nous servir.
C'est le potentiel vecteur F, G, H de Maxwell ainsi défini :
F est le potentiel d'une matière attirante de densité -|- Au
G + Au
Et, ici, dans m, v, ic il faut tenir compte des courants de conduction et des courants de déplacement. Nous avons :
f a. rfZ ^ (H dy dz
et d'autre part :
d'à, dy\
THÉORIE DE LA PROPAGATION d' APRES HERTZ 119 de là nous avons déduit (paragraphe -40) :
X — A — 4- — dt dx
dt dy
dt ' dz
le vecteur F, G, H remplaçant ici ^, tj, C-
Quelle est la signification de cette fonction V ? Le potentiel vecteur de Maxwell F, G, H satisfait à la relation :
dx dy dz
En différenciant les trois équations précédentes respectivement par rapport à a?, y, ^, et en les ajoutant ensuite membre à membre, on obtient donc :
dx dy dz
Le premier membre est par définition iîrp. On retrouve donc l'équation :
AV = — 47rp
exprimant que V est le potentiel dû à une matière attirante fictive de densité p. Ainsi s'introduit dans la théorie de Maxwell cette notion du potentiel électrostatique qui joue un si grand rôle dans la théorie ordinaire.
Supposons un point à l'intérieur du conducteur rectiligne ; la force électrique doit y être nulle, c'est-à-dire qu'on a :
OU
D'autre part, nous avons la relation suivante liant p, u. v^io qui n'est autre que l'équation de continuité :
da , du , dv , dto
dt dx dy ' dz
et qui se réduit ici à
d^ dw
di'^'dl ~ ^
—r est le potentiel d'une matière de densité -7dt ^ dt
dW I A —
cTz '^ '^ dz'
D'après la dernière équation, il résulte de là que :
, dN , dW
Remarquons que dans le calcul de H on a à tenir compte des courants de déplacement en même temps que du courant de conduction ; mais les premiers sont perpendiculaires à oz ; leur effet est donc nul, puisque lo est la composante parallèle à 0^. D'ailleurs, on pourrait voir que, même sans cette particularité, leur action serait négligeable.
Eten effet les courants de déplacement sont répandus dans tout l'espace, et les courants de conduction concentrés à la surface du fd; si donc le fd est de petit diamètre, l'action de ces derniers sur un point intérieur au fil sera évidemment prépondérante.
