ETABLISSEMENT DE L ÉQUATION
S Le quotient — -y est une fonction connue, d'après la façon
dont nous avons posé le problème ; appelons-la cp {s,t)\ nos équations deviennent alors :
. ., di .de , .
di de ds dt
Eliminons une des deux fonctions inconnues, e par exemple, entre ces deux équations ; pour cela, différentions la première par rapport à ^ et la deuxième par rapport à s. On obtient :
^ -1^ -\ — -, — r = -r' d-'t ds.dt dt
ds^ "^ dt.ds
En retranchant ces deux dernières équations membre à membre, il vient :
i — \ A 2 d'I U'Jji
^ ' dî^~d^'^di'
De cette équation il nous faut tirer î, en observant les conditions aux limites, qui sont que :
i =z o pour
l étant la longueur du résonateur.
D'après le théorème de Fourier, on peut écrire :
i =2j ^'t sin — •
Chacun des termes de la série s'annule pour 5 = o et s = l ; on pourrait démontrer qu'il en résulte que la valeur de la série s'annule pour s = o et s = l.
D'ailleurs on aura :
dt
= 2j^n sin —
les coefficients C,j étant des fonctions supposées connues. Pour calculer les coefficients du développement de e, il
suffit de remplacer dans l'équation (7) i et -— et d'identifier. On aura :
d'^i sry d-^,i ■ nus
dt^ = 2j--dF"''''-
d^i Y^ -^ n^Ti^ . rnzs
^ = - 2j ï^" • IT sm — .
En remplaçant dans l'équation (7) et en égalant les coefïicients de sin — - dans les deux membres, on obtient :
A" ^^^B„ ■ n^Ti^ R r
dr^ "^ r- ^" ~ ^"'
109. Résultats. — Les équations telles que l'équation précédente nous définissent les coefficients B, les coefficients C étant des fonctions données de t.
Remarquons que, dans ces équations, il ne figure pas de terme correspondant à l'amortissement des oscillations du
résonateur, terme qui serait en — r^- ^ dt.
H n'y a rien d'étonnant, car nous avons justement négligé dans le calcul les deux causes de cet amortissement, c'est-àdire :
1° La chaleur de Joule :
2° Les courants de déplacement dûs au résonateur, c'està-dire le rayonnement propre du résonateur.
Cherchons maintenant les équations qui définissent les vibrations propres du résonateur ; pour cela, supposons que le résonateur une fois mis en mouvement soit abandonné à lui-même, ce qui revient à faire (u == o dans nos équations.
Les coefficients du développement de -j- seront nuls et
nous aurons des équations de la forme :
Ces équations nous définissent les différents harmoniques du résonateur ; mais le seul qui ait été observé est le premier ; faisons donc n = i, nous aurons :
d'où l'on tire :
B, = cos J--
Ainsi la période est 2AZ et, par suite, la longueur d'onde 2^, c'est-à-dire deux fois la longueur du résonateur ; or, MM. Sarasin et de la Rive ont trouvé expérimentalement que cette longueur d'onde est égale à huit fois le diamètre du résonateur, de sorte que la longueur d'onde théorique est à
la longueur d'onde expérimentale dans le rapport -•
Il est à penser que, même en conduisant le calcul d'une manière plus rigoureuse, la théorie, telle que nous l'avons
exposée, ne conduirait pas au même résultat que l'expérience, car la différence précédente est considérable. Il nous faut donc modifier cette théorie.
110. Modifications à apporter à la théorie. — Devonsnous modifier notre mode de raisonnement, basé sur la théorie de Maxwell, ou bien les conditions aux limites?
Occupons-nous d'abord des conditions aux limites. MM. Sarasin et de la Rive ont étudié, comme nous l'avons vu, la propagation des oscillations électriques le long d'un fil coupé brusquement. Le résonateur circulaire qu'ils employaient avait 0'",70 de diamètre ; la distance d'un nœud à
8 X 0'" 70 un ventre devait donc être r— ' — = 1°',40. C'est bien ce
qu'ils ont trouvé tout le long- du fil, excepté à l'extrémité : le nœud qui existait pour le courant à l'extrémité du fil n'était qu'à 1"',10 du ventre le plus proche.
Ces expériences, faites sur un fil rectiligne, permettent de concevoir que, dans un résonateur circulaire, il y a des perturbations analogues.
On peut, pour essayer d'expliquer ces perturbations, supposer que les extrémités ont une certaine capacité, ce que nous avons négligé dans les calculs. Mais l'effet de faibles capacités est bien peu considérable et ne peut complètement expliquer des écarts aussi grands entre la théorie et l'expérience.
Il est donc probable qu'il faut modifier de quelque façon la théorie, sans que cela change d'ailleurs le sens général des autres résultats (').
(1) Voir à ce sujet la note de MM. Birkeland et Sarasin dans les Comptes rendus, 1893, deuxième semestre.
