IF

On peut l'écrire

'di~~}\d'x'^d'y'^~d'zj-

Mais nous avons d'autre part (14)

/c/.eX çUY , d.z7A \ dx dy dz )

„ (dx /d.eX , d.tY , d.sY^ j At:\ dx

DEFINITION DU GOURANT 21

d'où :

dE d. Id-c /d.tX .cl.tY d.%Z

dt dt I A-K \ dx ' dj/ dz

dE En égalant les deux valeurs de —5 on obtient l'équation

d. Y^ rf.eX / 'V '^^

di ' 2j' dx ~~ ~ *'■ 2j dx'

22. Application du principe de la conservation de l'énergie. — Nous allons maintenant appliquer le principe de la conservation de l'énergie et tirer de là et de nos définitions les équations fondamentales de la théorie.

Nous avons à envisager plusieurs sortes d'énergie :

L'énergie électrique, E = l— — V-X-;

T > . • - • TT (u..dT VI T O

L énergie magnétique, H = l— — • /.L.'

En outre, la chaleur produite par les courants, due aux phénomènes de Joule et de Peltier ; nous désignerons par 3.dt la quantité totale de chaleur produite par les courants pendant le temps dt.

Comme nous n'avons pas à considérer ici de travail mécanique, le principe de la conservation de l'énergie s'exprimera par l'équation :

dt ~ dt ~

Calculons séparément chaque terme :

dt ~J 47t 2j dt

dW f\j..dT Y^ dh

~dt ~j~^ 1j dt'

Nous allons transformer cette dernière expression en nous servant des équations du paragraphe 19,

d\^dL dri

^ dt dy dz'

dt ~j ^kizlj- \dy dz)

Remarquons que V . L -7^ est la somme des trois termes :

ay ' dz ^ dx

et que cette somme peut s'écrire V-M —5 puisque, par permutation, on retrouve bien les trois termes.

De même on peut écrire V . N -y- au lieu de V . L '^

On a alors

dt 4A7r

E-Mg^^^

Nous allons transformer cette expression en employant un procédé de calcul analogue à l'intégration par parties.

PRINCIPE DE LA CONSERVATION DE l'ÉNEROIE 23

Nous savons que pour une surface fermée quelconque et une fonction F quelconque

f^^'-fi'

Appliquons ce théorème en faisant F = MX. On obtient

fi.UX.,.=Ju'I§,.+Jx^ch. (1)

On obtiendra de même :

fm-<i<^=fn§.h+fx

Nous pouvons écrire deux autres équations analogues à (1) et deux autres analogues à (2). Additionnons membre à membre les six équations ainsi obtenues, en changeant les signes des trois équations du dernier groupe.

Pour simplifier, désignons par A le déterminant

ce p y

dont le développement va se trouver dans le premier membre de la somme. Cette somme peut s'écrire :

d'où l'on déduit :

dt J AAt: J AAt:' 2j^\dz dy)

Dans cette expression, H représente l'énergie magnétique contenue dans un volume limité par une surface fermée S ; la première intégrale est étendue à tous les éléments de cette surface, et la deuxième à tous les éléments du volume enveloppé.

Étendons cette équation au cas de l'espace indéfini ; les perturbations que nous aurons à considérer sont des perturbations locales; nous pouvons donc considérer le champ comme nul à l'infini ; les éléments de la surface enveloppante étant à l'infini, la première intégrale est nulle, et il reste :

dt ~ j AAtzIj \dz~ dij)' D'ailleurs, nous avons trouvé :

J =f^-^-^ {X — X).dT

et nous avons posé : w = X (X — X).

Nous avons donc formé tous les termes de notre équation primitive, qui peut alors s'écrire :

/•(^T. vi ,. r, dX dM , dN . , . 1 Telle est l'équation qui exprime la conservation de l'éner-

PRINCIPE DE LA CONSERVATION DE L ENERGIE 25 gie ; elle nous conduit à poser :

. dX d^l dN , , , , . dy d^ dL , . ,

Ae — = — — — —AizAio -\dt dy dx

Nous nous proposons maintenant de démontrer que ;, -/j, Ç sont nuls.

L'équation de la conservation de l'énergie devient :

Jf/T(Xi-]-Y7i + Zq = 0.

Quelle hypothèse pouvons-nous faire sur \, tj, t, ? 11 y en a une qui est naturelle, c'est que \, -^, X, sont des fonctions linéaires de X, Y, Z, L, M, N et de leurs dérivées prises par rapport à x, y, z, les dérivées par rapport au temps pouvant être remplacées par leur valeur en fonction des précédentes.

Supposons le champ seulement électrostatique: alors L, M, N

, ,, dX dY dZ , , „ . ,

sont nulles ; — > "77 et — sont également nulles, puisqu alors

le champ électrique est constant; enhn u, v, lo sont nulles, puisqu'il n'y a pas de courants.

On a donc :

quelles que soient les composantes X, Y, Z. Si ;,-/), ^ s'annulent, quelles que soient X, Y et Z, pourvu que L, M et N soient seuls, c'est que ;, 7; et ^ sont des fonctions linéaires de L, M, N et de leurs dérivées par rapport à x, y, z. Ce fait ne peut être compatible avec notre dernière équation que si l'on

a dans tous les cas :

ce qui permet de simplifier le groupe des trois équations précédentes.

23. Équations fondamentales. — Nous avons donc obtenu successivement les deux groupes suivants d'équations :

. dL dz dp

^ dt dy dz

' dt

, dN

^^dt =

et d'autre part

. c^X dM

Ae -— = -—

dN dij

— A-kAu

d\' dN dt dx

dL dz

— 47rAy

. dZ dL

^^ ^77 = ~ dt ay

— AtAw

Nous venons de déduire ces équations, qui sont les équations fondamentales de la théorie de Hertz, du principe delà conservation de l'énergie, ce qui semblerait montrer que les anciennes théories étaient en désaccord avec ce principe. Il n'en est rien. Dans la théorie de Hertz, l'énergie électrique est la même, que le champ soit produit par des conducteurs chargés ou par des phénomènes d'induction, tandis que, dans les anciennes théories, on supposait bien une énergie au champ produit électrostatiquement, mais on supposait dénué d'énergie électrique un champ dû à des phénomènes d'induction.

CAS D UN DIELECTRIQUE 'il

24. Cas d'un diélectrique. — Les équations se simplifient lorsqu'on les applique ù un point compris dans un diélectrique, et non dans un corps conducteur. En effet, w, v, w disparaissent alors; le premier groupe d'équations ne change pas, mais le second devient :

Ae -7-

dN dy

A d^ Ae — :

~ dx

■ dz

Ae — - :

~ du

On peut, dans ce cas, passer du premier groupe d'équations au second en changeant X, Y, Z en L. M. N et u. en — e.

25. Théorème de Poynting. 'Vecteur radiant. — Considérons l'énergie totale comprise dans un volume donné de diélectrique limité par une surface fermée S.

J est nul puisqu'il s'agit d'un diélectrique.

Calculons les variations de E et de H.

Nous avons trouvé :

dt I AXt. UA-2j''^\dz dt/)'

d'ailleurs :

dE ^ jt^ ^ dX dt / 4- — J ' dt '

expression que l'on peut transformer au moyen des équations du paragraphe "21 et écrire :

dE dt

JAXt:^'' \dz dy)

En additionnant membre à membre ces deux relations, il vient :

c/ (E + H) /A.rf(D dt J 4A7r '

Considérons maintenant un vecteur a, 5, c dont les composantes ont pour valeur :

Remarquons que le produit ax -\- b^ -j- cy n'est autre chose que le développement du déterminant A, divisé par 4A7r. L'équation précédente peut donc s'écrire :

d. (E 4- H) dt

= j{a(x. -\- bp-\- cy). dw.

Elle s'interprète alors facilement de la façon suivante : Considérons un fluide fictif remplissant l'espace et dont les molécules ont en un point une vitesse représentée par le vecteur a, è, c. La quantité de ce fluide qui passerait à travers l'élément doi situé autour du point serait précisément :

[ax -\~ àf, -\- Cy). doi,

de sorte que l'équation précédente peut s'exprimer ainsi : La variation de la quantité d'énerg-ie existant dans le volume considéré est proportionnelle à la quantité de ce fluide qui traverse la surface enveloppante.