L. RojîGIER. iO

jamais l'existence du défini. En l'espèce, on fait jouer à une dé finit'ion nominale le rôle d'une définition réelle, en l'invoquant à titre de principe de démonstration, comme si elle créait son objet. Cette erreur est une source fréquente de cercles vicieux : elle revient alors à admettre implicitement un postulat d'existence^ qui équivaut précisément à la proposition qu'on a en vue de démontrer. Elle est aussi une source d'antinomies : elle consiste alors à admettre comme possible une notion contradictoire. Les démonstrations du postulat .d Euclide, TargUTnent ontologique sont des exemples de tels cercles vicieux : les antinomies cantoriennes sont des illustrations de pareilles antinomies ^ Nous désignerons cette espèce de paralogisme sous le nom de paralogisme ontoloffique,]>SiTce qu'il inclut un passag-e illégal du concept à la chose, de l'essence à l'existence, ou, plus proprement encore, de la définition à son objet.

Les démonstrations de principes, fondées sur le paralogisme ontologique, ont apparu dès l'Antiquité, lorsqu'à l'exigence logique formulée par Aristote et par Euclide, de postuler ou de démontrer l'existence logique des notions sur lesquelles on raisonne, s'est substituée la conception d'un ordre absolument achevé, dans lequel, suivant l'idéal formulé par Pascal, toutes les notions seraient nominalement définies et toutes les propositions logiquement démontrées en partant des définitions premières. Cette fausse notion de la rigueur logique devait conduire les théologiens à la recherche d'une preuve de l'existence de Dieu, déduite de sa seule définition et conçue comme principe de toute connaissance rationnelle. Elle devait conduire Leibniz et les Wolfiens à la prétention de tout démontrer et les Hégéliens à l'identification de la pensée et de l'être. Nous étudierons quelques-unes des démonstrations les plus mémorables, empruntées aux sciences positives et à la métaphysique, où se révèle le paralogisme ontologique.

IV. — Exemple géométrique : les démonstrations du postulat d'Euclide.

C est chez les Commentateurs d'Euclide qu'apjjaraît pour la ' T'ide iiifi-n : Troisième partie, chap. x, g 7.

première fois l'idée qu'un ordre déductif plus parfait peut être réalisé en remplaçant les postulats par de simples détinitions. Une telle intention se manifeste dans la détiuition IV du^''^ livre des Eléments, qui est une interpolation évidente : « Les ijrandeurs sont dites avoir im rapport entre elles, quand la plus petite peut être multipliée de façon à dépasser la plus g-rande. » Cette définition dissimule un postulat, formulé explicitement par Eudoxe, et connu depuis sous le nom de postulat d'Archimède.

Mais c'est surtout dans les tentatives de démonstration du postulat d'Euclide que se fait joxu" cette prétention. Une simple question de belle ordonnance parait en a^voir été la cause occasionnelle. Dans les Eléments, il est fait appel à tous les axiomes et postulats dès les premières démonstrations, sauf au cinquième. Celui-ci n'intervient que dans la démonstration du 29" théorème, sous la forme compliquée qu'Euclide s'est plu à lui donner : « Si deux droites rencontrent une autre droite, et si elles font d'un même côté avec elle des ang'les intérieurs dont la somma est inféiieure à deux droits, ces deux droites, prolongées indéfiniment, se rencontreront du côté où la somme des angdes est inférieure à deux droits. » Ce défaut d'eurythmie dans une œuvre si harmonieuse, cette solution de continuité dans une science toute déductive, apparurent comme une tare cachée dont il fallait à tout prix se défaire. « La définition et les propriétés des parallèles » écrivait d'Alembert au xvni'^ siècle, exprimant le sentiment unanime des géomètres de son temps « sont l'écueil et comme le scandale de la géométrie ' ». Aussi, dès l'Antiquité, les Commentateurs des écoles d'Alexandrie et d'Athènes se demandèrent si l'on ne pouvait pas ramener le postxilatum aux autres propositions choisies comme premières par Euclide.

Posidonius (i*"" siècle avant J.-C), Geminus et un contemporain de Simplicius, dunom d'Aganis, substituèrent la définition suivante des parallèles à celle donnée par Euclide : « Deux parallèles sont deux droites équidistantes. » Proclus -, qui nous a transmis cette définition, la légitime en insistant sur le fait " le plus paradoxal de la géométrie » signalé, par

' D'Alembert, Mélanges de littéraiure, d'hit^toire et de philosophie, t. V, 1709, p. 202.

- Procli DiADOCHi In priinain Eaclidis Elenienlorum Librum Commenla^ii, Leipzig. 1870.

Geminus : l'existence de droites asymptotes à l'hyperbole et à la conchoïde. Ces deux courbes sont parallèles, aux termes de la définition dEuclide, à leurs droites asymptotes, puisque, si 1 )in qu'on les prolonge, elles ne les rencontrent pas. Au contraire, elles ne sont pas parallèles à leurs asymptotes, aux termes de la définition de Posidonius, puisqu'elles ne leur sont pas équidistantes. Euclide a donc tort de caractériser la notion de parallélisme pAv celle de Jion-sc'cance, puisque celle-ci s'applique, non seulement au parallélisme des droites, mais encore à Vasymptoiie de certaines courbes à certaines droites.

La déiinition de Posidonius, Glavius devait le montrer en i574) dissimule un postulat : Le lieu des points équidislanta dune droite est une droite; ou encore : // existe des droites équidistantes. Ce postulat est équivalent à celui d'Euclide. En effet, Euclide se sert de son postula tum pour prouver, dans les Eléments, que deux droites d'un même plan, qui ne se rencontrent pas, ont la même distance. Il est alors aisé, en partant du postulat de l'existence de droites équidistantes, enveloppé dans la définition des parallèles de Posidonius, de démontrer le postulatum.

Telle est, par exemple, la démonstration d'Aganis, que nous a conservée la traduction latine, faite au xif siècle, par Girard de Crémone, d'un commentaire arabe, de la lîn du ix" siècle, sur les dix premiers livres des Eléments, dont l'auteur porte le nom latinisé d'Anaritius^ Cette démonstration, qui n'occupe pas moins de huit pages de texte, peut se résumer ainsi. De la définition de Posidonius (qui dissimule le postulat : Il existe des droites équidistantes}, Aganis déduit que la plus courte distance de deux parallèles est le segment de droite perpendiculaire à l'une et à l'autre; que deux droites qui sont perpendiculaires à une même troisième, sont parallèles entre elles; que deux parallèles, qui sont coupées par une sécante, forment du même côté deux angles internes dont la somme est égale à deux droits, et réciproquement. Il part de là pour construire le point d'intersection de deux droites non équidistantes. Sinîplicivis fait suivre cette démonstration de la remarque suivante : « Cette assertion : deux lignes qui ne sont pas parallèles se rencontrent, ayant besoin d'explication d'au-

' Anauitii (H (lecem libros ])riores Elementoruin lùnlidis Cominenlnrii, Leipzig, i8j9.

LA DKMONSTRATION DES PRINCIPES l/i9

tant plus que, dans les sections du cône, il y a des lignes non (.'■qnidistantes qui ne se rencontrent pas. Aganis a repoussicette proposition considérée comme postulat et a donné les explications précédentes. »

La démonstration d'Aganis a été reprise, en plein .mx*" siècle, par Lotze, dans sa Métaphysique. Lotze commence par poser la (iélinition suivante : « Deux droites sont dites parallèles, lors({ue, après avoir pris sur lune un segment AB et sur l'autre un segment égal A'B', on trouve que les deux segments AA' et BB' sont égaux. » Parlant de cette déliiiilion, il démontre le postulat des parallèles, commettant en cela la même erreur qu' Aganis, et sans se rendre compte que sa définition implique un postulat touchant l'existence de deux lignes capables de satisfaire aux propriétés simultanément imposées.

La faute logique commise par Aganis et ses nombreux imitateurs, a été très pertinemment relevée par le logicien génois Saccheri, dans son ouvrage EucUdes ah onini mevo vindicatus (ijSSj. Cette faute consiste à admettre implicitement un postulat dexistence, sous le couvert d'une définition nominale. Ce postulat est le suivant : « Quod omnis linea in eodem piano îequidistans a supposita linea recta sit ipsa etiam linea recta*. » Il est équivalent au postulat d'Euclide et présente les mêmes diftîcultés. Saccheri appelle Terreur ainsi commise une erreur de définition complexe, et renvoie sur ce point à sa Lorjica denionsfrativa (iGij-j) : a Fallacia est quani in mea Lofjica denionstrnfiva appello definilionis coniplejfe, juxta quam irritus est omnis progressus ad adsequendam veritatem absolute taleni'-. »

Si l'on se reporte au passage de l'ouvrage désigné, on y trouve exposée la dillerence entre les définitions nominales, définifiones c/uid nominis, qui explicitent le sens d'un mot, et les définitions réelles, définiliones quid rei, dont chacune est formée d'une définition nominale et dune proposition d'existence. Les définitions nominales sont arbitraires ; elles sont appelées à s éliminer de la science pour faire place aux définitions réelles, qui s'accompagnent de l'affirmation de l'existence de leur

1 Jùiclides ah omni nœvo vi.i'licaliis, Mediolani. ijoj, p. 99; comp. \'ailati, Scrilli, p. 481.

- Op. laud.. p. 100 '\'ailati, loe. cit.).

objet. C'est ainsi qu'Euclide fait suivre la définition de la droite et du cercle d'un postulat d'existence, en admettant Fusage de la règle et le compas qui permettent de les construire ; de même, il fait suivre les définitions nominales des notions dérivées de carré et longueur commensurable. de théorèmes d'existence, en construisant, à l'aide de la règle et du compas, des figures et des longueurs qui correspondent à ces définitions.

Faire jouer à une définition nominale le rôle d'une définition réelle, sans remarquer que cela équivaut à introduire un postulat nouveau, constitue, selon Saccheri, une source de paralogismes d'autant plus dangereuse que l'on a affaire à des définitions plus complexes. En effet, plus est grand le nombre des propriétés hétérogènes attribuées simultanément au défini, plus on risque d'en introduire de contradictoires, étant donné le système de propositions premières qui figurent à la base de la théorie. Tel serait le cas, en géométrie euclidienne, si l'on parlait d'un parallélogramme non rectangle inscrit dans une circonférence ; ou, pour prendre un exemple dû à Bolyaï, d'un polyèdre régulier ayant pour faces des hexagones.

La faute que Saccheri stigmatise sous le nom d'erreur de définition complexe consiste, dès lors, à attribuer à un sujet la poss^ession simultanée de plusieurs propriétés différentes, comme à une ligne celles d'être tout à la fois une droite et d'être équidistante à une droite donnée coplanaire, sans avoir préalablement démontré la comptabilité loffiquc de ces propriétés, c'està-dire sans avoir établi, dans l'exemple cité, la possibilité de construire une ligne qui remplisse les conditions simultanément imposées.

Là-dessus, Saccheri venge Euclide des griefs formulés contre lui : « On ne saurait lui reprocher d'avoir défini le carré comme une fij^ure quadrilataire, équilatérale et rectangle, alors qu,il est douteux qu'il existe pareille figure dans la nature ; on pourrait plus ATaisemblablement lui reprocher d'avoir admis la figure précédente comme donnée, avant d'avoir résolu le problème de sa construction. Que d'un pareil manquement EucHde soit indemne, c'est ce qui résulte, si l'on veut bien se donner la peine de le remarquer, de ce qu'Euclide ne considère nulle part le carré comme ayant été préalablement défini par lui avant la 4^' proposition du premier livre, dans laquelle il démontre, à laide d'un problème

de construction, comment on peut décrire un carré en partant de lignes droites données. Pareillement, on ne saurait lui faire un g'rief de la façon dont il a défini les droites parallèles (à savoir des droites situées dans le même plan, non-sécantes si loin qu'on les prolonge), car il ne les utilise dans aucun problème de construction, si ce n'est après la 3i'' proposition du premier livre, oîi il démontre, à l'aide d"uu problème de construction, que, d'un point pris hors d'une droite, on peut tirer une liL;ne droite parallèle à la première, conformément à la définition qu'il a donnée des parallèles'. » Mais, par contre, « ce n'est pas sans un grand péché contre la logique que d'aucuns ont admis (sans le postuler ou le démontrer)' que deux droites peuvent être équidistautes. Qu'est-ce à supposer en somme, sinon que toute ligne, équidistante d'une certaine ligne donnée dans le même plan, est une droite ? C'est pourquoi admettre que deux lignes droites, du fait qu elles sont équidistautes, sont parallèles, revient à commettre ce que j'ai appelé, dans ma. Lof/ir/iie démonstrative, une en'eur de définition complexe ( fallacia definilionis complexœ-j. »