EXPLICATION DE LA DIFFUSION

prises le long d'un chemin allant de — x> à. -\- ce , mais passant au-dessus de l'axe des quantités réelles, de façon à éviter les points singuliers q = dz i.

La théorie des intégrales imaginaires de Cauchy montre que la première intégrale du troisième membre est égale à o pour £c -|- ^ < o et à :

pour X ~\~ t <, o.

De même la seconde intégrale est égale à o pour x — ^ > o et à A (a;, t) pour ce — ^ < o.

On a donc :

U ■=: o pour X > t,

U = A pour t y X > — t, U = o pour X <i — t,

On trouve d'ailleurs aisément

Jo étant la fonction de Bessel.

Soit maintenant ô = o, mais G, quelconque; ou, ce qui revient au même, f nul et f^ quelconque ; nous supposerons toutefois que f^ est nul pour x '^ a et x < 6 et différent de o quand x est compris entre b et a.

On a alors :

/!+ oc . '— ,^+00

OÙ Ion a posé :

, dq .

On voit que :

K = o pour ^>ic-f-/', ou z <C X — t

K = tJo (v [x — z)- — t-) pour œ -\- t > z :> X — t.

Comme, d'autre part, /", est nul sauf entre b et a, nous a — /j^

rons f si ^ > — ^— j cinq hypothèses à (listing- 1" a; > a -f- /, U = o,

uer

2° a-^t> X > h-\~t, U = '-^ Jo (V {x—zy — t^} dz

/ta

Soit maintenant f^ nul ; et f différent de o entre b et a, mais nul encore pour a; > a ou a; < b. Il vient :

U =/ 9 COS t \q- — idq,

de sorte que, pour passer du cas précédent à celui-ci, il suffit de changer 0, en 0(et/, en /'), et de différencier par