I. — Le réalisme géométrique

Le réalisme g-éométrique procède de la distinction, nettement établie dès l'époque des Pvthag-oriciens, entre les vérités empiriques, qui sont toujours revisibles et contingentes, et les vérités mathématiques, qui sont certaines, nécessaires et indépendantes du monde vsensible.

Les vérités empiriques dérivent de nos sensations. La mobilité de celles-ci impressionna les premiers penseurs de la Grèce. Gomme les statues de Dédale, elles sont fuyantes. L'expérience de la rame brisée montre qu'elles sont contradictoires et les arguments de Zenon qu elles eng-endrent l'antinomie. Tour à tour, les choses du monde sensible sont et ne sont pas, naissent et périssent : Heraclite y voyait la conciliation des contraires. Gomment une science de ces objets serait-elle possible, puisque l'on est conduit, à leur sujet, à des propositions contradictoires d'individu à individu et d^instant à instant? La description du monde d'Heraclite aboutit au scepticisme empirique de Protagoras.

Influencé par l'enseignement de Gratyle, Platon professe, avec les Eléates, qvi'il ne peut pas y avoir de science du monde sensible ; mais il ne nie pas pour cela, comme Protagoras, la possibilité de toute science. En ellet, au v"^ siècle avant Jésus- Ghrist, un fait sans précédent dans l'histoire humaine s'est produit, qui est vraiment le miracle grec : l'avènement de la géométrie rationnelle dû aux Pytliag-oriciens. Désormais, en face des choses sensibles soumises au devenir et à la corruption, il y a une science, dont Socrate pourra dire à Glaucon,

au septième livre de la République : <.> Elle a pour objet ce qui est toujours (zq-j ocel cvzoç) et non ce qui devient et périt (oj xo\J Tiozi 'A yiyvou.hoj y.-A àno\lu^évo-j) , car la géométrie est la connaissance de ce qui est éternel (~c\j àzî hzcç r, yvàu.z-.pniori yvt^Giç hziv^). »

La géométrie, en efîet, a prise sur l'éternel et l'immuable : en tous lieux et tous temps, un cercle est le lieu des points situés à égale distance d'un point donné, et tous ses rayons sont égaux. Elle n'emprunte pas ses objets à l'expérience : elle les engendre en les définissant et, par là, réalise l'identité de la pensée et de Têtre. Elle n'est pas d'origine empirique : l'esclave interrogé dans le Ménon découvre les théorèmes mathématiques par une simple réminiscence. Elle nous fait pénétrer dans un monde intelligible, qui n'est pas soumis aux variations de l'opinion, mais à l'indiscutable évidence de la connaissance rationnelle. La science est donc possible, puisque les mathématiques existent. Mais la science n'est pas la connaissance des objets sensibles, qui ne respectent pas les exigences logiques de la pensée. 11 y a deux mondes, le monde intelligible des vérités nécessaires et le monde sensible des jugements d'expérience, que les Eléates et les Platoniciens posent face à face et que l'idéalisme s'eiforcera un jour de rapprocher jusqu'à les confondre.

L'objet de la géométrie est donc éternel. Mais les propositions géométriques consistent en des rapports intelligibles entre des notions qui se trouvent dans notre esprit. L'affirmation de Platon ne peut donc signifier que ceci : avix notions qui existent subjectivement dans notre esprit correspondent des réalités objectives, indépendantes du monde sensible et de la connaissance que nous en avons. C'est bien ainsi que l'entendront les grands Rationalistes de l'âge classique : Descartes, Bossuet et Malebranche.

Le premier, dans la T'*^ Méditation^ déclare : « J'imagine un triangle, encore qu'il n'y ait peut-être en aucun lieu du monde hors de ma pensée une telle figure et qu'il n'y en ait jamais eu, il ne laisse pas néanmoins d'y avoir une certaine nature ou forme, ou essence déterminée de cette figure, laquelle est immuable et éternelle, que je n'ai point inventée

* Platon, la République. ', 527 B.

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et qui ne dépend en aucune façon de mon esprit ; comme il paraît, de ce que l'on peut dém«ntrer diverses propriétés de ce triangle, à savoir que ses trois angles sont égaux k deux droits, que le plus grand angle est soutenu par le plus grand côté, et autres semblables, lesquelles maintenant, soit que je le veuille ou non, je reconnais très clairement et très évidemment être en lui, encore que je n'y aie pensé auparavant en aucune façon, lors({ue je me suis imaginé la première fois un triangle, et, partant, on ne peut pas dire que je les ai feintes ni inventées ^. »

Bossuet, dans la Connaissance de Dieu et de soi-même, revient sur la même idée :

« Tout ce qui se démontre en mathématique et en (|uelque autre science que ce soit est éternel et immuable , puisque l'effet de la démonstration est de faire voir que la chose ne peut pas être autrement qu'elle est démontrée.

« Aussi, pour entendre la nature et les propriétés des choses que je connais, par exemple, ou d'un triangle, ou d'un carré, ou d'un cercle, ou les proportions de ces figures et de toutes autres figures entre elles, je n'ai pas besoin de savoir (juil y en ait de telles dans la nature ; et je puis massurer de n'en avoir jamais ni tracé ni vu de parfaites. Je n'ai pas besoin non plus de songer qu'il y ait quelque mouvement dans le monde pour entendre la nature du mouvement même, ou celle des lignes que chaque mouvement décrit et les proportions cach-'es avec lesquelles il se développe. Dès que l'idée de ces choses s'est une fois réveillée dans mon esprit, je connais que, soit qu'elles soient ou qu'elles ne soient pas actuellement, c'est ainsi qu'elles doivent être et qu il est impossible qu'elles soient d'une autre nature ou se fassent d'une autre façon ^. »

Dans ses Entretiens sur la Métaphysique et la lieligion, Malebranche entreprend de prouver qu'il est plus facile, pour un philosophe, d'établir la réalité du monde intelligible des idées, qui sont immuables et communes à tous les esprits, que de prouver l'existence du monde matériel. Si Ariste croit à la réalité de celui-ci, c'est que le plancher de sa chambre résiste à son pied. Pour la même raison, il doit croire en la réalité du monde des idées, parce que celles-ci résistent à son

1 V' MédiUtion, IX, 5i.

- Connaissance de Dieu et de soi-même, chap. iv, § 5.

esprit: « Pensez-vous, déclare Théophile, que vos idées ne vous résistent point ? Trouvez-moi donc dans un cercle deux diamètres inégaux ou dans une ellipse trois égaux. Trouvez-moi

la racine carrée de 8 et la cubique de 9 ; faites que deux

pieds d'étendue intelligible n'en fassent qu'un. Certainement la

nature de cette étendue résiste à votre esprit. Ne doutez

donc point de sa réalité *.» Il suit de là que « les idées ont une existence éternelle et nécessaire», indépendante de notre pensée.

Ainsi donc les propositions géométriques expriment des vérités nécessaires, parce qu'elles portent sur des essences objectives, immuables et éternelles. Les Platoniciens considèrent ces essences comme des idées, distinctes les unes des autres, et composant un monde à part, séparé du monde sensible. Les Augustiniens les assimilent aux idées de Dieu, qui subsistent dans son intellect, et qu'il n'a pas le pouvoir de modifier par un acte arbitraire de sa volonté. Les Thomistes les identifient avec les différents aspects objectifs, susceptibles d'être imités, d'un unique Exemplaire, qui est le Verbe divin; si bien que «toutes ces vérités ne sont au fond qu'une seule vérité », et que cette vérité unique, « c'est Dieu éternellement subsistant, éternellement véritable, éternellement la vérité même ^.))

II. — Origine psychologique et réfutation du réalisme géométrique.

L'origine psychologique du réalisme géométrique est la suivante. Une fois que nous avons adopté un système de notions et de propositions premières, et que nous avons vérifié que ce système est cohérent, nous sommes enchaînés dans le cours de nos déductions par les règles de la logique formelle. En géométrie métrique par exemple, une fois admis le système de postulats formulé par Euclide, une fois définie la notion du triangle rectiligne dont on démontre qu'elle est possible, nous sommes tenus, pour rester cohérents avec nous-

• Entretiens sur la métaphysique et sur la religion, i^' entretien, § 8, édit. de 1696, p. 16.

- Bossuet, Connaissance de Dieu et de soi-même, chap. iv, S 5.

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mêmes, d'admettre que la somme des angles d un triangle quelconque est égale à deux droUp.

La nécessité de ce théorème n'a rien qui doive nous étonner. Point nest besoin, pour en rendre compte, de supposer une essence réelle. « immuable et éternelle », celle du triangle en soi, qui existerait indépendamment de nôtre esprit et s'imposerait à lui en lui résistant. Il suffît de remarquer que la nécessité du théorème est toute conditionnelle. Elle est subordonnée à quatre conditions : à la reconnaissance des règles de lu logique; au choix d'un système de notions et de propositions premières, c'est-à-dire de conventions initiales; à la vérification que ce système est cohérent ; à la convention tacite de restreindre la compréhension du mot triangle, qui figure dans l'énoncé du théorème, aux seuls triangles rectilignes, à l'exclusion de tous les triangles curvilignes, pour lesquels le théorème cesse d'être vrai. Nous transformons cette nécessité conditionnelle en nécessité absolue, en oubliant les trois premières conditions. Quant à la quatrième, nous n'y prenons point ©arde, par suite de la vieille habitude que nous avons dcvoquer 1 image d'une figure trilatère rectiligne, chaque fois que l'on prononce, dans le langage courant, le mot triangle. Si cette habitude s'est créée, bien que nous eussions pu tout aussi bien associer l'image d'une figure trilatère curviligne au terme de triangle, c'est par suite d'une particularité physique du milieu qui nous sert d'habitat. Les lignes qui correspondent aux côtés des triangles rectilignes sont plus remarquables, et d'un usage beaucoup plus journalier, que celles qui correspondent aux côtés des triangles curvilignes. En effet, elles assument dans notre Univers des fonctions physiques capitales : elles sont le chemin le plus court d'un point à un autre, l'axe de rotation des solides naturels, la trajectoire des rayons lumineux dans un milieu homogène, et elles servent à mesurer la distance de deux corps. Par suite, elles retiennent notre attention et elles captivent notre imagination beaucoup plus que les courbes.

Ainsi s'explique, sans autre mystère, que l'idée du triangle nous résiste. Elle résiste à notre entendement, enchaîné par ses propres conventions, en vertu des règles de la logique ; elle résiste à notre imagination, asservie à ses propres habitudes, en vertu de contingences empiriques, si bien que l'énoncé du théorème contraire : La somme des angles d'un

triangle est différente de deux droits, encore que vrai des triangles curvilignes, outrage notre entendement et l'évolte notre imagination.

Pour bien établir que l'idée du triangle nous résiste uniquement en vertu des conventions, explicites ou implicites, posées par notre esprit et par suite des habitudes de notre imagination, évoquons ce qui se passerait pour les habitants d'un univers lobatchefskien, tel que Poincaré s'est complu à en développer le mythe physique, désormais aussi célèbre que celui du Timée de Platon '.

Soit, à l'intérieur d'une sphère S, un monde présentant les particularités suivantes. Tous les objets qui s'y trouvent ont le même coefficient de dilatation et sont animés de mouvements suffisamment lents pour se mettre immédiatement en équilibre thermique avec leur milieu. La température est maxima au centre et se réduit au zéro absolu à la périphérie. Si l'on désigne par R le rayon de la sphère et par /■ la distance au centre d'un point pris à l'intérieur de S, la température absolue en ce point sera mesurée par la ditrérence des carrés de R et r, et l'indice de réfraction, par 1 inverse de cette différence.

Les habitants de ce monde singulier le tiendront pour infini. En effet, plus ils s'avanceront vers la périphérie, plusieurs pas deviendront petits, puisqu'ils se contracteront par l'effet du froid, si bien qu'ils ne parviendront jamais à l'atteindre. Plus ils se rapprocheront du centre au contraire, plus ils gagneront de terrain à chaque enjambée, puisqu'ils se dilateront par l'effet de la chaleur. Le plus court chemin entre deux points, celui les obligeant à parcourir le plus petit nombre de pas, ne sera point, comme on peut le prévoir, la droite euclidienne qui joint ces points, mais une courbe renflée vers le centre : l'arc du cercle, passant par ces deux points, qui coupe orthogonalement la sphère S. On peut vérifier que cette courbe, en raison des hypothèses énoncées, sera l'axe de rotation des solides qui pivotent entre les deux points et la trajectoire des rayons lumineux allant de l'un à l'autre : ce sera la droite physique de cet univers. Par un point pris hors dune droite, il sera possible de mener, non plus une seule, mais une infinité de parallèles k cette droite.

' La Science el l Hypothèse, ji. 83-88.

LE REALISME 283

Les habitants de ce monde adopteront spontanément le postulat de Lobatchefski : Par- un point pris hors d'une droite, on peut mener une infinité de parallèles à cette droite. Ilsre jetteront invinciblement celui d'Kuclide, affirmant que la parallèle est unique. Du postulat de Lobatchefski, ils déduiront le théorème suivant : La somme des angles d'un triangle rectiligne est inférieure à deux droits, proposition que vérifieront leurs mesures de triangulation. Ce théorème leur paralitra une vérité absolue, indépendante de leur esprit et de l'expérience, pour les mêmes raisons qui nous font considérer comme telle le postulat d Euclide. Ils auront contracté, en effet, l'habitude d'associer au terme de triangle la représentation de certaines ligures trilatères, dont les côtés sont formés à l'aide des lignes remarquables qui assument, dans leur univers, les mêmes fonctions physiques que les droites euclidiennes dans le nôtre. Ces lignes, ils les appelleront des droites; et, si nous étions subitement transportés dans leur monde, nous les appellerions des courbes, par suite de l'assujettissement de notre imagination visuelle et de notre langage à d'autres habitudes, contractées dans notre univers euclidien.

Les métaphysiciens lobatchefskiens prendront donc, comme exemple de vérité éternelle, le théorème : La somme des angles d'un triangle est inférieure à deux droits. Ce théorème leur paraîtra jouir à la fois d'une certitude logique et d'une évidence intuitive, invincibles à tout pyrrhonisme. Ils le tiendront pour vrai, apodictiquement et assertoriquement. Ils en concluront qu'il existe une « nature réelle et immuable », le triangle en soi, indépendant de leur Bsprit et de la nature, qui leur impose ce théorème.

On voit par là la portée philosophique du mythe de Poincaré. Si celui de Voltaire, Alicromégas, nous enseigne la relativité de nos sensations, celui de Poincaré nous montre la relativité et les basses origines empiriques de vérités réputées transcendantes. Les propositions géométriques, (jue les Rationalistes de tous les temps ont considérées par excellence comme des exemples typiques de vérité a priori, indépendantes de notre esprit et delà nature, dépendent au contraire étroitement des contingences physiques du milieu qui nous sert d'habitat. Si les métaphysiciens non-euclidiens sont conduits à admettre, comme vérités nécessaires, des propo-

sitions diamétralement opposées à celles de Descartes, de Bossuet, de Malebranche, cest uniquement parce que le coefficient de dilatation de leurs solides, les lois de l'équilibre thermique et la répartition de la chaleur dans leur univers n'ont pas les mêmes caractères que dans le nôtre ; ou, pour parler leur langage (car pour eux la notion de température nexiste pas), c'est parce que la structure de leurs solides naturels et la trajectoire de leurs rayons lumineux ne sontpas les mêmes que les nôtres. 0 miseras hominum mentes! Eh quoi, voilà des vérités proclamées a priori et nécessaires, qui dépendent de contingences empiriques ; voilà des vérités réputées absolues et éternelles, qui varient suivant le coefficient de dilatation des corps et la répartition de là chaleur 1 Même lorsqu'il s'évade de ce monde, emporté par le mirage de quelque fallacieuse scolastique, l'homme emporte la marque de son attache originelle. Il reste tributaire des circonstances extérieures qui présidèrent à son évolution psychologique. La structure des solides, auxquels il s'est frotté dès l'origine, a déterminé, pour une part, sa structure mentale spécifique. L'argument des vérités nécessaires, bien loin de prouver l'existence d'un monde transcendant ou d'un être nécessaire éternellement subsistant, prouve la dépendance étroite de l'homme et de son milieu.

Le bon Reid, qui sacrifia si souvent au faux-dieu du sens commun et qui ignorait tout des géométries non-euclidiennes, a reconnu cela à sa façon : « Reid a montré, rapporte Ampère*, que si l'homme était réduit au simple sens de la vue, ne pouvant dès lors connaître que l'étendue superficielle à deux dimensions, et prenant pour des lignes droites ce qui serait réellement des arcs de grands cercles tracés sur une surface sphérique dont le centre serait dans son œil, les triangles qu'il considérerait comme rectilignes pourraient avoir deux ar^les ou même leurs trois angles droits ou obtus, et que la géométrie d'un tel homme serait toute différente de la nôtre ». Sans aucun doute, la géométrie plane de cet individu singulier comporterait ce théorème : la somme des angles d'un triangle est supérieure à deux droits. Sa planimétrie ne serait pas celle d Euclide ; ce serait celle de Riemann,

' Ampère, J^ssai sur la Philosophie des sciences, Paris, i856, p. 64.

Pour voir coml)ien, dans cette objectivation des notions géométriques, notre entendement reste asservi à nos sens, dont les données dépendent des contingences pliysiques de notre habitat, il suffit de remarquer que nous n'objectivons que les notions de ligures que l'on peut construire, dessiner ou sculpter. Mais si le réalisme pouvait seul expliquer (jue les notions géométriques nous résistent, il faudrait ipso facto l'étendre aux figures des espaces à n dimensions, aux figures imaginaires ou rejetées à l'infini, qui, ignorées de la géométrie des Anciens, ont fait fructifier si merveilleusement celle des Modernes. 11 faudrait admettre qu'il existe des droites perpendiculaires à elles-mêmes, qu'une circonférence possède des points situés à distance infinie, qu'on peut tracer des lignes droites sur la surface d'une sphère, etc. Il faudrait accorder une nature propre « immuable et éternelle », à des éléments essentiellement variables. En effet, la nature des éléments à l'infini change avec les méthodes de transformation que l'on utilise : dans la géométrie projective, où l'on ne s'occupe que des propriétés qui se conservent par transformation homo-graphique, les points à 1 infini d'un plan apparaissent comme étant en ligne droite ; dans la géométrie où l'on traite des propriétés qui se conservent par inversion, ces éléments apparaissent comme étant réunis en un même point, par où vont passer toutes les droites du plan, qui, maintenant, ont deux points communs, tandis ({ue, tout à l'heure, elles n'en avaient qu'un. Ainsi le réalisme géométrique ne soulève pas seulement des problèmes métaphysiques insolubles; il aboutit à des absurdités. Il conduit à admettre, comme réelles, des figures imaginaires ; comme immuable, la nature essentiellement variable de certains êtres.

En résumé, le réalisme géométrique repose sur une double origine : i° Une fois posé le système cohérent de postulats qui caractérisent les notions premières de la géométrie, nous sommes enchaînés dans nos raisonnements par les règles de la logique formelle, et les notions géométriques paraissent nous résister, parce que nous ne sommes plus libres de rejeter les propositions qu on en démontre ; mais, nous étions libres de choisir un autre système de postulats, cest-à-dire libres de nos conventions initiales; 2° nous avons contracté l'habitude d'associer certaines images à certains termes, désignant des notions que l'on devrait, au point de vue logique, traiter

comme de purs symboles. Ces images constituent une interprétation particulière de ces symboles.

Ln nécessité intelligible de nos démonstrations se trouve renforcée de l'évidence intuitive des constructions sensibles qui les illustrent. Mais, placés dans d'autres milieux, nous serions sollicités par d'autres images, qui nous feraient paraître intuitivement évidentes les propositions contraires à celles auxquelles nous accordons spontanément notre créance.