I. — Premier exemple : les démonstrations du postulatum

d Euclide.

Reprenons à cet effet l'histoire des tentatives de démonstration du postulat d'Euclide*. La démonstration de Proclus repose explicitement sur la proposition suivante, admise par lui comme intuitivement évidente : la distance de deux points, situés sur deux droites qui se coupent, peut croître autant qu'on le veut, si l'on prolonge suffisamment les deux droites. Proclus tire de cette proposition le lemme suivant. litant données deux parallèles, une droite qui rencontre l'a première rencontre nécessairement la seconde. Il en déduit

* Cf. F. Engrel und P. Stâckel, die Théorie der ParatleUinien, i;on EuTdid bis auf Gauss, Leipzig, 1893; R. Bolona, la Geometria non-euclidea, Bologna,

aisément le postulat d'Eaclide, auquel le lemme est équivalent.

Saccheri, dans son Euclides vindicatus, a fort judicieusement critiqué la tentative de Proclus. Il lui reproche de n'avoir pas démontré la proposition dont il part: leût-il démontrée, le postulat d'Eucliden'en résulterait pas pour cela, parce qu'il faudrait, au préalable, établir que deux perpendiculaires à une même droite n'ont pas leurs points de plus en plus éloignés les uns des autres, lorsqu'on les prend à des distances de plus en plus grandes de la perpendiculaire commune. Tel est précisément le postulat que masque l'appel à l'intuition et qui équivaut à celui d'Euclide.

L'origine de l'erreur commise par Proclus est la suivante : les postulats 1,2, 6 d'Euclide s'appliquent aussi bien aux droites lobatchefskiennes qu'aux droites euclidiennes, celles de Riemann étant exclues par le postulat 6. La proposition dont part Proclus est ainsi vraie des deux premières espèces de droites; or, le lemme qu'il en déduit n'est vrai que des droites euclidiennes. En effet, dans le cas des droites lobatchefskiennes, par un point pris hors d'une droite, on peut mener deux parallèles à cette droite, et l'angle de parallélisme que celles-ci forment contient une infinité de droites nonsécantes, qui coupent ces deux parallèles en leur point d'intersection et ({ui ne rencontrent pas la droite donnée. Erroné au sujet des droites lobatchefskiennes, le lemme de Proclus ne peut, dès lors, se déduire d'une proposition qui est vraie de ces mêmes droites. Si Proclus s'y est trompé, c'est pour s'être attaché à une interprétation intuitive trop particulière de la notion de droite, telle que la caractérisent les postulats i, 2 et 6 d'Euclide. Ce que ces postulats caractérisent, c'est le genre des droites euclidiennes et lobatchefskiennes, ce n'est pas seulement la première espèce qui nécessite, pour être spécifiée, l'adjonction du postulat d'Euclide. L'interprétation dont part Proclus, en se servant de droites euclidiennes pour tracer la figure qui lui sert à établir son lemme, impli(|ue déjà le postulat qu'il a en vue de démontrer*.

La même erreur se uetrouve dans la démonstration de Ptolémée, rapportée par Proclus'-. Ptolémée trace deux droites

' Cf. L. Routier, la Philosophie géométrique d'Henri Poincaré, chap. i. - Procli Diadochi in primiim Euclidis Elcnienloriim iihrnin Conimentarii, Leipzig, 1873, p. 362-3G5.

euclidiennes parallèles, mène une transversale qui les coupe» et considère les angles internes x et ,3 formés d un même côté. Leur somme x -f ,3 est ou plus grande, ou plus petite, ou égale à deux droits. Admet-on que la somme soit inférieure à deux droits ; il en sera de même pour la somme des angles internes a ' et /3' situés de l'autre côté, puisque les angles internes, de part et d'autre, sont deux-à-deux complémentaires. On aura donc : a 4- ;3-+- a' H-,S' <C 4 droits, ce que Ptolémée considère comme intuitivement absurde. De la même manière, il prouve que l'on ne peut avoir : a 4- iS >> a droits. Il reste que y. + [i :r= 2 droits, ce qui entraîne le postulatum, puisque admettre cette égalité, c'est admettre que les parallèles sont des droites euclidiennes. Dans le cas de deux parallèles menées par un point à une droite lobatchefskienne, suivant celle des deux parallèles que l'on considère, on a tour à tour a -f-j5>> 2 droits, ou a + |S-<; 2 droits, mais jamais a -i- /3 = 2 droits. Là encore l'interprétation intuitive trop particulière du terme droite lait du géomètre qui s'y tient le jouet d'une fausse évidence.

La démonstration du commentateur arabe, Nasîr-Eddîn' (^1201-127415 repose sur deux postulats : 1" si les perpendiculaires abaissées d une droite sur une autre font, d'un même côté, des angles aig-us avec la première, ces perpendiculaires sont toujours de plus en plus court-es du côté des angles aigus, de plus en plus longues de l'autre côté; 2° réciproquement, si les perpendiculaires sont de plus en plus courtes d'un côté, les angles formés par les perpendiculaires à lune des droites avec l'autre sont aigus de ce côté. Mais, objecte Saccheri qui reproduit cette démonstration, les angles aigus peuvent croître jusqu à devenir droits, ce qui ruine le raisonnement précédent.

Des remarques analogues sont applicables à la démonstration de Glavius- qui postule explicitement, en vuede démontrer le postulatum, que « la ligne située à égale distance d'une droite donnée est une droite »; à celle de Gataldi-^ qui, pour établir l'existence de droites équidistantes. invoque cette proposition intuitivement évidente pour lui : « Des droites non équidistantes prises dans une direction déterminée se rappro-

* Eiiclidis Eleinentorum libri XII sludii yassiredini, Rome, i5f)4-

- Euclidis Elementorum libri A'V, Konie, 1574.

" Operella dellu linee rette equidislanti ci non eqnidislanli, Bologna, i6o3.

202 LES PARALOGISMES Dt' RATIONALISME

ehent et se dépassent Tune l'autre; » à celle de Wallis^ qui déduit le postulatum de Texistence de figures semblables non congTuentes.

Pour terminer avec ces exemples géométriques, venons-en à la démonstration proposée par Taine du postulat des parallèles. 11 prend bien garde de nous prévenir, dès Tabord, qu'il s'abandonnera plutôt à lévidence intuitive d'une construction spatiale qu'à la force probante d'un raisonnement discursif : « La définition et les propriétés de la ligne droite, disait" d'Alembert, sont lécueil et, pour ainsi dire, le scandale des éléments de géométrie. Si je ne me trompe, on vient de voir que ce scandale peut disparaître, et que les axiomes admis sont des théorèmes capables de preuve. Selon d'Alembert, les parallèles présentent une difficulté analogue. Sans doute, il est téméraire d'aborder un obstacle que de grands esprits et des savants spéciaux déclarent invincible ou invaincu; mais, heureusement, il s'agit moins ici de découvrir une démonstration que d analyser une construction ; nous faisons œuvre de psychologue et non de géomètre; nous cherchons simplement le procédé intime et secret par lequel, sous ^e témoignage accessoire et insuffisant des yeux, se forme la conviction inébranlable de l'esprit-. »

Taine commence par construire la notion de deux parallèles : « Soit une droite AB, et concevons qu'elle remonte en demeurant inflexible, sans changement de forme, ni de grandeur. Elle peut remonter en traçant par tous ses points des droites égales, et, entre toutes les orientations qu'elle peut prendre, il en est une où le point A, en remontant, n'incline ni vers la gauche, ni vers la droite, et, par conséquent, trace une perpendiculaire sur AB^. » Dès lors, continue Taine, non sans avoir fait quelque réserve sur la possibilité logique de ce qu il vient d'admettre sur la foi de l'intuition, a il est aisé de prouver que si A A' est perpendiculaire sur AB, A'B' est aussi perpen-piculaire sur BB'; que, partant, ces deux verticales sont, partout et si loin qu'on les prolonge, équidistantes; que cette distance est AB ; que les deux horizontales sont, partout et si

' De PosluUlo quinto et Befinitione quinla Lih. 6 Eaclidis, disceptatio geomelrica, apud Opéra Math., t. II, Oxford, lô'gS, p. 66^-678. * Taine, i Intelligence, II, Sôz.

3 Ibid., 353.

LA DK.UONSTHATION DW PRINCIPES 203

loin qu'on les prolonge, équi distantes; que. cette distance est AA'; que, de plus, BB' est perpendiculaire sur AB; quainsi la droite ascendante engendre, par ses extrémités, deux perpendiculaires; et l'on comprend que, si les deux perpendiculaires sont partout équidistantes, c'est que la droite (]ui les engendre demeure, pendant toute son ascension, la mesure de leur écartement'... »

« A présent, la seconde proposition de la théorie ordinaire, je veux dire le postulat d Euclide, ne présente plus de difficulté. Car nous avons prouvé non seulement que nos deux verticales ne se rencontreront jamais, mais encore qu'elles seront toujours équidistantes, et telle est maintenant notre définition des pa'rallèles, etc"^... »

J»îous pouvons nous arrêter là. Taine est sûr de pouvoir démontrer le postulatum. En effet, admettre la possibilité de déplacer la droite AB le long de la perpendiculaire en A, de façon que tout couple de points de la droite AB décrive deux droites équidistantes, revient à poser implicitement un postulat équivalent à celui d'Euclide : laxiome de translation. Cet axiome est l'équivalent du postulatum, car il exprime que, si une figure invariable glisse le long d'une droite, chaque point de cette figure décrit une droite parallèle à la droite prise pour glissière.

IL — Deuxième exemple : le rôle des appels à l'intuition dans les Eléments d'Euclide.

L'histoire de la théorie des parallèles n'est pas seule propre à fournir des illustrations de démonstrations circulaires dues à l'introduction subreptice de postulats enveloppés dans des appels à l'intuition. On en trouve dans les Eléments mêmes d'Euclide.

Il n'est pas douteux que l'intention du géomètre alexandrin n'ait été de pourchasser l'intuition partout où il le rencontrait, et de substituer ainsi la nécessité apodictique, que procure le raisonnement discursif basé sur des axiomes dûment explicités, à l'évidence asser torique, qui dérive immédiatement de l'intui-

' Taine, l'InlelUffence, II, 355-357.

' Ibid., 358-

20i LES PARALOGISMES DU RATIONALISME

tion spatiale. Il apparaît néanmoins de nos jours que la réputation de rigueur absolue, dont les £'/eme«^5 jouirent pendant des siècles, est usurpée, et qu'ils ne méritaient pas de passer, aux yeux des Rationalistes, comme le modèle accompli d'une théorie déductive. En effet, Euclide n'est pas parvenu à réaliser complètement son idéal, faute d'être parti d'un système suffisant de propositions premières. C'est pourquoi on le voit recourir, au cours de ses démonstrations, à de nombreuses constructions et à des constatations de faits géométriques à la simple inspection des figures qui dissimulent toujours quelque postulat. M. Russell', ayant analysé les vingt-six premières démonstrations des Eléments, y révèle presque autant de cercles vicieux.

Ceux-ci commencent, dès la première proposition à démpntrer : sur une base donnée, construire un triangle équilatéral. Pour résoudre ce problème, qui est un théorème d'existence adjoint à la définition nominale du triangle rectangle, Euclide, de chacune des extrémités de la base, décrit un cercle ayant pour rayon la longueur même de cette base. Il suit alors, à l'inspection de la figure, que les deux cercles intersectent. Comme, en vertu du premier postulat des Eléments, deux points déterminent une droite, on peut joindre l'un des points d'intersection aux extrémités de la droite donnée, de façon à obtenir un triangle qui satisfasse aux conditions du problème. Le vice de cette démonstration consiste en ce qu'il n'est nullement nécessaire que les deux cercles intersectent. Dans un espace elliptique, oîi la droite est une ligne fermée, la construction d'Euclide serait impossible, si la grandeur de la base excédait la longueur d'une ligne droite. Admettre que les cercles intersectent, c'est donc admettre, sur la foi de l'intuition, la proposition qu'il s'agit de démontrer. Leibniz dénonçait une simple lacune dans cette construction : moins indulgents que lui, nous y dévoilons un cercle vicieux.

Le théorème 4 est l'un des cas d'égalité des triangles : si deux triangles ont deux côtés égaux chacun à chacun et les angles compris entre ces côtés égaux chacun à chacun, ces triangles sont égaux. Pour démontrer ce théorème, Euclide recourt à la superposition des figures. Mais la superposition

' Ilussell, The priiicij)les of mallieinalics, I, Cambridge, igoj, p. 404-408.

LA DÉMONSTRATION DES PRINCIPES 2Uô

des (ligures suppose la possibilité de les déplacer sans défoi'mation dans l'espace pour les amener à coïncider. Cette condition implique que Ton définisse ce qu'est un déplacement sans déformation : on le fait moyennant un système de postulats qui sont ceux de la cong-ruence. Parmi ces postulats, on est alors conduit à faire figurer précisément le cas d'égalité en question, comme on le voit dans le choix des axiomes de la congruence de David Hilbert.

Demandons-nous maintenant ((uels sont les axiomes qu'Euclide a systématiquement négligés? On trouve que ce sont d'abord ceux de l'ordre^ qui se rapportent à la distribution linéaire des points d'une droite et d'un plan. Ces axiomes, énoncés pour la première fois par Pasch, en 1882, jouissent d'une propriété remarquable : si on remplace, dans leur énoncé, les termes de droite et de plan par ceux de liffne et de surface^ on obtient les axiomes d'une géométrie purement qualitative, fondée par Euler, Betti et Riemann, sous le nom d'Analysis SUus. Les propositions de cette géométrie s'accompagnent d'une évidence intuitive immédiate, parce qu'elles correspondent aux résultats d'expériences spatiales élémentaires que nous réalisons quotidiennement. C'est pour cela qu'Euclide, les ayant omis au début de sa métrique, a pu opportunément y suppléer à l'aide de constructions spatiales et de constatations de visu faites à la simple inspection des figures. En second lieu, Euclide a négligé les axiomes concernant la congruence des segments et des angles que l'habitude journalière de voir des corps solides se déplacer rendait sans doute pour lui trop évidents. C'est faute de les avoir explicitement introduits, qu'il a dû recourir à des opérations empiriques telles que le transport des figures les unes sur les autres, le retournement d'une figure sur sa propre trace, la rotation d'une droite autour d'un point fixe pris comme charnière, etc. Il a ainsi accrédité ce préjugé qae le raisonnement géométrique est absolument lié à la construction et à l'inspection des figures, au tracé de lignes auxiliaires, à des opérations de translation, de retournement ou de rotation; bref, à des constations spatiales de faits géométriques.

En vain Leibniz, mathématicien de race, fit les plus expresses réserves sur le rôle des figures géométriques dans les démonstrations : a Je ne demeure point d'accord, dit Théophile à Philalùthe, qu'en mathématiques les démonstrations

particulières sur une figure que Ton trace, fournissent cette certitude générale, comme yous semblez le croire. Car il faut savoir que ce n'est pas les figures qui donnent la preuve chez les géomètres... La forme de la démonstration est indépendante de la figure tracée qui nest là que pour faciliter l'intelligence de ce que Ton veut dire et fixer l'attention. Ce sont les propositionsuniverselles, c'est-à-dire les définitions, les axiomes et les théorèmes déjà démontrés qui font le raisonnement et qui le soutiendraient quand la figure n'y serait pas. C'est pourquoi un savant géomètre, comme Scheubelius, a donné les figures d'Euclide sans leur assigner de lettres qui les puissent lier avec la démonstration qu il y joint; et un autre, comme Harlinus, a réduit les mêmes démonstrations en syllogismes et polysyllogismes^. » En vain, Leibniz déclara-t-il que les symboles et les chiffres, qui remplacent les figures en mathématiques pures et, en générai, dans la Spécieuse universelle, ne sont pas nécessaires; qu'ils sont dus à l'infirmité de notre esprit qui ne sait pas réduire immédiatement les notions complexes aux idées simples dont la connaissance est intuitive et non symbolique; que, l'entendement infini étant capable de l'analyse qui nous dépasse. « Dieu calcule sans chiffres » : l'autorité des Eléments d'Euclide, consacrés par les Rationalistes comme le canon des sciences déductives, au point que l'expression more geometrico sera prise pour synonyme de « déductif », abusera Kant à ce point, qu'il le conduira à faire reposer la. Critique de la Raison pure sur cette colossale bévue : « Seule, une preuve apodictique, en tant qu'intuitive, peut s'appeler démonstration-. » Schopenhauer, en disciple terrible, dénoncera dans l'effort d'Euclide, pour démontrer logiquement ce qui est évident intuitivement, une « brillante absurdité » ; il prescrira « de ramener toute démonstration logique à une démonstration intuitive, en se défaisant du préjugé qui accorde à la vérité démontrée un avantage sur la vérité intuitivement acquise"^ ».

• .\oiiv. Essais, IV, i, 9.

- Critique de la Raison pure. B, 762.

3 Die Well als Wille und Vorslellung, éd. Grisebach (Reclani), I, 119.

LA DÉMONSTRATiON I^S PRINCIPliS 207

III. — Troisièine exemple : la justification empirique du théorème de Zermelo.

La clissimulatioa des postulats d existence sous des appels à rintuition conduit parfois à des paralogismes d'une autre sorte .

Zermelo a démontré que le conlinu est un ensemble bien ordonné, si Ton accorde la possibilité de faire une infinité non dénombrable de choix arbitraires, indépendants les uns des autres. Les Cantoriens légitiment cette possibilité en invo- (juant les fonctions absolument g^énérales de Dirichlet- Riemann, qui nécessiteraient, pour être décrites, une infinité non dénombrable de choix arbitraires.

Une fonction est une correspondance entre deux ensembles. Elle est définie, si Ion peut fixer, à laide dun nombre fini de conventions, la loi de la correspondance, c'est-à-dire le procédé empirique ou la série d'opérations analytiques, qui permet de faire correspondre aux éléments du premier ensemble les éléments du second, que ces éléments soient d'ailleurs en nombre fini ou infini. Peut-on concevoir dès lors l'existence entre des ensembles infinis, d'une correspondance qui ne serait assujettie à aucune loi ; qui, pour être décrite, exigerait que 1 on choisisse un à un tous les éléments, en nombre infini ou transfini, de second ensemble pour les poser en correspondance avec ceux du premier ?

Un mathématicien non-cantorien répondra que l'existence logique d'une telle correspondance requiert une condition impossible. Notre esprit conçoit bien la répétition indéfinie d'une opération sitôt qu'elle est une fois possible ; il ne peut concevoir, en aucun cas, la réalisation actuelle d'un nombre infini d'actes de pensée distincts, indépendants les uns des autres. L'existence logique dune correspondance non descriptible repose sur une condition contradictoire, et, par suite. doit être rejetée.

Les Cantoriens reviennent à la charge. Une correspondance sans loi peut exister, comme le prouve l'exemple de Jules Tannery*. Supposons un nombre infini d'étoiles, absolument

' J. Tannery, De l'infini mal'liémalinue. ap. Heviie (jénérale des Sciences, 28 février 1897. p. l'jg-ijo.

distribuées au hasard à des distances variables de la terre, numérotées à laide de la série des nombres entiers, en faisant correspondre le numéro i à celle qui est la plus rapprochée de la terre. Supposons, en outre, que sur chaque étoile soit inscrit l'un des dix numéros o, i. y.... 9, et que l'on ignore du reste absolument quel numéro il y a sur telle ou telle étoile. A chaque étoile correspondra le numéro d'ordre relatif à la distance à la terre et l'un des dix numéros o, 1,2... 9. Si l'on fait alors correspondre, à chaque nombre entier n, le chiffre notifiant la distance qui est inscrit sur toute étoile portant le numéro 9, la concordance existera, bien qu'il soit impossible de la décrire, sans aller visiter chaque étoile une à une. On conclut de là qu'il existe des correspondances sans loi. qiii. pour l'esprit, correspondraient à un ensemble infini non dénombrable de choix, si bien que la condition impliquée dans le raisonnement de Zermelo est valable.

Cette argumentation revient à ceci : soit à prouver l'existence logique de correspondances mathématiquement indescriptibles, c'est-à-dire de correspondances sans loi. Je postule l'existence phj^sique de telles correspondances en les inscrivant dans la nature. De ce qu'elles existent empiriquement, je conclus alors quelles existent logiquement. Cette conclusion est parfaitement valable, car ce qui est réel est possible. Mais voici oii le sophisme s'insinue. Inscrire une correspondance mathématiquement indescriptible dans la nature, c'est inscrire dans la nature la loi qui permet de la décrire, pour un nombre, aussi grand que l'on veut, de termes donnés. On ne prouve alors nullement l'existence de correspondances sans loi, de correspondances mathématiquement indescriptibles, puisque, du fait de les réaliser dans la nature, on leur donne une loi et on les rend par cela même descriptibles.

Le paralogisme est ici différent de celui que l'on commet, généralement. En général, les démonstrations qui reposent sur un appel à l'intuition sont vicieuses, parce qu'elles introduisent un postulat tacite, équivalant à la thèse que l'on a en vue de démontrer en partant de l'hypothèse qui ne la contient pas. L hypothèse serait en elle-même insuffisante pour démontrer la thèse, en tenant compte des propositions antérieurement établies, si l'on n'introduisait pas subrepticement un nouveau postulat. Ce postulat complète l'iiypo-

thèse, ce qui permet d'en déduire rigoureusement la thèse. Ici, la démonstration est vicieuse, parce que le recours à l'expérience introduit un postulat d'existence, l'existence de la loi, qui contredit Ihypothèse même de la thèse à démontrer.

IV. — Quatrième exemple : la démonstration d'Archimède du principe de l'équilibre du levier.

Si nous quittons le domaine de la géométrie et de lanaljse, pour celui de la mécanique et de la physique, le spectacle est le même : à tout instant, des intuitions expérimentales masquent, au cours des démonstrations, des postulats implicites qui rendent ces démonstrations plus ou moins circulaires. Seulement, il s'agit ici d'intuitions portant sur des observations autrement complexes que celles qui ont donné naissance à la géométrie : chacune d'entre elles est l'intégration d'un nombre considérable d'expériences journalières, positives ou négatives, qui ont cessé d'être remarquées à force d'être habituelles.

Cela se voit surtout dans les tentatives de démonstration des postulats de la Statique qui, empruntant à la géométrie la théorie des déplacements, celle des vecteurs et celle des masses, semble participer à l'évidence de cette science. Parmi ces tentatives, les plus caractéristiques sont celles qui font appel au principe de raison suffisante. Chaque fois que Ton invoque ce principe, particulièrement sous sa forme la plus scientifique, celle du principe de symétrie, on admet tacitement qu'une série de circonstances dissymétriques n'influent pas sur le phénomène étudié. Cette induction représente la totalisation d'un nombre prodigieux d'expériences négatives. Nous étudierons, au cours d'un chapitre prochain, les plus célèbres de ces démonstrations.

Bornons-nous à celle par laquelle Archimède prétend établir la condition de l'équilibre du levier * : un levier est en équilibre, lorsque les poids suspendus à ses bras sont en raison inverse de leur longueur.

Archimède part de cet axiome, qu il considère comme

1 Arcliimède, Traité /le l'équilibre i}es*plans et de leurs centres de gravité, trad. Peyrard, Paris, 1867.