L := i 0,e"f- -|^ dq = / -^^ K

lise l'ROPAGATION LE LONG D UN FIL

OÙ Ion a posé :

/ f'"''>-^--)sin ISq- — ! , K= ; ==éi (ht.

On voit que :

K = o pour ^>^-|-/, ou z <i X — / el :

K = ttJq (v [ce — z)- — t-) pour X -\- ty z ':> X — t.

Comme, d'autre part, f^ est nul sauf entre h et «, nous aurons ( si < > — - — j cinq hypothèses à distinguer :

(4) ; 3" ^ + « > a. > « - /, U =/ ^^ l,dz.

A'^ a- t> x> fj — t, l] = t^^ ]^dz,

Soit maintenant /'^ nul ; et / différent de o entre h et a, mais nul encore pour a; > a ou a; < i. U vient :

U =/ 0 cos l yV/" — ^dq.

de sorte que, pour passer du cas précédent à celui-ci, il suffit de changer 9, en 0(et/, en /'j, et de différencier par

EXPLICATION DE LA DIFFUSIuN IHI

rappurt à l. On trouve ainsi dans nos cinq hypothèses :

; 1° X > aA- t, U = o.

tJ J-t" "

^tx + t

Nous avons ainsi la sohition complète de deux cas particuliers, celui où f est nul et celui où f^ est nul. 11 est clair que l'on résoudrait le cas général en ajoutant ces deux solutions particulières.

Les résultats précédents peuvent donner lieu à diverses observations ; on voit d'abord que la tèle de la perturbation se propag-e avec une certaine vitesse, de telle sorte que, en avant de cette tête, la perturbation est nulle, contrairement à ce qui se passe dans la théorie de la chaleur de Fourier et conformément aux lois de la propagation de la lumière ou du son par ondes planes, déduites de l'équation des cordes vibrantes. Mais il y a, avec ce dernier cas, une différence importante, car la perturbation en se propageant laisse derrière elle un résidu qui n'est pas nul ; car U ne s'annule pas pour b -\- t "> X '^ a — t.

Si a — b est très petit, c'est-à-dire si la perturbation est de très courte durée, les termes qui, dans les équations (4) et (o), sont exprimés par des intégrales sont très petits, tandis

188 PROPAGATION LE LONO d'uN FIL

que les termes débarrassés du signe / restent finis. On a donc sensiblement

U = - /"(a; — t) pour a -\- t > x :> b -{- t.

U = - f [x -\- t) pour a — t '^^ x ':> b — /,

U = o dans tous les autres cas.

Le résidu est donc négligeable devant la perturbation principale ; mais il n'en est plus de môme si la perturbation est de longue durée et si a — h est fini. Le résidu peut alors troubler les observations.

De même, si la perturbation se compose d'une suite de courants alternatifs de très grande fréquence, les intégrales (dont les éléments seront alternativement positifs et négatifs et changeront de signe un très grand nombre de fois dans l'intervalle d'intégration) seront très petites pendant que les

termes débarrassés du signe / resteront finis. Ici encore

résidu sera négligeable devant la perturbation principale.

Mais, dans les expériences de M. Fizeau, les courants n'étaient pas alternatifs, mais intermittents ; de plus, la durée de chaque période était relativement longue, et enfin, l'intervalle de temps qui séparait deux émissions de courant consécutives n'était pas plus long que la durée de chacune de ces émissions. Dans ces conditions, l'influence du résidu devait être considérable, et c'est ce qui explique le phénomène de la diffusion observé par M. Fizeau.

87 e. Influence de la difi'usion. — Je ne veux pas don-