Différentes manières de poser le problème

Pour que la solution obtenue soit acceptable, il faut que la force magnétique soit nulle à l'intérieur des conducteurs, ou que l'expression :

\.dx -f- r^dy -\- "(.dz

soit une différentielle totale exacte, ou, ce qui revient au même, que la force électrique soit normale à la surface des conducteurs.

Nous pouvons donc poser le problème de trois façons, de même qu'un problème de distribution électrique en électrostatique peut être envisagé de trois manières.

On peut se proposer en électrostatique :

l°De trouver une fonction V qui soit constante à l'intérieur des conducteurs ;

2" De chercher une distribution à la surface telle que la force électrique soit nulle à l'intérieur des conducteurs ;

3° De chercher une distribution telle que la force électrique en un point de la surface d'un conducteur soit normale à cette surface.

De même ici nous aurons trois façons de poser la question :

1° Chercher des fonctions X, Y, Z, L, M, N, satisfaisant aux équations de Hertz dans le diélectrique, avec la condition limite pour la force électrique d'être normale à la surface. Une fois ces fonctions connues, on en déduira m, î', lo ;

2° Chercher à déterminer \, t), Ç, en sorte que l'expression :

\dz -\- y^dy -\- X,dz

soit à l'intérieur des conducteurs une différentielle totale exacte.

De là on déduira L, M, N, puis m, u, lo et X, Y, Z;

3° Chercher à déterminer u, v, îo, en sorte que la force électrique soit normale à la surface des conducteurs en tous les points de la surface.

44. Autres solutions de nos équations. — Nous avons trouvé une solution de nos équations :

. I v".dT'

I w" .dz

AUTRES SOLUTIONS DK NOS EQUATIONS 81

Cette solution n'est évidemment pas unique, car si nous posons :

^ —'^ dx dS

dy dz

en désignant par S une fonction quelconque de x^y^z^ t, nous avons encore là une solution de nos équations. En effet, les relations de la forme :

j. dX, d-f\

dy dz ■ .

sont satisfaites par \\ ■r{, C si elles le sont par l, iq, !;, puisque l'on a :

dy.dz dz.dy

Parmi ces solutions, il y en a quelques-unes qui présentent une forme remarquable.