THEORIE DE LA PROPAGATION D APRES HERTZ
De plus, alors même que les courants de déplacement qui suivent les lignes de force électrique ne seraient pas dans tout l'espace perpendiculaires à l'axe des 2-, ils devraient aboutir normalement au conducteur. Les portions de ces courants qui ne seraient pas perpendiculaires à l'axe des z, les seules qui puissent agir, seraient donc éloignées de la surface du fil et leur action ne pourrait être que très faible.
Nous avons donc trouvé les deux équations :
, dH , dY
, dY , dH
^dû+dl=''-
En les différentiant respectivement, la première par rapport à ^ et la deuxième par rapport à t, elles donnent :
. dm , d'Y dz.dt ' dz"
, d-'Y , dm
A —rrr + -z r r= o.
i dt^ ^ dz.dt
D'où l'on déduit
d^ d^ dt^ ~ dz^'
On obtiendrait de même :
dm<m^
dfi ~ dz^'
Ces équations expriment que la perturbation se propage avec la vitesse de la lumière.
Remarque. — Ce résultat, qui est donné par la théorie de
Maxwell, est aussi donné par la théorie ordinaire, comme Kirchoff l'a dém.ontré.
En eflet, si nous employons la théorie ordinaire, nous ne devrons plus tenir compte deà courants de déplacement. La force électrique est nulle en un point de l'intérieur du conducteur, si les décharges électriques sont assez rapides, comme W. Thomson Ta montré expérimentalement. Alors la composante Z est nulle, ce qui nous donne notre première équation :
, dU , dY
dt ' dz
D'ailleurs, dans la théorie que nous avons faite, nous avons négligé les courants de déplacement : il n'y a donc rien à changer au reste de notre calcul et nous arriverons au même résultat.
Deuxième remarque. — H est le potentiel d'une matière attirante de densité Ato ; le diamètre du iil étant très petit, H sera sensiblement égal à Aw multiplié par le logarithme de ce diamètre ; il sera donc proportionnel à îo et ses maxima et ses minima coïncideront avec ceux de te.
En un ventre (maximum de iv et de H) on aura :
dz
et par conséquent, d'après les équations qui précèdent :
le potentiel sera constant.
THÉORIE DE LA PROPAGATION d'aPRÊS HERTZ 123 En un nœud (e^ = H = ol , on aura :
et, par conséquent :
dY
dz le potentiel sera maximum.
M. Fizeau a mesuré directement la vitesse de propagation des perturbations électromagnétiques. Il n'a trouvé que 200 000 kilomètres environ : c'est qu'il employait des oscillations bien plus lentes que les oscillations hertziennes et qu'alors on ne peut plus négliger, comme dans le cas de ces dernières, l'effet de la résistance. ( Vide infra^ n° 87, g.)
61. Résonance multiple ('). — Nous avons exposé à la fin du paragraphe 57 en quoi consiste le phénomène de la résonance multiple : la longueur d'onde mesurée au moyen d'un résonateur dépend de ce résonateur.
MM. Sarasin et de la Kive interprètent ainsi ce phénomène : l'excitateur produit une vibration complexe, tandis que le résonateur ne donne qu'un mouvement périodique seulement ; il en résulte qu'on peut mettre en évidence une infinité de systèmes de nœuds, correspondant aux diverses vibrations simples en lesquelles on peut décomposer la vibration complexe produite par l'excitateur : on mesure donc la longueur d'onde correspondant au résonateur employé.
(') Sarasin et de la Rive, Comptes rendus, janvier 1890.
On peut expliquer aussi les faits observés par l'effet des amortissements de l'excitateur et du résonateur ; comme ces amortissements jouent un rôle dans tous les cas, avant d'examiner une autre interprétation, étudions cette influence. L'amortissement de l'excitateur est, comme nous l'avons déjà vu, très considérable par rapport à celui du résonateur ; poussons les choses à l'extrême et supposons d'abord que
l'amortissement de l'excitateur soit énorme, celui du résonateur —^ étant nul. Voici comment on peut p ,g alors se rendre compte de ce qui
se passe : à l'origine B du fil se produisent une série de chocs, de perturbations de très courte durée ; chacune d'elles se propage, arrive en C devant le résonateur sur lequel elle produit un premier effet, puis se réfléchit en A et revient donner au résonateur une deuxième impulsion.
Soit i l'intensité du courant produit dans le résonateur, et P la période propre de ce résonateur. On aura :
i = B. cosp/ -f C sinp^
les constantes B et C dépendant de l'intensité du choc qui produit la première impulsion; la deuxième impulsion se produit au temps a -j- A, si la première s'est produite au temps a, h étant le temps que met la perturbation à se propager *de C en A et à revenir de A en C après réflexion. 11 nous suffit, pour avoir le courant dû à cette deuxième impulsion, de changer dans l'expression précédente t en t — h et de la faire précéder du signe — , le courant de retour
RESONANCE MULTIPLE 125
étant de sens inverse au courant d'aller ; le nouveau courant dans le résonateur sera donc :
i= -~B. cos f> {i - h) — C sin.S [t — h)
de sorte que l'intensité totale du courant circulant dans le résonateur est :
B. [cos ^t — cos ^{t— h]] -f C [sin ^t — sin ^ {t — h)].
Pour qu'il y ait un nœud, c'est-à-dire pour qu'on n'observe point d'étincelles au résonateur, il faut que l'on ait à la fois :
cos ^t ^= cos p{t — /?) sinp^ = sinp (;! — h),
ce qui exige que :
^h r= SKtc, K étant un nombre entier.
h est le temps que la perturbation met à parcourir le
double de la longueur AC = l, avec une vitesse V = -r • On
peut donc écrire l'expression précédente :
p.2A; = 2K7r ou :
K.Tt
Ainsi on aura un nœud en faisant K =: o, ce qui donne ^ = o ; un autre en faisant K == 1, ce qui donne :
La longueur d'un internoeud dépend donc dans ce cas seu-
lement de la période du résonateur, et pas du tout de celle de l'excitateur.
62. Mais en réalité les choses ne se passent pas ainsi, et l'on doit supposer que le résonateur est mis en mouvement par une cause excitatrice de la forme :
B.e"*' cosv^ -|- Ce^^'sîny;,
où Y est la période de l'excitateur.
L'équation donnant l'intensité du courant dans le résonateur peut alors s'écrire :
__[ ^H— B.ô-«^-cosY^ + Ce-«'sinY^
11 nous faut intégrer cette équation en supposant, pour t =z o^i nul ainsi que ses dérivées. On trouve :
z = B'e - «' cos Y< + C'C"- «' sin y< + B" cos ^t -f- e" sin fJ<,
expression que nous appellerons :
et dans laquelle les constantes B', C, B",C'' sont des fonctions linéaires de B et C.
S'il n'y avait pas de réflexion en A, l'intensité du courant dans le résonateur serait :
S'il y a réflexion, la perturbation revient en sens contraire au bout d'un temps A et l'intensité du courant a pour expression :
