I. — Les définitions nominales et les postulats d'existence

Une définition est une égalité logique, dont le premier membre, appelé le défini, est un terme nouveau qui n'a pas encore reçu de sens, et dont le second membre, appelé le définissant, est une combinaison logique de notions désignées à laide de termes connus (déjà définis ou admis comme indéfinissables). Le terme à définir étant, par hypothèse, dénué de sens avant d'être défini, la définition est une convention verbale que 1 on fait en vue d'abréger le discoui's. Elle revient, en efl'et, à désigner d'un seul mot un assemblage, plus ou moins complexe, de notions anciennes : c'est pour cela qu'on 1 appelle souvent une définition nominale.

Une définition nominale n'est jamais une proposition : elle n'est ni vraie, ni fausse ; on ne peut ni l'affirmer, ni la nier, mais seulement l'admettre ou la rejeter pour des raisons de commodité, de convenance et d'usage. C'est en ce sens que les définitions sont libres et arbitraires. Dans les discussions, elles doivent faire l'objet de conventions mutuelles, sous le risque de tomber dans une vaine logomachie. Dès que l'on invoque l'usage, la définition n'est plus libre ; ou, plus exactement, elle fait place à une proposition qui consiste à affirmer que le sens habituel de tel terme est bien le sens indiqué dans le définissant. Une affirmation de cette nature peut être légitimement contestée à l'aide d'exemples autorisés. Les propositions de ce genre s'appellent, dans la logique classique, des définitions de cfioses ou d'idées, par opposition aux définitions nominales ou de mots.

- Les définitions nominales n'étant pas des propositions, c'est-à-dire des vérités, mais des conventions, ne sont pas sources de vérités. Elles ne doivent jamais figurer dans l'enchainement des propositions d'une théorie dcductive à titre de principes de démonstration. Elles nïnterviennent qu à titre d'artifice de lang-ag-e en vue de rendre le discours plus concis. C'est ce qu il est facile de justifier. I.a définition étant une égalité logique entre deux membres, on peut toujours substituer dans les raisonnements le définissant au défini. On pourrait alors se passer de toutes les définitions, si l'on ne reculait pas devant la complication extraordinaire que cela entraînerait dans l'énoncé des propositions. Comme les définitions ont pour but de ramener toutes les notions dérivées d'une théorie aux notions premières, il en résulte cette conséquence remarquable : toutes les propositions dune théorie déductive peuvent être considérées comme portant, en définitive, sur les seules notions indéfinissables de la théorie ; car, si, dans leur énoncé, on remplace tous les termes définis par les définissants, il ne restera plus que les termes désignant les notions indéfinissables. Par exemple, si l'on définit, comme M. Pieri, tous les termes de la géométrie en fonction des deux notions indéfinissables, le point et le segment., tous les théorèmes de la géométrie seront des propositions concernant les points et les segments. Comme les propositions premières d'une théorie déductive expriment les relations logiques extrinsèques qui caractérisent équivoquement les notions choisies comme indéfinissables, la conséquence précédente implique la suivante : tous les théorèmes d'une théorie déductive sont des conséquences logiques des propositions choisies comme premières, de sorte que toute la théorie est condensée en elles. Une définition n'implique Jamais Vexistence logique du défini : elle ne garantit pas que la combinaison logique des notions qui forment le définissant ne soit pas contradictoire. C'est ainsi que l'on définit souvent des concepts absurdes, quand ce ne sendt que pour raisonner sur eux et prouver leur absurdité : le plus grand des nombres entiers, un carré de même aire quun cercle, un nombre commen.surable égal à tt, le plus rapide des mouvements, etc. Pour montrer que la notion nouvelle, fournie par la combinaison logique dénotions anciennes, à la({uelle la définition nom,inale impose un nom déterminé, n'est pas contradictoire, il faut recourir à lun des

LA DKMONSTRATION KS PRI^JCIPKS 139

deux procédés suivants : ou bien Ton constate intuitivement ou empiri{{uement l'existence d'objets représentables qui répondent à la définition proposée ; ou bien l'on démontre l'existence logique de ces objets, en établissant que, si certains autres objets sont donnés comme possililes (et on établit leur possibilité à l'aide du premier procédé), les objets en ([uestion existent alors aussi. C'est k cette dernière façon de procéder que se rapportent les constructions par lesquelles, en g-éométrie élémentaire, on démontre l'existence loj^ique des fig-ures nouvelles nominalement définies. On établit qu'on peut construire ces figures à l'aide de la règle et du compas, c'est-à dire à condition d'admettre la possibilité de tracer des seg-ments de droite de toute long-ueur et de décrire des cercles de tout rayon. Pour établir que les segments de droite de toute longueur et les cercles de tout rayon sont possibles, on a recours au premier procédé : on construit des instruments qui permettent de les réaliser graphiquement à volonté.

Affirmer qu'une notion n'est pas contradictoire ou, ce qui revient au même, qu une classe n'est pas vide, c'est énoncer une proposition d'existence, susceptible de vérité ou de fausseté; c est dire en effet : il existe ou il peut exister des individus tels qu'ils présentent les caractères qui servent à définir la compréhension de cette notion ou k déterminer l'extension de cette classe. Affirmer qu'il existe ou qu'il peut exister un seul individu appartenant k une classe donnée, c'est énoncer une proposition d'unicitc, susceptible également de fausseté ou de vérité.

Lorsque 1 on a posé une définition nominale, le terme défini ne doit jamais figurer dans un raisonnement, avant que l'on ait prouvé que l'objet qu'il désigne existé, c'est-à-dire avant d'avoir prouvé que le complexe d'idées aucpiel on l'applique n'est pas contradictoire. En effet, comme Leibniz l'avait vu, d'une notion contradictoire ou absurde on peut déduire des propositions contradictoires, et, par suite, démontrer tout ce qu'on A-eut. Il faut donc faire suivre chaque définition nominale, dans une théorie déductive, d'iln théorème d'existence {et d'unicité, s'il y a lieu); de même, au début d'une théorie déductive, il faut postuler explicitement qu'il existe des objets qui correspondent aux termes choisis comme indéfinissables, et les postuler en nombre suffisant pour pouvoir construire, en

l'iO LES PAKALOGISMES DL RATIONALISME

vertu des principes formateurs, tous les autres objets de la théorie. Pour démontrer un théorème d'existence, on s'appuie sur les postulats d'existence et sur les principes formateurs de la théorie envisagée : on montre qu'en partant des objets postulés au début ou obtenus par construction en vertu des principes formateurs, on peut construire l'objet dont on vient de poser la définition nominale. Bref, on peut poser le principe suivant : Un objet n'existe jamais logiquement et a fortiori empiriquement par définition.

Les postulats et les théorèmes d existence ou d'unicité, étant des propositions démontrées vraies ou vérifiées telles par un recours à l'intuition, sont des sources de vérités, des principes de démonstration. Nous avons montré ailleurs comment ils fournissent les mineures des syllogismes qui interviennent dans les démonstrations g-éométriques*. Ils permettent, tout d abord, de tirer des définitions nominales des propositions que l'on appelle des vérités de définition. Supposons, par exemple, que l'on ait posé cette définition nominale : « parallèle aune droite, par un point pris hors de cette droite =: droite menée par ce point, dans le même plan que cette droite, qui ne la rencontre pas ». Il ne suit de cette définition ni qu'une telle parallèle existe, ni qu'elle soit unique. Si l'on démontre ou si l'on postule son existence et son unicité, on pourra énoncer la proposition suivante : « La parallèle à une droite, par un point pris hors de cette droite, est la droite menée par ce point, dans le même plan que cette droite, qui ne la rencontre pas. » La présence de l'article défini la indique ici que l'objet existe logiquement : l'emploi de l'article est une façon de sous-entendre un jug-ement d'existence. A une proposition de cette sorte, qui intervient au cours des démonstrations, on donne le nom de définition réelle. Une définition réelle est une définition nominale accompagnée d'un postulat ou d'un théorème d'existence, qui établit que l'objet défini n'est pas contradictoire. Une vérité de définition est toute proposition qui résulte immédiatement d'une définition réelle.

' (^f. Louis Rougier. In Démonstration géomélrique el le ruisonnemenl déJuclif, ap. Rev. Met. el Mor , nov. 1916, p. 809-858.

LA DÉMONSTRATION DgS PRINCIPKS lU

II. — Le principe aristotélicien : les définitions n'impliquent jamais l'existence du défini.

Cette théorie de la définition remonte à Aristote. Dans les Derniers Analiitirjiies, le Stagyrite pose en principe que : les dé[initions n impliquent jamais l'existence du défini' Oj cJcjx.vJo'j7tv cl opi'Côu.vjQt o-.L 'é(j-i-j ^ . Autre chose est de savoir ce qu'est Ihomme, autre chose de savoir qu'il existe : Tô J; -i Ï'jzi y.-jOp'j)-oi v.-A -0 iVjy.i x-jO 'j'^r.zv y.l/.o-. Dans le premier cas, on répond à la (juestion : -î h-i; dans le second, à la question : i''. ~i h-.i r, o-j. Ces deux sortes d'interrog'ation sont radicalement hétérogènes, et la définition ne répond qu'à une seule : o t£ yùo opKJixoç h ri âr;}.oi^. C'est pour cela qu il ne faut pas confondre les définitions avec les hypothèses c[ue Ton trouve au début des sciences déductives et qui sont des postulats d existence : Ol ah o\)v opoi Q-j-A siah •JTioSé'jii;' oCdï yxp elvxi yî ^r, Xvpv-.oa '.

En disant que la définition n'emporte jamais l'existence du défini, il faut entendre aussi bien son existence logique, sa simple possibilité, qui seule intervient en mathématiques où Ion étudie des formes abstraites, que son existence empirique ou réelle : « Les définitions n'emportent jamais ni que l'objet défini soit possible, ni qu'il existe réellement : OO'tî -^ào ozi àj-jy.-ov ei-jxt zo Isyoy.s^JO'J 7:oo(7^/?/2V7£v ol o'oît, o'jze i-.i h.v.vo o'j ox-nX-j ûvy.i opi(TUCr\

Aristote applique ce principe à l'analyse de la procédure des sciences déductives (ir.i'j-riy.xi xr.oàîiy.-iy.xl) de son temps. Celles-là reposent, en premier lieu, sur des notions premières (rà -pj~j)zx) que le Stagyrite considère à tort comme définissables, et aux définitions desquelles il donne le nom de thèses; en second lieu, sur des postulats d'existence (xhrjuzrx) appelés encore hypothèses {■jr.oOî7£i.ç), parce qu'ils postulent l'existence des objets qui correspondent aux notions premières. C est ainsi que l'arithméticien admet à la fois ce qu'est l'unité et que l'unité est, la définition de l'unité et son existence étant

! // An., II, 7 gai", 20.

- II An., II, y-ga*», 10.

^ II An , II, y-gab, 9.

* Il An., I, 10-76'', 35.

' // An., II, 7-92'', 20 7.\.

deux choses bien distinctes : To y^.o 7I éj~i u.o'jxç /.-A ta ivjxi uovzox cj zxj'Ô'j^. De même, le géomètre admet sans démonstration, après les avoir définis, l'existence des points et des lignes : zxOzx yxo {anasix v-xi ypx[jiijLxç) 1xu.cx-jo-j7i ~i ehxt /.y.c zc3c dvxi-. Une fois postulée l'existence des objets qui correspondent aux notions premières de sa science, le matiiématicien en tire des notions dérivées : de la notion première dunité, il tire celles de nombres pairs, impairs, carrés, cubiques, etc. ; des notions de points et de lignes, il tire celles de lignes incommensurables, brisées, obliques, de carré, de cube, etc.^ Il doit alors démontrer l'existence logique des nouvelles notions ainsi introduites : après avoir défini le triangle, le géomètre en démontre l'existence : Tî [xèv yxp cYifJixbet zô zpr/(ùvov, zkxQzv 0 ycrjiijdzprjç, ozi 0' 'é(jzrj oei/.-j-jatv^ . En résumé, dans les sciences déductives on est tenu de postuler l'existence des objets correspondant aux notions premières et de démontrer 1 existence des objets correspondant aux notions dérivées : Tt U.VJ o\JV anixxaîi, axl zx -o'hzx y.xl zx h. zo'^zoi'J, Ixuoxyszxi. "Ozi û STZi, zz; uvj xpyx^ hjxyvsr, Axuczvuy, zx 0 xù.a. Oci'/.vUiV'.

On retrouve chez Euclide lapplication, plus ou moins rigoureuse, de la procédure logique analysée par le Stagyrite. Le géomètre alexandrin commence par donner une série d« définitions, purement descriptives, qui ne sont d'aucun usage dans la suite des démonstrations : telles sont celles du point, de la ligne, de la droite, de la surface, du plan, de l'angle, du cercle, etc. Il énonce ensuite des axiomes, ou propositions communes (/.oiyxl hMotxi), dont une analyse minutieuse révèle qu'ils sont ou des propositions de logique formelle ou des axiomes géométriques de relation''. Mennent enfin des postulats {xlzrjuxzx), qui se répartissent ainsi : les trois premiers postulent : 1° l'existence d'une droite, si deux points sont donnés; 2° l'existence dune droite infinie, si un segment de droite est donné ; 3° 1 existence d'un cercle, de rayon quelconque, si un point est donné. Il est évident que, en bonne logique, Euclide aurait dû commencer par demander l'exis-

* II An., I, 3-72*, 23-24.

- // An., I, io-76b, 5.

3 // An., I, io-76b, 7-11.

* // An., II. 7-92'>, i5,

* // .In., I, 10-76', 3i.

'■ Cf. L. Rougier, lu Philosophie géométrique d'Henri Poincaré, cliap. i, § 3.

tence de deux points ; puis, si deux points sont donnés, l'existence d'un segment rectilig-ne; puis, si un segment rectiligne est donné, lexistenee d'une droite infinie. Le postulat 4 est un axiome de relation qui énonce que les angles droits sont congruehts. Le postulat 5 est un postulat d'existence, qui demande l'existence d'un point d'intersection de deux droites qui se coupent. Si l'on rapproche ce postulat, appelé postulalum d'Euclide, du postulat 2 sur l'infinité de la droite et de la aii'- définition des Eléments : « Deux droites coplanaires sont dites parallèles lorsque, si loin fju'on les prolonge, elles ne se rencontrent pas », il est équivalent à cet autre, appelé postulat des parallèles, qui comprend à la fois un principe formateur et un postulat d'unicité : « Etant donnés une droite a et un point pris hors de cette droite, il existe une droite h, et une seule, appartenant à ce plan et passant par ce point, qui soit parallèle à la droite a. » Le sixième postulat, ajouté par les éditeurs d'Euclide, est un postulat d'unicité, dont il est fait usage au théorème 1,4- il stipule que deux points déterminent une seule droite.

Zeuthen a montré, en un mémoire célèbre ', que les tliéorèmes d'existence qui doivent accompagner, au gré du Stagyrite, chaque nouvelle définition, se présentent, chez Euclide et chez les géomètres grecs en général, sous la forme de problèmes de construction que l'on peut réaliser à l'aide de la règle et du compas. Par exemple, la première proposition des Eléments : Sur une droite donnée construire un triangle équilaléral, consiste à prouver l'existence du triangle rectangle, en le construisant au moyen des postulats III et I et d'un postulat implicite sur l'existence des points d'intersection de deux cercles qui se rencontrent, suppléé par la considération intuitive delà figure. Ainsi Euclide procède-t-il toujours, même pour des objets qui ne sont employés que pour la démonstration d'un seul théorème : avant d'employer (L. I, i6) le milieu d'une ligne droite, il démontre préalablement, en le construisant, que ce point existe réellement (L. I, lo). ....

Le principe aristotélicien : La définition n implique jamais Vexisfencc du défini, et l'exigence de postuler ou de démon-

' Zeuthen, Die fjeomelrische Constriiclion als « I-^xistenzbeiveis » in der anlilien Géométrie, ap. M;ith. Ann.,l. XLYll, i8c)6, p. 222 et sq.

144 Li:S PARALOGIS.MKS DU RATIONALISME

trer, dans les sciences déductives, Texistence des o])jets sur lesquels on raisonne, n'est pas une vérité qui se soit olîusquée parla suite, car on la retrouve, explicitement formulée, chez les logiciens modernes. Dans sa lettre à M. Le Pailleur, Pascal écrit : « Il est évident qu'il n'y a point de liaison nécessaire entre la définition d'une chose et l'assurance de son être ; et que Ton peut |aussi bien définir une chose impossible qu'une chose véritable. Ainsi, on peut appeler un triangle rectiligne et rectangle celui qu'on s'imaginerait avoir deux angles droits, et montrer ensuite qu'un tel triangle est impossible; ainsi luiclide définit d'abord les parallèles, et montre après qu'il y en peut avoir, et la définition du cercle précède le postulat qui en pose la possibilité'. »

La célèbre distinction entre les définition» nominales et les définitions réelles repose sur le même principe. Les définitions réelles, appelées encore par Leibniz définitions parfaites, adéquates-ou du meilleur genre (optimi f/eneris), sont celles qui manifestentl'existence logique ou la possibilité de l'objet défini : ce sont des définitions nominales, dirions-nous, accompagnées de la preuve de l'existence de leur objet. Leibniz a clairement vu le véritable motif qui fait une obligation d'établir l'existence de l'objet défini : c'est qu'on ne peut rien déduire avec sécurité de la définition d'un objet, tant qu'on ne sait pas que l'objet défini est possible; car, dans le cas inverse, on pourrait déduire de sa définition des conséquences conti-adictoires : « Fer delinitiones optimi generis intelligo eas, ex quibus constat rem definitam esse possibilem, quia alioqui nihil tuto ex definitionibus concludi potest, nam de impossibilibus possunt duo contradictoria simul concludi-. » « Scilicet, non possumus de ulla Notione secure texere demonstrationes, nisi sciamus eam esse possibilem, nam de impossibilibus seu contradictionem involventibus, etiam contradictoria possunt demonstrari, qufe est ratio a priori cur ad definitionem realem requiratur possibilitas ■^. » Cette exigence, qui a échappé à Hobbes comme à Descartes, et qui ruine le nominalisme du premier tout autant que l'argument ontologique du second, où Leibniz est-il allé en puiser l'enseignement salutaire? C'est

' Pascal, Œuvres, éd. L. BrunschviL.;, et I'. Boulroux. L. II, iroS, p. iS5. « Malh., IV, 482.

- PhlL, VII, 29',.

auprès des géomètres : u Les géomètres, qui sont les vérital)les maîtres dans Fart de raisonner, ont vu que, pour que (les démonstrations qu'on tire des définitions soient bonnes, il faut prouver ou postuler au moins que la notion comprise dans la définition est possible *. »

A la même époque, le logicien et géomètre génois, Gerolamo Saccheri, dans sa Logica demonslrativa -(i()()7), arrivait aux mêmes conclusions que Leibniz. 11 distingue les cîéfinitiones rjuid noniinis, ou nominales, et les définilioncs r/uid rei, ou réelles. Au sujet des premières, il déclare : « Omnis definitio quid nominis est bona et cadere non potest in conlroversia nisi historica » ; mais les définitions nominales sont appelées à faire place aux définitions quid rci, par l'adjonction d'un postulat ou d un tiiéorème d'existence : « Definitio c/iiid nominis nata est evadere definitio quid rei, pev postulaluni vei dum venitur ad qua-stionem an est et responditur affirmative-^. » G est ainsi qu'en géométrie, on commence par postuler l'existence de la droite et du cercle, en admettant l'usage de la règle et du compas; puis, on démontre que les autres ligures nominalement définies existent, en les construisant à l'aide de la règle et du compas.

Nous pouvons résumer toute cette théorie, élaborée par Aristote et les géomètres de l'Antiquité, en disant : Une définition nominale est une convention verbale, faite en vue d'abréger le discours, qui ne crée jamais son objet, ni ne doit Jamais être invoquée comme principe de démonstration au cours d'un raisonnement. Chaque fois que l'on définit une notion nouvelle, on doit faire suivre sa définition nominale d'un théorème d'existence. L'ensemble d'une définition nominale et d'un théorème ou d'un postulat d'existence constituent une définition réelle.