L. RouGiEn

insoupçonnés, nous ne nous reconnaissons plus et finissons par croire que nous sommes un homme nouveau ; de même le mathématicien, interloqué, ne reconnaît- plus dans les nombres une création de son esprit, parce qu'ils manifestent une nature méconnaissable, soudain rebelle à l'analyse.

La théorie des nombres est particulièrement instructive à cet égard. Quoi de plus clair que cette convention qui consiste à créer par récurrence la série des nombres entiers, en ajoutant toujours l'unité à elle-même. Et, cependant, l'arithméticien le plus expert ne peut se flatter de connaître a priori toutes les propriétés des nombres entiers, qui dérivent d'une convention aussi simple. Cette série d'entités, qu'il vient de créer, se pose devant sa pensée comme une réalité obstinée et opaque, qui est la source de propriétés toujours nouvelles. Il la considère avec surprise, comme lui père que son enfant déconcerte. Il s'attendait, connaissant la loi simple de la formation des nombres entiers, à pouvoir déduire a priori toutes les propriétés de ces nombres, et le voici-arrêté, dès le début^ par cette proposition élémentaire, découverte inductivement par Euler d'après une <( conjecture » de Goldbach, sans qu'il soit parvenu à en rendre raison : tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers.

M. Brunschvicg-a parfaitement rendu compte de l'état d'âme du mathématicien qui est amené insensiblement à croire que les créations de son esprit s'animent d'une vie propre, comme la statue de Pyg-malion, et subsistent en dehors de lui. Un fait est certain : « c'est qu'une fois mis au monde, chaque nom,bre présente une nature individuelle objective, qui échappe à toute déduction générale, à toute anticipation du raisonnement. La raison qui lui a donné naissance est réduite à l'étudier du dehors, exactement comme la mère est obligée de recourir à l'observation pour comprendre le caractère de son enfant, l'humeur dont il est à tel jour et à telle heure.

« Ainsi, le nombre 1^7 est-il divisible par quelque autre nombre que lui-même ou l'unité ? Je n'en puis rien savoir a priori; je ne puis rien prévoir; il faut que je fasse l'épreuve, que je procède par expérience, en essayant tour à tour les nombres premiers inférieurs ou égaux à i 137. Le nombre aura donc beau être une notion a priori, il n'en sera pas moins objet d'expérience — liaison d'idées qui . n'a rien de paradoxal, du moment qu'on a écarté le préjugé de l'empi-

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risme métaphysique : — on saura voir alors dans l'expérience, non plus l'intuition d'une réalité qui serait extérieure à Ir» pensée, mais une certaine attitude de l'esprit tourné vers son objet, afin d'en enregistrer les particularités, cet objet fût-il l'être qu'il a défini lui-même par le processus intellectuel de sa formation.

« Après avoir obtenu des recueils de constatations particulières, l'arithméticien va, comme le physicien, chercher des lois. Il a le même but, il usera des mêmes procédés. Il hasarde une généralisation. Par exemple, Fermât est « quasi persuadé » que « les puissances carrées de S, augmentées c?e l unité, sont toujours des nombres premiers». Il croit pouvoir « répondre » de la vérité de la proposition, et il invite Pascal à en chercher la démonstration. Or, le pressentiment de Fermât la trompé : Euler a remarqué que 2-4- i n'est pas un nombre premier. — Ou bien, comme il arrive pour le théorème simple communiqué par Euler à Goldbach : tout nombre pair est une somme de deux nombres premiers, la ^vérification sur les nombres particuliers, si loin qu'on lait poussée, ne l'a pas mis en défaut , mais on n'a pas réussi à dépasser la généralisation empirique, à fournir une démonstration rationnelle qui nous placerait à 1 abri d'un démenti ultérieur de l'expérience. Ailleurs, la nécessité de la loi a pu être établie; l'esprit s'est pleinement assimilé, s'est rendu transparente la matière avec laquelle il prenait contact; j'en prendrai comme exemple la loi de formation des nombres carrés parfaits, que l'on obtient en ajoutant successivement à l'unité les nombres impairs pris dans l'ordre naturel de leur progression*. »

On voit par là comment des entités, créées par le savant, peuvent finalement s'imposer à sa pensée, comme si elles constituaient une donnée étrangère fournie du dehors ; comment le savant doit commencera les observer objectivement, comme si elles n'étaient pas le fruit de ses propres conventions; comment ce n'est qu'après coup qu'il en vient à saisir le lien de dépendance nécessaire qui lie les propriétés manifestées par ces entités aux conventions dont il est parti. La remarque d'Hermite à Stieltjes se justifie alors aisément :

* L. Brunschvic^', V Arithmétique et la théorie delà connaissance (communication faite au /«"■ Congrès international de philosopitie mathématique, 5 avril (914), ap Rev. met. et mor., mars 1916, p. 33i-342.

« L'observation est la source féconde de l'invention dans le monde des réalités subjectives, tout comme dans le domaine des réalités sensibles •. »

Le sentiment d'étrangeté, qui conduit le mathématicien à objectiver les concepts mathématiques, disparaît avec un état plus avancé de la science, lorsqu'il est parvenu à déduire toutes les propriétés que manifeste un ensemble d'entités en partant des conventions initiales (postulats d'existence, principes formateurs et axiomes de relation), qui leur ont donné consistance. Pour reprendre les termes de M. Brunschvicg, ces entités cessent d'être une matière opaque à 1 esprit, pour devenir une matière transparente complètement assimilée par la pensée. 11 voit comment, des conventions qu'il a posées, découle logiquement la profusion des propriétés qui l'ont tout d'abord dérouté. Le sentiment d'étrangeté s'évanouit et il reconnaît dans les nombres et dans les fonctions des créations subjectives de sa propre pensée. C'est ainsi qu'un malade revient à la saine notion de sa personnalité normale, lorsque cesse létrangeté des sensations qui lui parviennent de ses organes des sens et de sa cénesthésie.

L illusion qui donne naissance au réalisme analytique est donc la même que dans le cas de réalisme géométrique : une fois posé un système cohérent de notions et de propositions premières, nous sommes liés, dans la suite de nos déductions, par nos conventions initiales, si nous voulons rester d'accord avec nous-mêmes, conformément aux règles .de la logique formelle. Ce sentiment de contrainte, qui fait que les notions mathétiques « nous résistent ». n'est pas renforcé, en analyse comme en géométrie, par l'évidence intuitive de constructions spatiales qui accompagnent les démonstrations; mais elle l'est par l'impression d étrangeté que nous procurent les entités que nous avons créées, lorsque nous y découvrons par induction des propriétés nouvelles que nous ne soupçonnions pas devoir y figurer et dont nous ne voyons apparemment pas comment elles procèdent de nos conventions initiales.

Le réalisme analytique conduit aux mêmes absurdités que le réalisme géométrique. S il vaut pour la suite naturelle des nombres entiers, à laquelle semble 'vouloir le restreindre saint Augustin, il vaut pour toutes les autres espèces de

1 Correspondance d'Hermite et de Slieltjes. l. I, p. 332.

nombres : les nombres imaginaires, les nombres hypercomplexes, comme les nombres idéaux de Kummer, et les nombres dont l'ensemble a une puissance supérieure au continu géométrique, comme les nombres non-archimédiens de Paul Véronèse. Or, si nous sommes disposés à réaliser nos concepts, lorsqu'il s'agit des nombres naturels et de l'arithmétique pythagoricienne, nous répugnons à le faire pour les nombres que nous venons de désigner. C'est qu'à mesure que nous nous alfranchissons des entraves de l'intuition, auxquelles restèrent assujetlisles Anciens, le caractère conventionnel des entités, que nous sommes amenés à construire, s'accentue. Il faut une foi robuste pour admettre que les nombres imaginaires subsistent en dehors de notre pensée, au lieu de les considérer comme de simples procédés de calcul.