Calcul de ——• — Nous allons calculer le potentiel V
Soit ^ l'arc de Taxe du résonateur ; coupons le fil par deux plans normaux à l'axe, à une distance cls l'un de l'autre ; nous découpons ainsi un petit cylindre, à la surface duquel est une certaine quantité d'électricité que nous représenterons par :
e.ds.
Appelons i l'intensité du courant qui traverse une des bases du petit cylindre, et écrivons l'équation de continuité.
Il entre par une des bases une quantité d'électricité représentée par :
i.dt
et il sort par l'autre base une quantité :
(i + frf,)*.
La quantité d'électricité comprise entre les deux bases du cylindre ayant augmenté de :
de.ds pendant le même temps dt, on a :
-' dt = de.
ds
d'où l'équation :
ds ' df.
di de
Le potentiel V2 est dû à l'électricité qui existe à la surface deR.
Or, un cylindre de longueur I, chargé uniformément à sa surface d'une quantité d'électricité e par unité de longueur, produit en un point de son axe un potentiel exprimé par :
2e.log. —5 Po
ou :
2e[log2^-logpo].
Le second terme est très grand par rapport au premier, à cause de la petitesse de p^, et on peut écrire approximativement :
— 2elog. po.
Si la distribution sur le fd n'est pas homogène, on peut
ETABLISSEMENT DE L EQUATION 229
encore employer approximativement la formule précédente, e étant la valeur qui correspond au point considéré. Si le fil n'est pas rectiligne, on peut l'employer également, en négligeant des quantités de l'ordre de celles que nous avons déjà négligées.
Posons :
^^ = — 2log. po-
L'expression du potentiel au point M sera sensiblement :
De là on déduit :
En effet on a
Va = he.
dN.^ de
dx ds
dY, = —' dx -I- ^a ^y + '^ dz.
dx ^ dy dz
Ici, l'axe des x étant parallèle à la tangente en M, on a :
dx . dy dz
ds ds ds
Il reste donc :
c^V, = —r-^ ds,
^ dx
ou comme dx =z ds :
dY.2 de^
dx ds
dF ' 105. Calcul de A —r^- — On a dt
Fa = pot (At<2).
Mais «2 est la projection sur ox du courant /, c'est-à-dire :
i cos cp ;
cp étant l'angle que fait avec l'axe des x la tangente au fil au point considéré, et par suite on a :
F3 = pot (Al cos 'f).
En répétant le raisonnement que nous avons fait pour le calcul de ¥3, on trouverait :
F2 = A/«coscp.
Ici, la tangente en M étant parallèle à l'axe des jp, il reste :
F.; = khi.
d'où :
^F. , , di dl di
d¥" 106. Calcul de A —r' — Nous allons montrer que ce dt
terme est négligeable vis-à-vis des autres termes de l'équation. En effet, F 2 est le potentiel dû à une matière attirante de densité :
\-K dl
Pour un point situé à l'intérieur de Fi, on a Xg = — X,,
d'où :
d\^ rfX,
dt "~ dt
Pour les points extérieurs à R, nous allons chercher non pas à calculer exactement la valeur de X^, mais à nous faire une idée de son ordre de grandeur.
Établissement de l'équation 231
Remarquons d'abord que pour un point pris à la surface on a encore :
puisque la composante tangentielle de la force électrique doit être nulle et que la tangente est ici parallèle à l'axe des x.
Considérons le cas simple où R est un cylindre de révolution de rayon p^ indéfini, et placé dans un champ variable do révolution autour de l'axe du cylindre que nous prenons pour axe des x. Le champ produit par R sera aussi de révolution, et les lignes de force électrique, qui sont aussi les lignes parcourues par les courants de déplacement, seront dans les plans méridiens.
On a une sorte de série de nappes coniques concentrant le courant à la surface de R. Par exemple, l'élément AB et l'élément A'B' [fîg. 49) engendrent p^^^ 49^ chacun en tournant autour de ox
une surface conique, et le flux de force qui traverse la surface AB est égal au flux qui traverse la surface A'B'.
Or les surfaces telles que celle engendrée par AB varient en raison inverse de la distance p de l'élément AB à l'axe de
révolution ox^ de sorte que, en un point, X, et X, "^ sont de même ordre de grandeur.
On peut donc dire que F 2 est le potentiel dû à une matière dont la densité est du même ordre de grandeur que :
A c?X, Pq
47r dt p
Changeons de variables et posons :
y = p cos 0) z = p sinto.
F 2 est de la forme :
M étant une quantité de l'ordre de grandeur de -^ ^
et dx représentant un élément de volume. p étant inférieur à r, on peut écrire :
fil ^^ < (Il Êi' ch,
ou en remplaçant ch par sa valeur :
(m Ê-*^ ^ < M £-0 ç.dp.cho.dx ou < ppo ^'d.y.dx.
Po étant la plus petite valeur que puisse prendre p, on voit que cette dernière intégrale est au plus de l'ordre de grandeur de :
Mpologpo-
En sorte qu'on peut poser en désignant par 6 une quantité finie :
F^==9.Pologp.A^-^,
d'où :
dF" d^X
A-^-^=G.p,.logpo.A2^-
dt ^^ ^'^^ dt^
ETABLISSEMENT DE l'ÉQUATION 233
En remplaçant les différentes expressions qui figurent dans l'équation (3) par leurs valeurs respectives, cette équation devient :
X, + A-'A - H- A-'G.p,logpo -j^ ^h-= o.
Mais on a posé :
7ï, = — 21ogpo-
Le troisième terme du premier membre, qui renferme le facteur log po, comme le deuxième et le quatrième, et en même temps le facteur p^, est donc infiniment petit par rapport à ces deux termes, de sorte que l'équation (3) devient :
Remarquons que cette équation n'est vraie que pour le point M où la tangente est parallèle à ox.
107. Nous allons maintenant généraliser l'équation que nous venons d'obtenir.
Soit S, la projection sur la tangente de la force X^,Y^,Z,, Nous pouvons, puisque l'axe des ce est parallèle à la tangente au point que nous avons considéré, écrire l'équation précédente :
dt ds
Cette équation est maintenant indépendante du choix des axes ; c'est une équation intrinsèque, elle est vraie en tout point M du résonateur.
En la joignant à l'équation (4) que nous avons obtenue
précédemment, nous avons le groupe d'équations :
dt ' ds (5)
(di de
108. Conditions aux limites. — Que se passe-t-il aux extrémités du résonateur et comment pourrons-nous exprimer les conditions aux limites ? C'est ici que nous allons trouver le point faible de la théorie.
Un résonateur peut fonctionner de deux façons: avant que l'étincelle éclate, l'intervalle existant entre les deux boules du micromètre joue le rôle d'un diélectrique. Au moment où l'étincelle éclate, il joue le rôle d'un conducteur.
C'est le premier point qui est surtout intéressant et que nous étudions : on mesure l'amplitude de l'oscillation avant que l'étincelle éclate.
Ce qui résulte le plus naturellement de la théorie de Maxwell, c'est que le courant s'annule aux deux extrémités du résonateur. Nous allons adopter cette hypothèse et en chercher les conséquences ; nous verrons qu'elles ne s'accordent pas tout à fait avec les phénomènes expérimentaux, et nous chercherons à modiher notre hypothèse de façon à la mettre d'accord avec les faits.
Remarquons que la première des équations (5) montre que i et e varient en raison inverse de h ; il ne faudrait pas conclure de là qu'un résonateur est d'autant plus sensible que h est plus petit, c'est-à-dire que le fil est plus gros, car ce qu'on mesure est la différence de potentiel entre les deux extrémités de l'interrupteur, et nous avons vu que l'expression du potentiel était he, qui ne dépend point de h.
