III. — Le Réalisme analytique

Ce que nous venons de dire de la géométrie est a fortiori vrai de l'analyse. En effet, beaucoup qui croient en l'objectivité des notions géométriques concèdent volontiers que les nombres sont une pure création de l'esprit, n'ayant qu'une existence subjective dans notre pensée.

Ampère, dans son Essai sur la philosophie des sciences, se fait l'interprète de cette opinion : « Les vérités géométriques ont une réalité objective qui ne se trouve pas dans celles de l'arithmologie '. » Cependant, là encore, nous l'etrouvons la tendance réaliste qui pousse les mathématiciens à croire en l'existence des nombres et des fonctions, indépendamment des conventions qui leur donnent l'être. Il est même à remarquer que, depuis un quart de siècle, alors que les mathématiciens répugnent chaque jour davantage au réalisme géométrique, par suite de la découverte des géométries non-euclidiennes et de l'emploi des figures imaginaires, ils inclinent de plus en plus au réalisme analytique, c'est-à-dire à considérer les nombres et les fonctions comme existant en dehors de notre pensée. C'est pourquoi, alors qu'il est plus aisé de trouver des exemples de réalisme géométrique chez les Anciens, il est plus facile d'en trouver du réalisme analytique chez les Modernes.

Le réalisme arithmétique commence avec les Pythagoriciens, mais c'est un réalisme immanent : les nombres sont le principe constitutif des choses sensibles. Il faut en venir à la théorie des Idées platoniciennes, puis à la théorie des Idées nombres, pour trouver un réalisme arithmétique trans-

' Ampère, op. cit., p. 64.

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cendant. On connaît le passage célèbre de la République, où il est parlé des vrais nombres, ol àpiOuol y.Ar,9îvoL\ qui se trouvent au-dessus des nombres mathématiques ; et celui du Phédon, où Socrate, soutenant que chaque chose n'existe que par participation à sa propre essence qui est une Idée séparée, déclare qu'il n'y a d'autre raison h à ce que un et un tassent deux, sinon qu'ils participent à la dyade (intelligible), de même qu'un n est un que par participation à la monade- ».

Le réalisme arithmétique est professé par Saint Augustin. Dans son traité De liberio Arhilro, s'adressant à Evodius, il lui montre comment il existe une vérité absolue et objective que chacun saisit dans sa raison individuelle et qui est commune à tous. Gomme preuve, il cite des nombres : « L'essence et la vérité des nombres subsistent immuables et complètes : elles se laissent voir indistinctement, communiter, à tous ceux qui raisonnent'. » 11 distingue les nombres sensibles et les nombres intelligibles, dont l'existence est transcendante : « Ceux-ci peuvent être augmentés à l'inlîni, mais non pas diminués en proportion, puisqu'il n'y a rien audessous de la monade ou de l'unité. Les nombres sensibles, au contraire, tels que la quantité et l'étendue des corps, peuvent être diminués, mais non point augmentés à l'infini. Et de là vient sans doute que les philosophes ont placé l'être avec tant de raison dans les choses intelligibles, et, dans les choses sensibles, le non-être. Ainsi encore, quiconque entend ces nombres intelligibles, n'aime rien tant que la monade ou l'unité; et cela n'est point merveilleux, puisque c'est par elle que les autres nombres sont aimés ''. » Ce passage, dont nous aurons à nous souvenir, montre que Saint Augustin ne réalise que les nombres positifs entiers.

On retrouve chez Malebranche le réalisme arithmétique de lévêque d'Hippone : « Est-ce que les yeux nous apprennent la différence qu'il y a entre une somme de cent écus et une autre de cent un?... Ce n'est donc pas la vue sensible des choses nombrées qui nous sert à former les nombres nontibrants ; mais c'est par eux que nous comptons le nombre de no» perceptions sensibles. G est par ces nombres immuables

' La lit'puhUque, ', 529 D.

- Phédon, loi C, 18-20.

^ De liberio Arbitra, lib. II, c. 8. 24.

< S. Augustin, Epist. III Nebridio.

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et divins, présents à toutes les intelligences, que les Arithméticiens s'instruisent, et que les Marchands se rendent compte. Et quand l'esprit fait abstraction des choses nombrées, c'est qu'il se tourne vers les nombres immuables et éternels K »

Les Analystes modernes sont plus « osés » que les Anciens. Ils réalisent les différentes espèces de nombres, les polynômes, les fonctions algébriques ou transcendantes. « Pour moi, écrit Hermite à Stieljes, je ne suis qu algébriste, et jamais je n'ai quitté la sphère des mathématiques subjectives. Je suis toutefois bien convaincu qu'aux spéculations les plus abstraites de l'Analyse correspondent des réalités qui existent en dehors de nous et parviendront quelque jour à notre connaissance"-. » « Je crois que les nombres et les fonctions de l'analyse ne sont pas le produit arbitraire de notre esprit; je pense qu'ils existent en dehors de nous avec le même caractère de nécessité que les choses de la réalité objective, et que nous les rencontrons, ou les découvrons, ou les étudions comme les physiciens, les chimistes, les zoologistes ^. » Se servant ailleurs d'une autre comparaison, il écrit au même correspondant : « Je vous ferais bondir, si j'osais vous avouer que je n admets aucune solution de continuité, aucune coupure entre les mathématiques et la physique, et que les nombres entiers me semblent exister en dehors de nous, et en s'imposant avec la même nécessité, la même fatalité que le sodium et le potassium^. »

Le point de vue d'Hermite n'est pas isolé. 11 est partagé par toute une école de mathématiciens contemporains, connus sous le nom de leur chef d'Ecole : les Gantoriens. « Les Cantoriens, déclare Poincaré, sont réalistes, même en ce qui concerne les entités mathématiques ; ces entités leur paraissent avoir une existence indépendante ; le géomètre ne les crée pas, il les découvre... On reconnaît là la théorie de Platon •'^. » Ce rapprochement entre le Cantorisme et le Platonisme est justifié par la déclaration suivante d un des plus

' Réponse du P. Malebranche à la troisième Icllie de M. Arnnuld. recueil de 1709, t, IV, p. 60.

* Correspondance d'Hermite et de Stieljes, t. I, p. 8. 3 Corr., t. II, p. 398.

* Corr., t. I, p. 332.

'■• Dernières Pensées, p. i5g-i6'j.

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illustres adeptes de la doctrine, M. B. Russell, qui en a dégag^é la philosophie, à laquelle il donne le nom de Réalisme analytique : « La philosophie que j'appelle le réalisme analytique... montre que l'exactitude des mathématiques dépend de ce qu'elles s'occupent d'un monde abstrait, un monde d'essences ou d'idées platoniciennes, qui n'est nullement sujet aux inexactitudes des connaissances sensibles, et qui n'est pas assujetti aux variations subjectives (ju'on aurait à craindre en acceptant une théorie psychologique telle que celle de Kant '. » En parlant d'un monde abstrait, il ne faut pas entendre que ces essences ou idées platoniciennes soient des universaux qui n'existent que dans notre pensée : « Les universels, au contraire, n'existent pas dans le même sens que les particuliers, il vaut mieux dire qu'ils subsistent. Leur subsistance ne dépend en aucune façon des esprits qui les connaissent : les sciences abstraites ont donc un objet complètement indépendant de tout élément mental-. »