L. ROIGIER

210 LES PÂftALOGIS^IES DL RATIONALISME

évident a priori en vertu du principe de symétrie : deux poids égaux, placé* à des distances égajles du: point de suspjen-sion, sont en équilibre. En. vérité, e'esfc à tort cpaZil tient cet axiome pour évident a priori, car il implique cette proposition, qui résulte d'une multitude d'expériences po&itiTes et négatives : les poids et les distances sont les seules circonstances déterminantes de l'équilibre du levier. Archimède ramène à ce cas simple et primitif celui des poids inégaux, en imaginant ces poids, lorsqu'ils sont commensurables, divisés en plusieurs parties, toutes égales entre elles, et en supposant que les parties de chaque poids sont séparées et transportées, de part 'et d'autre du levier, à des. distances égales, en sorte que le levier se trouve chargé de plusieurs petits poids égaux et placés à des distances éga-les, autour du point de suspension. Archimède envisage ensuite le cas de poids incommensurables ; il démontre le même théorème à l'aide de la méthode d'exhaustion, en faisant voir qu'il ne saurait y avoir équilibre entre ces poids, à moins qu'ils ne soient en raison inverse de leurs distances au point de suspension.

Cette procédure repose sur l'affirmation suivante : on peut, sans troubler aucunement l'équilibre, remplacer, en totalité ou en partie, chaque poids suspendu à l'une des extrémités par deux poids égaux entre eux, donnant le même poids total, et symétriquement placés de part et d'autre du point de suspension. Cette affirmation n'est nullement évidente. Elle revient à admettre le postulat implicite suivant : La part cVinfluence de chaque poids élémentaire P s'obtient en multipliant celui-ci par sa distance L au point fixe de suspension. Qu'il soit impossible de déduire ce postulat de l'axiome dont est parti Archimède; que, par conséquent, il constitue une hypothèse additionnelle, c'est ce qu'il est facile de montrer. Dans le cas d'une disposition parfaitement symétrique, comme celle qu'envisage l'axiome d'Archimède (poids égaux à distances égales d'un point fixe), l'équilibre subsiste, (quelle que soit la loi Pf{L) d'après laquelle la force déterminante de la rupture dépend de L ; il est partant impossible de déduire, de la persistance de l'équilibre dans le cas parfaitement symétrique envisagé par l'axiome d'Archimède, la forme particulière PL de cette loi.

On peut se convaincre d'ailleurs du risqnie d'erreur que l'on

encourrait en se tenant pour satisfait d'aune pareille pseudoévidence, en remarquant qu'elle conduirait à une théorie tout à fait inexacte du pendule composé.

Soit un pendule constitué par une tig-e de masse néglig-eable supportant deux poids égaux de petites dimensions, situés k des distances inégales /} et h du point fixe. Supposons qu'on s'avise de concentrer ces deux poids' au point situé

à la dislance moyenne =-. Cette opération change la

durée des oscillations du pendule, et, cependant^ elle paraît à première vue aussi licite que dans le cas du levier.

Les mêmes réflexions s'appliquent à la manière dont procèdent Stévin et Galilée pour établir le théorème d'Archimède. Ils simplifient la démonstration du savant syracusain, en supposant que les poids attachés au levier sont deux parallélépipèdes horizontaux pendus par le milieu, dont les largeurs et les hauteurs sont égales, mais dont les longueurs sont le double de celles des bras de levier qui leur correspondent inversement. De cette manière, les deux parallélépipèdes sont en raison inverse de leurs bras de levier; en même temps, se trouvant placés bout à bout, ils ne forment plus qa un seul prisme, dont le point médian correspond précisément au point de suspension du levier. Lorsque Galilée et Stévin admettent, dans ces conditions, qu'ils peuvent sectionner leur prisme sans troubler V équilibre, ils introduisent un postulat implicite, semblable à celui d'Archimède. Pareillement, dans sa Mécanique analytique, Lagrange invoque un postulat additionnel : Le principe de la solidification et de la superposition des équilibres. La nécessité de recourir à un nouveau postulat est inévitable, puisque, comme nous l'avons vu, l'équilibre de poids égaux à des distances égales du poiut de suspension n'implique aucunement la condition de la proportion inverse des bras du levier. Il faut nécessairement introduire, dans la théorie du levier, une hypothèse plus ou moins explicite, déterminant la forme de la fonction /(L).