V. — Le Cantorisme

Le réalisme mathématique des Anciens et des philosophes classiques a refleuri de nos jours, sous une forme extrêmement aventureuse, à la suite des travaux de l'illustre fondadateur de la théorie des ensembles, dont les disciples portent le nom de Gantoriens.

Les Gantoriens sont autrement plus audacieux que leurs prédécesseurs. Alors que les Grecs s'efforçaient, au prix de pénibles détours, à proscrire l'infini de leurs raisonnements, c'est dans l'infini actuel, dans les différents ordres de transfîni, que se meuvent, comme en une terre promise et conquise, ces visionnaires d'un infini nouveau. Pour eux, l'infini actuel préexiste au fini, qui n'en est qu'une spécification très particulière. En bonne logique, on devrait commencer l'arithmétique par établir les pi'opriétés générales des nombres cardinaux transfînis ; puis, distinguant parmi ceux-ci une classe infinie, celle des entiers ordinaires, on pourrait démontrer toutes les propositions relatives à la suite naturelle de ces nombres, au moyen des seuls principes de la logique.

Les Gantoriens, et c'est en quoi consiste leur particulière témérité, posent l'existence a priori d'entités qui défient toute construction possible par un esprit humain qui ne saurait proférer qu'un nombre fini de mots. Ils admettent qu'il est légi-

timede raisonner sur des notions que Ton ne saurait construire, et, par conséquent, dont on ne peut pas établir l'absence de -contradiction. Ils considèrent cette dernière condition comme surérog-atoire : admettant l'existence ontologique de ces entités, celle-ci emporte nécessairement leur existence logique. C'est ainsi que, dès l'Antiquité, les mathématiciens de l'Ecole de Platon soutenaient, contre ceux de l'Ecole dEudoxe, que, les figures géométriques ayant une existence ontologique antérieure à la définition qu'on en donne, il est superflu de prouver leur existence logique au moyeu de problèmes de construction. Sen)blablement, les Gantoriens pensent ([ue les êtres mathématiques « existent dans une sorte de grand magasin, indépendamment de toute humanité ou de toute divinité qui pourrait en pax"ler ou y penser; que dans ce magasin nous pouvons faire notre choix; que, sans doute, nous n'avons pas assez d'appétit ou assez d'argent pour tout acheter, mais que l'inventaire du magasin est indépendant des ressources des acheteurs*. »

Pour bien comprendre ce qu'a d'hyperbolique le réalisme des Gantoriens, il convient d'exposer l'épistémologie de leurs adversaires, appelés tour à tour Empiristes par Dubois- Reymond, Pragmatistes par Poincaré et Nominalistes par F. Enriques.

Pour ceux-ciun être mathématique existe : i° si on peut le définir : a° si on peut montrer que cette définition n'est pas contradictoire. On peut définir un être de deux façons différentes : i° on peut le caractériser à l'aide d'un système de postulats ; 2" on peut le construire à l'aide d'opérations déterminées -. Nous dirons que cet être existe logiquement si on peut établir : dans le premier cas, que le système de postulats nécessaires pour le caractériser n'est pas contradictoire ; dans le second cas, que les opérations nécessaires pour le construire sont permises par les postulats d'existence et les principes formateurs de la théorie. On peut avoir en vue de définir soit un individu, soit une classe, finie ou infinie. Nous dirons qu'une classe est définie, lorsque nous savons reconnaître : 1° si un objet déterminé appartient ou non à cette

' H. Poincaré, Dernières Pensées, p. 147.

* Cf. H. Lebesî;ue, Leçons sur Vintéçjrcilion et la recherche des fondions primitives, 1904, p. 99-100.

classe ; 2* si deux objets de cette classe sont distincts ou non. Une classe est finie, si l'on peut établir, au moyen d'une correspondance biunivocpie, qu'elle est plus grande ({ue sa partie ; elle est inlinie, si elle est équivalente à sa partie. Une question se pose alors naturellement : peut-on définir et démontrer l'existence déclasses infinies, et. par suite, peut-on lég'itimement raisonner sur elles?

Remarquons, tout d'abord, que nous ne pouvons ojx^rer qu'un nombre (ini d'actes de pensée distincts : nous ne pouvons construire, par exemple, qu un nombre fini et très limité de nombres entiers en ajoutant l'égalité à elle-même. En ce sens, nous ne pourrions jamais définir par construction que des suites finies de nombres. Mais notre esprit a la faculté, grâce à l'imagination créatrice, de concevoir la répétition indéfinie d'une opération, dès qu elle est une fois possible. Grâce à cette faculté, nous pouvons construire des suites de nombres indéfinies, comme la suite naturelle des nombres entiers. Gela veut dire que, quel que soit le nombre entier que nous considérions, si élevé qu en soit le rang, nous concevons toujours la possibilité de le constniire par récurrence, en ajoutant l'unité à elle-même. Pour définir par construction une suite infinie de nombres, il faut et il suffît de définir la loi de formation de cette suite, qui permet d'obtenir tous ces nombres par récurrence, en répétant uniformément une ou plusieurs opérations, dont on a établi qu'elles étaient une fois possibles. La définition par récurrence, et, par suite, l'existence logique de suites infinies de nombres, se ramène ainsi à la possibilité de concevoir la répétition indéfinie d un acte de pensée, une fois qu'il a été vérifié possible.

Une telle possibilité n'implique en aucun, cas celle d'un nombre infini, actuellement réalisé, d'opérations distinctes. Notre esprit ne conçoit point, par exemple, la possibilité de prononcer un nombre infini de mots ou de faire un nombre infini de choix arbitraires, à moins toutefois de pouvoir formuler une règle qui déterminé a priori les choix successifs, en fonction d'un nombre fini d'opérations. Lors donc qu'une entité mathématique exige un nombre infini de mots pour être définie, lors donc qu'une correspondance implique un nombre infini de choix arbitraires pour être décrite, cette entité et cette correspondance ne sont pas pensables : le processus de leur construction est entaché

de transcendantalisme, c'est-à-dire qu'il suppose un processus impossible : la réalisation d'un nombre infini d'actes de pensée. Par suite, une telle entité et une telle correspondance n'existent logiquement point ^

Partons de la suite naturelle des nombres entiers :

Une classe exprimant simplement l'association logique des éléments qui la composent, nous pourrons former les classes :

Co = (1,2), C3 = (i, 2, 3), c„ = (i . . . n).

Nous ne saurions pousser ce procédé de réimion jusqu'à embrasser, dans une classe actuellement iniinie, la totalité des nombres entiers (i, 2. . .) que notre esprit définit par récurrence. La classe totale des nombres entiers serait dans ce cas définie d'une façon transcendante ; elle impliquerait une suite d'opérations par nature inachevable. Rien ne garantirait sa non-contradiction, qu'on prétendrait à tort pouvoir tirer d'un processus si vicieux. Pareillement, si on a une série convergente de nombres telle que :

0,3 -+- o,o3 -h o,oo3 "!-•••»

on ne saurait former la notion de leur limite i/3, par la sommation de ces termes qui sont en nombre infini.

Est-ce à dire quon ne saurait admettre des classes ou des ensembles infinis et raisonner sur eux légitimement ? C'est là une conséquence que des empiristes intransigeants, comme Berkeley, ont cru pouvoir tirer d'un nominalisme ombrageux. Les suggestions de l'expérience nous conduisent cependant à former des concepts, dont l'un est par rapport aux autres dans le rapport d'une classe infinie à ses éléments. C'est ainsi que nous considérons une ligne comme une classe infinie de points, et une suite infinie de points comme appartenant à une ligne. De même, on peut considérer une suite infinie d'approximations successives comme appartenant à une limite : on peut considérer que la fraction i/3 est à la suite (o,3 o,33 o,333. . .) dans un rapport d'appartenance. Seulement, et c'est ce qu'il

' Cf. F. Knriques, Sur quelques queslions soulevées par l'infini malhdmntique, ap. liev. met. el nior., mars 1917, p. 149-164.