TL = R
OT-r,
le triangle LOT donne
2\np= rr smz'. tv
En appelant P la valeur maximum de p qui correspond à z'=9o**, valeur qui prend le nom ôq parallaxe horizontale^ on a
sinP= ^, d*où, en remarquant que /? et P sont très-petits,
^ ' Rsmi"
et par suite,
(27) ./? = Psinz'.
B est évident que, relativement aux étoiles, la position, apparente du Soleil, de la Lune, d'une planète ou d'une comète change selon la position de l'observateur sur la surface de la Terre.
La position de l'astre supposé vu du centre de la Terre se Xiomme^ position vraie; celle considérée d'un point de la surface se nomme position apparente, A un moment donné, il y a donc autant de positions apparentes qu'il y a d'observateurs.
La position vraie et une position apparente sont toujours évidemment dans le plan du vertical de l'astre.
yGoogk
Soient (fif;. 8) P, sur la sphère céleste, le pôle de Téquateur, Z le zénith de l'observateur; si / est la position vraie d'un astre et /' sa position apparente, 11'= p sera évidemment la parallaxe en hauteur,
Fig. 8.
Nous voyons que la parallaxe fait différer les coordonnées équatorialesy considérées de la position de l'observateur, de ce qu'elles seraient pour un observateur situé au centre de la Terre.
P/ =r 90° — D est la distance polaire vraie,
P/'= 90° — D' est la distance polaire apparente,
ZVl = h^ est l'angle horaire vrai,
ZP/' = lia est l'angle horaire apparent,
P/— P/'= D'— D = ^ est la parallaxe de déclinaison,
ZP / — ZP / ' = Aa — K — ^ est la parallaxe d* ascension droite.
On peut déterminer ces deux quantités, en fonction des coordonnées équatoriales vraies, de l'heure sidérale et de la latitude du lieu. Le triangle IW donne
sin/P/' =
sin//'sinP/7
ou
sma
sinP/
8in/?sinP/'Z ^ côsD '
( 33 ) mais le triangle P/'Z donne, en nommant ^ la latitude,
SmP/'z= 1 ; )
z* représentant toujours la distance zénithale apparente. Nous
aurons alors
sin/? cosflpsin/irt smrtf — — Ç, — \ — ; — cosD smz
ou
sinPcos^psin^a
sm« =
cosD
Comme pour le Soleil et pour Vénus, P et a sont très-petits,
nous pouvons écrire
PcosçsinAfl
cosD
Comme /l'a diffère peu de h^, et que Tangle horaire astronomique d'un astre est égal à l'heure sidérale du lieu h^ moins l'ascension droite vraie A, on a enfin
(a8) « = PsécDsin(A — /ijcosf.
Pour obtenir la parallaxe de déclinaison b^ nous avons
sin6 = sin(D'— D) = sinD'cosD — cosD'sinD;
mais le triangle VZl(fig, 8) donne, en désignant toujours par z la distance zénithale vraie
sinD = cosZ cos^ sinz -h sin^ cosz,
et le triangle ZP/' donne, en désignant toujours par z' la distance zénithale apparente,
- sinD'— sinçcosz'
cosZ = 7-^ :
cosfsmz'
yGoogk
( 34 ) on a donc
. sinD'— sincp cosz'
smD = r-S cos<p sinz -h smy cosz
cos<psin3' ^ ^
/ cosz'sinzX . -..sinz
= smç ( cosz : — ; — ) -f- sinD'-r :
^ \ sinz' / sinz'
sino) sin (z'—z) . ^^z sinz smz sinz''
mais z' — z est la parallaxe de hauteur y c'est-à-dire que
8in(z'— z) = sinPsinz';
il vient donc
• Tx • • T» • Tx/ sinz sinD = sin<p sinP -h sinD' -^ — ;• ^ smz'
Des deux triangles ZP/ et ZP/' on déduit
cosDsinA^ . , cosD sin//a
8mz= . „ " i smz'= — r-^ — 2,
smZ smZ
d'où
sinz cosDsin^^
sinz' cosD'sin^'^
il vient alors
• Tx • • i> • Tx; cosD sin/i^
smD = smy smP h- smD' j-'
cosD'sin^a
Si nous mettons cette valeur de sinD dans l'expression de sin^, nous aurons
sin^ = sinD'cosD — cosD'siny sinP — sinD' —^ ; — ^
sin^a
ou
sin^ = SinD'cosD ( I f ) — cosD'siuipsinP,
\ 8m ha/
yGoogk
( 35 ) ou encore
acos
m^hî
sinb = sinD'cosD ^^ ,— ' — cosD'sin(])sinP.
sia//a
Mais nous avons trouvé ci-dessus
sinPcosepsin^rt
cosD ^
on a donc
sm- . „
9i sinPcosy
cosD.acos-
Substituant cette valeur dans l'expression de sin^, il vient
. , sinD'sinPcos<p ha-^h, , . .
sm6= i cos cosD'sinepsinP.
cos-
Or, comme pour le Soleil et Vénus, on peut poser
sinô = ^sini",
sinP = Psini ",
n cos - := 1 :
on a, en faisant aussi cos — — cos/*^ = cos(//^ — A) et
(29) b = P[sinDcosf cos(//, — A) — cosDsinij)].
Les formules (28) et (29) donnent, pour les astres tels que le Soleil et les planètes, les paralUuces d'ascension droite et de déclinaison.
Nous pouvons obtenir aussi, par une simple analogie, les for*
yGoogk
mules relatives aux parallaxes de longitude et de latitude, c'està-dire celles relatives aux changements apportés dans les coordonnées écliptiques d'un astre par la position de Tobservateur supposé sur la surface de la Terre, au lieu de le considérer au centre do notre globe.
Soient (y%. 9) /? le pôle de Vécliptique, P le pôle de Véqua-
teur, Z le zénith de l'observateur, EE' V écliptiques QQ' Véquateur et HH' V horizon rationnel.
Soient aussi / la position vraie d'un astre sur la sphère céleste, et /' sa position apparente.
Menoiïs les cercles de latitude /?r, pi et pi'.
rpl'~ rpl = c est la parallaxe de longitude; pi' ~ pi ~ e est la parallaxe de latitude.
Supposons que le mouvement diurne ait lieu dans le sens de la flèche.
Il est clair que tout ce que nous avons dit pour la détermination des parallaxes d'ascension droite et de déclinaison peut
(37) s'appliquer aux parallaxes de longitude et de latitude, pourvu que, dans les formules trouvées, nous remplacions
PZ = 90** — (p par /?Z = 900 — Z/î, ZP/ = k^ par Zpl =:rpl—rpZ = rk — m, P/ = 90° — D ^T pl = 90^ — L ou 90* moins la latitude vraie . deTastre.
Rappelons maintenant ce que c'est que
Z/i, m et rÂ,
Le grand cercle pZn, étant à la fois perpendiculaire sur Véclijhtique et sur Yhorizon, a pour pôle le point F, point d'intersection de ces deux cercles ; le point n est donc le point de Tédiptique qui, au moment considéré, est lb plus élevé au-dessus de r horizon; on le nomme le nonagésime,
Zn est alors la distance zénithale du nonagésime : nous la représenterons par v ; m est la longitude de ce même point : nous la représenterons par i ; enfin rA est la longitude vraie de l'astre au moment considéré : nous la représenterons par à. Voyons comment on obtient v et f .
Le grand cercle pVdg a pour pôle le point vernal : donc rd= rg= 90"; de plus, rq est Theure sidérale du lieu.
Le triangle ZP/? donne alors, en remarquant que Zp = 90*— p,
( 3o) sinv = siny cosw — cosy sinw sin^^ ,
et, aussi, puisque Z/?P = 90°— e,
tangy sinw = — cosw ^nh^ •+• cosA, tangs,
d'où
/ON * L L sinwtangfl|>
(3i) tangi = tangA, cosw -+- ——^.
Les formules (3o) et (3i) feront connaître la distance zéni' thaïe et la longitude du nonagésime.
yGoogk
En opérant maintenant, dans les formules de parallaxes d'ascension droite et de déclinaison, les substitutions que nous avons indiquées ci-dessus, nous trouvons pour parallaxe de longitude
,^ , Pcosvsin(). — î)
(3*) '^ 83iL -'
et ^GMT parallaxe de latitude
(33) e = P[sinLcosv cos(X— s) — cosLsinv],
On aurait pu obtenir ces formules par une autre méthode, qui consiste à établir, d'après le principe relatif à la projection d*un contour polygonal sur une droite fixe y trois équations qui lient les coordonnées vraies d'un astre rapporté au plan de l'équateur et au centre de la Terre, et les coordonnées apparentes du même astre, rapporté aux mêmes plans, mais envisagé du lieu de l'observateur.
La méthode que nous avons donnée nous a semblé peut-être plus à la portée de tous les lecteurs.
111. — Comment on peut prédire les différentes phases du passage de vénus sur le disque solaire pour un lieu déterminé.
Première méthode.
Nous allons simplement considérer la détermination de l'instant d'une phase, du premier contact intérieur^ par exemple; les déterminations relatives aux instants des autres phases se font d'une manière analogue.
Supposons que, pour le centre de la Terre, le premier contact intérieur arrive à l'époque, temps moyen de Paris,
Pouf un lieu dont la latitude est ^ et la longitude G^ l'heure^
yGoogk
(39) temps moyen de Paris, correspondant à la môme phase sera
t ' ayant une très-petite valeur.
Pour déterminer ^', remarquons qu*à l'instant T, h- /' les coordonnées écUptiques géocentriques des deux astres seront
O2-1- m't\ longitude du Soleil, \ -h mt ', longitude de Vénus , Lj -h //', latitude de Vénus,
Oi) \ et L2 désignant les coordonnées du Soleil et de Vénus pour répoque T,.
En supposant /' exactement connu, ces coordonnées, étant déduites des Tables , ne seraient pas rigoureusement exactes, parce que les constantes des Tables sont légèrement erronées.
Appdons :
x' l'erreur existant sur la longitude du Soleil , par suite des erreurs des Tables; X , celle qui existe sur la longitude de Vénus, et enfin y l'erreur affectant la latitude de la planète.
Les coordonnées vraies exactes seront alors
©.^ -4- m't '-h x'^ longitude du Soleil, \ ■+- mt' -h X, longitude de la planète, Lj -i- It' -hj-j latitude de la planète.
Pour avoir maintenant les coordonnées apparentes relatives à un observateur placé au lieu considéré, il faut corriger ces coordonnées de l'effet de la parallaxe. «
Employons les formules (32) et (33) et posons
!, cosvsin(>j~ e) '~ cosLj '
/• = sinLj cosv cos(Xj — s) — cosL, sinv ;
u 1 c 1 -1 ( A'=cosvsin(0, — s),
Pour le Soleil } ,, .
I A'= — smv.
Nous faisons, pour le Soleil, L^ = o.
Les valeurs de v et e sont déterminées à Taide des formules (3o) et(3i).
En désignant par P la parallaxe horizontale du Soleil et par n celle de Vénus , les parallaxes de longitude et de latitude seront
Pour Vénus ^ "^' parallaxe de longitude,
( n/", parallaxe de latitude;
I de longitude, ! de latitude.
T» 1 o 1 M \ P^ > parallaxe (
Pour le Soleil 1 t» /# n
I Pa , parallaxe i
On aura donc pour coordonnées écliptiques apparentes, relatives au lieu considéré :
Longitude apparente. Latitude apparente.
Pour le Soleil. ... Q^-^ m' t' — V h' -\- x\ — P^',
Pour Vénus X, -+- wr' — n^ + ar, L, -4- //'— n^ -+-7.
Nous négligeons Teffet parallactique dans les quantités m\ m et /.
Appelons aussi >ij Terreur commise sur la différence {d'—d) des demi-diamètres , par suite de Tincertitude qui règne sur la valeur rigoureuse de ces quantités.
Fig. 10.
\m triangle VSB [figAo\ dans lequel VS= (i/' — €/)-+- ij„ VB
est la différence de latitudes apparentes des deux astres, et BS la différence de leurs longitudes apparentes, nous donne
-+-[L-+-//'~(^X•-P/•')-+-JP-{^'-^^-lî,)^
Mais, comme h et h' sont peu différents l'un de Tautre, et qu'il en est de môme de k et X*', nous pouvons écrire
Développant les carrés, négligeant les termes en A", /", a:*, y^ y eix'^, ainsi que les termes du second ordre, et remarquant que^ entre les quantités
nous devons avoir, pour le cas considéré, la relation
nous trouvons enfin
En négligeant, dans cette expression, les termes (x — x'),^ et (^'— d) >}„ qui sont très-petits, et qu'on ne connaît pas, et en prenant pour les parallaxes n et P leurs valeurs approchées, on aura /' d'une manière suffisamment exacte pour déterminer répoque T^-ht' de la phase considérée, de manière à pouvoir se mettre en observation un peu avant l'époque trouvée, et suivre le phénomène.
Deuxième méthode.
Soient P Ifig. 11) le pôle de Téquateur, V et S les positions vraies de Vénus et du Soleil sur la sphère céleste, V et S' leurs
yGoogk
( 4* ) positions apparentes au moment d'une phase considérée du centre de la Terre, le premier contact extérieur, par exemple.
Représentons toujours par À la distance vraie VS des deux astres, à ce moment voisin de la conjonction en ascension droite, et par A' leur distance apparente pour un observateur situé à la surface de la Terre.
Nous allons exprimer la distance apparente A' en fonction de la distance vraie A, c'est-à-dire déterminer la valeur A' de la distance apparente des deux astres à cette époque T,, temps moyen de Paris, pour laquelle la distance des centres de ces deux astres, pour un observateur situé au centre de la Terre,*serait A.
Pour cela, désignons, pour Tépoque T„ par
$ la déclinaison vraie de Vénus, et S* sa déclinaison apparente;
Cf. son ascension droite vraie ^ et a' son ascension droite apparente;
D la déclinaison vraie du Soleil, et D' sa déclinaison apparente;
A son ascension droite vraie^ et A' son ascension droite apparente.
Le triangle vrai SPV nous donne
cosA = sin^sinD h- cos^cosDcos(a — A),
(43) et le triangle apparent STV donne
cosA'= sin^'sinD'-h cos^'cosD'cos(a'— A').
Nous pouvons écrire
cos A'= sin [^ -h (^'— ^)] sin [D -h (ly- D)] 4- cos p 4- (^- ^)] xcos[DH-(D'-D)]cos[a~A-h(a'— a)-(A'-A)].
En développant et posant
8in(^'- ^) = ^'-^, sin(D'-D)=D'-D,
Sin(a'— a) = a' — a, 8in(A'- A) = A'-A, cos(^'- $) =1, cos(D'— D) = I, cos(a'— a) = I, cos(A'— A) = i,
on obtient, en négligeant les termes du second ordre,
cosA'= cosA-f- (^'— ^)[cos^ sinD — sin^cosDco8(a — A)] -f- (D' — D) [sin^ cosD — cos^ sinD co8(a — A)] — (a' — a)cos^co8Dsin(a — A) -+- (A'— A)cos^cosDsin(a — A).
On peut arriver à ce résultat en considérant cosA' comme une fonction des quantités ^, D, a et A ; on a alors
cosA=/(^,D,a,A) et
COsA'=/[^-+.(^'-^), D + (D'-D), a-+.(a'~«), A-f (A'-A)]. En appliquant le théorème de Taylor à quatre variables et en
yGoogk
( 44) s'arrètant aux termes du premier ordre, on trouve le développement ci-dessus.
I^'— $) et (D'— D) sont les parallaxes de déclinaison de Vénus et du Soleil, (a'— a) et (A'— A) sont leurs parallaxes d^ ascension droite. D'après les formules (28) et (29) données précédemment, et en désignant toujours par n et P les parallaxes horizontales de Vénus et du Soleil, nous avons
($'— 9) = n[cos«ï)Sin^cos(a — A,) — sinfcos^], (D'— D) = P[cosçsinDcos(A ~ AJ — sin<pcosD], (a'— a) = nséc^sin(a — AJcosy, (A'— A) = PsécDsin{A— AJcosy.
7 est toujours la latitude du lieu, et h^ son heure sidérale. Si nous substituons ces valeurs dans Texpression ci -dessus donnant cosÀ', il vient
cos A' = cosA -+- [cos^ sinD — sin^ cosD cos (a — A)]
X [ncosy 8in^cos(a — AJ — nsinfcos^] -+- [sin^ cosD — cosiJ sinD cos(a — A)]
X [Pcosf sinDcos(A— AJ — Psin^ cosD] --lIcosDsin(a — A)8in(a — AJ cos<p -4- P cos^ sin (a — A) sin( A — AJ cosy.
On peut donner à cette expression une forme plus concise.
Remarquons d'abord que cosf ou sin<p entrent dans tous les termes du développement ; on voit facilement que le coefficient de cos<p sera
n [sin ^ cos ^ sin D cos (a— AJ
— sin*^cosDcos(a— A,) cos(a— A) — C08D8in(a— A) sin(a— AJ] h P [sin D cosD sin 9 cos (A— A^)
— sin'Dcos^cos(A— AJcos(a— A)-4-co8^sin(a— A)sin(A— A,)].
En remplaçant sin*^ par i — cos*^, et sin'D par i — cos'D,
( 45 ) nous avons, pour ce coefficient de cos^p,
n{[sm^sinD-hcos^cosDcos(a— A)]ccs<y cos((3f— A,) -cosDcos(A— Ajj -H P |[sinDsin^-HcosDcos^cos(a-- A)] cosDcos( A — A,) — cos^ cos (a— /<J J .
Mais, à cause de la valeur de cosA donnée page 42, ce coefficient de cos(p peut encore s'écrire
Il[cosAcos<ycos(a — AJ — cosDcos(A— AJ H-P[co8AcosDcos(A— /ij— cos^cos(a — AJ.
On peut mettre en évidence, dans cette expression, cosh^ et sinA^, et lui donner la forme
[(n cos A — P) cos^ cosa— (n — P cosA) cosD cos A] cosA, H- [(n cosA — P) cos^ sina — (n ~ p cosA) cosD sinA] sinA,.
Tel est le coefficient de cos «p.
Le coefficient de sinep est d'abord
n[— cos'<y sinD -+■ sin^cos^ cosD cos(a — A)] H- P[— cos'D sin^ -+- sinD cosDcos^cos(a — A)J,
qui devient, en remplaçant cos^^ par 1 — sin'^ et cos*D par I — sin'D,
n j — sinD -J- sin^[sin^ sinD -h cos^ cosD co8(a — A)]| H- P 1 — sin^ H- sinD[sin^ sinD -h cos^ cosD cos(a — A)]!,
et en ayant égard à la valeur de cos A, déduite du triangle vrai,
(n cosA — P) sin^ — (n — P cosA) sinD.
L'équation donnant cos A' devient donc
cos A'=co8AH-[(n cos A— P) cos^ cosa--(n— P cos A) cosD cos A] COSf cosA, -+-[(ncosA— P) cos^sina— (n— PcosA) cosDsinAJcosf sinA, -f-[(n cos A— P) sin^ — {n— P cos A) sinD] sinç.
Pour arriver à une expression encore plus simple, on peut introduire deux variables auxiliaires /et s établies par les relations
,,., ( fsïns== ncosA — P,
I fcoss = — n sinA.
En multipliant la première par cosÀ, la seconde par sinÀ et faisant la différence » on a
/sin (f — A) ^ n — P cosA.
En introduisant ces nouvelles expressions dans la relation donnant cosA', nous avons
cos A'= cos ^-^-f [sin s cos «î cos a — sin {s — A) cos D cos A] cos f cos /i, H-/[sin5 cos<y sin a — - sin(5— A) cosD sin A] cos«ï> sinA, H-/[sin^ sin<y — sin (s—^) sinD] sin^.
Posons maintenant
Isin j cos<y cosa — sin (f — A) cosD cos A = B cos p cos>, sins cos ^ sin a — sin [s — A) cosD sin A = B cos p sin>, sins sin^ — sin(^— A) sinD = B sinp,
B, p et X étant trois nouvelles auxiliaires.
En élevant au carré ces trois dernières relations , faisant leur somme et en ayant égard à la relation
cosA = sin<î sinD -h cos^ cosD cos( A — a),
on trouve
B' = sin'^ -h sin' (^ — A) — a sin^ sin [s — A) cos A
= sin' ^ -h sin' 5 cos' A -I- cos* ^ sin' A — 2 sin ^ cos f sin A cos A
— 2 sin' f cos' A -f- 2 sin f cos ^ sin A cos û ,
c'est-à-dire
B' = sin' A ou B = sin A.
yGoogk
(47) Les équations (36) peuvent alors s'écrire
Icosa sin^ cos<y — sin [s — ^) cosD cos A = sin A cosp cosX, sin a sin ^ cos <y — sin {s — A) cos D sin A = sin A cos p sin > sin^sin^--sin(5— A)sinD= sin A sin p.
En multipliant la première par sin A, la seconde par cos A, et faisant la différence y puis 1^ première par cos A, la seconde par sin A, et faisant la somme, ces trois équations deviennent
Isin (X— A) sin A cos p = sin ^ cos ^ sin (a— A), cos(^-- A)sinAcosp = sin^cos^cos(a— A)— sin(f— A)cosD, sin A sin p = sin ^ sin (î — sin (s — A) sinD.
Mais on a identiquement
sin^ cos«y cos(a — A) — sin(5 — A) cosD
= sin5 [cos^ cos(a — A) — cosA cosD] 4- coss sin A cosD,
et
sin^ sin^ — sin(.v — A) sinD
= sins (sin^ — cosA sinD) -f- cos^ sinA sinD.
Le triangle vrai PVS (fig, ii) donne aussi, en posant toujours PSV = M et PVS = 180-M',
isinMsinAi=cos^sin(a — A), cosMsinA = sin^cosD— cos^sinDcos(a— A) ('), cosA = sin^ sinD h- cos^cosDcos(a — A).
(^) La seconde relation se déduit de la formule des quatre élé* ments consécutifs :
cotPV sinPS = cosPS cosP-f sinP cotM ou
cotPV sin PS - cosPS cosP = cosM ^^ = cosM ^^)
sin M sinPV
d*où
cosPV sinPS -*■ cosPS sinPV cosP — cosM «in Ai
yGoogk
En multipliant la deuxième de ces relations par sinD, la troisième par cosD, et faisant la dififérence, nous aurons
cos(a — A) cos<î = cosD cosA — sinD sin A cosM ;
en multipliant la deuxième par cosD, la troisième par sinD, et faisant la somme^ on trouve
sin ^ = sinD cosA -t- cosD sin A cosM.
D'après ces relations, les équations (37) deviennent, en tenant aussi compte de la première des relations (38),
|sin(^ -- A)co8p = sinf sinM, cos(X — A) cosp = C0S5 cosD — sinf sinD cosM, sin p = cosf sinD -h sinS cosD cosM.
La valeur de s ayant été calculée à Taide des relations (35), et celle de M à Taide des relations (38), en remarquant que M est ici ce que nous avons représenté par S, relativement au centre de la Terre, les équations (39) permettront de déterminer les auxiliaires > et p. D et A se rapportent évidemment à Tépoque, temps moyen de Paris, qui correspond à la phase considérée, mais pour le centre de la Terre.
Les relations (36), introduites dans la dernière valeur de cosA', donnent enfin
cosA' = cosA -h/sinA [sinysin^ -h cosf cosp cos(^ — //,)].
Si nous désignons toujours par T^ Tépoque, temps moyen de Paris, qui correspond aux valeurs a, <^, A et D, et si nous appelons Hg r heure sidérale de Paris correspondant à T,, et G la longitude orientale du lieu dont la latitude est 7 et Theure sidérale A^, nous aurons
et par suite
En employant alors deux nouvelles auxiliaires, A et Ç, satisfaisant aux deux relations
(40) I cosj; = sinç sinp -\- cos<p cospcos(> — AJ, ( = sin^sinp h- cos(pcospcos(A — G),
nous aurons enfin la formule très-simple
(41) cosA' = cosA -f-/sinAco8Ç.
Uillustre Lagrange, en 1766, a déduit de cette dernière relation un théorème remarquable que nous allons rappeler.
Remarquons d'abord que les quantités f, /, > et p, données par les équations (35) et (39], ne dépendent évidemment que de l'époque T,.
Considérons alors les deux auxiliaires A et ^ comme représentant la longitude et la latitude d'un point de la surface terrestre se déplaçant avec les différentes valeurs que l'on pourrait prendre pour T,.
Gomme, eu égard à la grande distance à laquelle Vénus et le
yGoogk
Soleil se trouvent de nous, nous avons supposé la Terre sphérique, nous pouvons remarquer que la relation
cosÇ = sincp sinp -f- cosy cosp cos (A — G)
exprime évidemment le cosinus de la distance Ç de deux points du globe y dont les coordonnées seraient
<P latitude J du lieu pour lequel nous voulons calculer
G longitude \ les phases du passage de Vénus,
P latitude | du lieu qui dépend , d'après ce que nous
A longitude ) venons de voir, de l'époque T^.
On voit donc qu'à une môme époque T, tous les lieux de la surface terrestre qui sont à la distance Ç du lieu ( p, A) auront une latitude ^ et une longitude G, satisfaisant à la relation
^ cosÇ = siny sinp h- cos<p cos p cos (A — G).
Pour tous ces lieux, situés évidemment sur un petit cercle du globe dont le point (P, A) est le pôle, la relation
cos A' = cos A -h/sinA cosÇ
ne changera pas ; il en résulte donc
<( Qu'à un même instant absolu qui répond à l'heure T, (temps moyen du premier méridien choisi) et pour chaque lieu au temps T, -f- G, la distance apparente du centre des deux astres est la môme pour tous les points de la surface de la Terre, pour lesquels Ç a la môme valeur, c'est-à-dire pour tous les lieux qui sont situés sur un petit cercle décrit du point (P, A) comme pôle avec ^ pour distance polaire. »
Tel est le théorème de Lagrange.
Nous devons faire remarquer que ce théorème n'est 'Vtai qu' approximativement y et la conclusion remarquable de Lagrange ne provient que de la simplification apportée dans les
yGoogk
formules de parallaxes d'ascension droite et de déclinaison dont on a fait usage dans Tanalyse que nous venons de reproduire.
La formule (40 nous fait voir que le lieu pour lequel Teffet de la parallaxe est maximuruy c*estrà-dire pour lequel la distance A' est le plus différente de la distance A, en plus ou en moins, est celui pour lequel cosÇ est maximum, c'est-à-dire pour lequel Ç = o ou i8o degrés. Donc ce lieu est unique et a pour coordonnées (P et A ), si A est /^ plus diminué par la parallaxe, ou ( — p et i8o' — A) si A est le plus augmenté, f étant supposé positif.
Nous allons maintenant chercher l'époque T, -+- d/, précédant ou suivant l'époque T,, à laquelle l'observateur situé par une longitude G et une latitude 7 voit la distance des centres de deux astres égale à la dislance A, qui est celle vue, à cette époque T,, du centre de la Terre.
Nommons dA la diflFérence très-petite qui existe entre la distance apparente A' et la distance vraie A.
D'après l'équation (41), nous aurons
cos ( A 4- dA) = cosA -i-/sinA cosÇ.
En développant le premier membre, et faisant cos A = i
et sindA = dA, on trouve
dA = - tangA d= tangA ^/ 1 — -^ cosÇ;
mais comme, pour le cas qui nous occupe, A est très-petit, on peut écrire
dA = — A =h A
^i^cosÇ;
donc dA dépend de l'époque T^, de la valeur de /, et de la valeur A. Nous allons chercher le temps d/ pendant lequel la variation des coordonnées des deux astres fera changer la distance
(52) vraie A de la quantité
— A d= A 4 / 1 ^ cos Ç.
Les formules (i3) et (i4), page 19, nous donnent, en multipliant la première par sinM, la seconde par cosM, et en faisant la sommcy
A = (a - A) cos HI> H- ^) sinM -f- (^ - D) cosM.
Différentions cette expression par rapport au temps. Nous avons, en considérant (D -h^) comme constant, dans Tintervalle considéré ,
dA d(a~A) , , . -^, . „ d(J--D) ..
^ - --g^ cosi(^ -f- D) smM h- ^ ^^ ^ cosM,
+ ^ [(a ~ A) cosi ( ^ -t- D) cosM - (^ - D) sinM ).
Mais, d'après les équations (i 3) et (14), le coefficient de -p est nul; on a donc tout simplement
dA d(a-A) ,,^ . ^^x . w . d(^ - D) „ -V- = -^~Âi — cosi(^ + D) smM-t- -^- — ' cosM,
ou, d'après les équations (i5) et (16),
-T- = «co8(M — N), d'où
/îCOs(M--N)
Mettons, dana cette expression, la valeur de dA, trouvée cidessus, il vient
— A±A^i — ^cosU
/îCos(M — N)
yGoogk
(53) ^ Remarquons que, des équations (35),
fsins = IIcosA — P,
/sinj = — nsinA,
on déduit
/' = n'-4-P' — anPcosA;
donc / est le troisième côté d'un triangle dont deux côtés seraient n et P, et Tangle compris A.
On a donc
ou, en prenant pour n et P leurs valeurs approchées,
Pour les contacts intérieurs, qui sont les contacts pour lesquels A a la valeur minimum, on a
d'après la valeur des demi-diamètres, que nous avons'déjà considérés, on a donc
donc -~ est très-petit lorsqu'on considère les contacts.
En développant (i — ^ cosu » nous pouvons alors nous
arrêter au second terme, et écrire
— ^db^(l- ^cosÇj
dt
/ï cos ( M — N )
yGoogk
(54) on déduit de là, pour d/, les deux valeurs
di= ^f.?'\.. et dr = .^^^ • -^^'^
/ico8(M-N) /ico8(M-N) «C08(M-N)
On doit, en effet, trouver deux époques, séparées par un intervalle assez considérable, auxquelles la distance vraie des centres des deux astres, de A qu'elle était, devient A'; mais pour la question qui nous occupe, di devant être très^petit, nous ne considérerons que la première valeur
A^ ~/cosÇ
/îCos(M — N)
Cette relation fait voir que, lorsque />oiir un observateur suppose au centre de la Terre la distance vraie des centres des deux astres est A, à l'époque T,, la distance apparente de ces centres, pour un observateur situé à la surface de la Terre, sera aussi A, à répoque
T, ' /M — N\ (^"™P^ moyen du premier méridien),
ou
Pour avoir maintenant les époques des contacts, il faudra remplacer, dans les formules qui contiennent A, cette quantité par [d'±Ld)^ suivant les contacts considérés, et, en remarquant qu'en introduisant dans la formule ( 17 ) , page ai, la valeur A = f/'±f/, on a
sin>l = sin(M-- N),
nous aurons enfin pour époques des contacts, en temps moyen
yGoogk
du premier méridien, pour le lieu dont la latitude est f et la longitude G :
Entrée r.=T.-:^,
Sortie T; = T, + :^^,
ou, en posant g = — : — -r et en temps moyen du heu,
Entrée T', =T, -g'cosç -+-G,
Sortie t; = T,-hg'CosÇ'-+-G„
en ayant soin de mettre dans les formules qui donnent K, K' et ^ la valeur (d'-^d) ou (d' — d) qui convient au contact considéré, ainsi que les valeurs convenables de l'angle de position S.
Nous devons immédiatement faire remarquer que, d'après ces formules et d'après ce que nous avons vu plus haut , les deux lieux du globe éprouvant, relativement à l'efiFet de la parallaxe, l'un Vaccélération maximum et l'autre le retard maximum pour I'bntrée, seraient aux extrémités d'un diamètre terrestre, et Vaccélération serait égale au retard. Cette conclusion n'a lieu, ainsi que nous l'avons déjà dit, que par suite des simplifications apportées aux formules de parallaxes d'ascension droite et de déclinaison.
La durée du phénomène, pour le lieu dont la longitude est G et la latitude <p, sera donnée par l'expression suivante, qui résulte des formules (42), en considérant, par exemple, les contacts extérieurs :
(T;-^rj = (T,-T.) + g'(cos(;'+cosj;).
On peut donner à cette expression une forme semblable à celle des formules (42).
Posons
g^'cosÇ" =r g[(Xi9XJ 4- cosJ;) ;
yGoogk
en nommant A" la longitude et p" la latitude du lieu qui aurait la durée maximum, c'est-à-dire pour lequel V = o, nous pourrons écrire
g^[sinP''sin(p-f-cosP''cosf cos(A" — G)] = g [sinp sinf -h cosp cos<pcos(A -— G)] ■+■ g'[sinp'sin(pH-cosP'cosçcos(A' — G)];
en développant cos(A*— G), co8(A — G) et cos(A'— G), nous avons, en mettant sinf et cos<p sinG en facteur commun,
sin<p[g''sinp'' — g'(sinp -f-sinf')] -H cosep cosG[/5''cosf>"cosA''— g'fcosp cos A 4- cosP'cosA')] -+- cosf sinG[g''cos^''8inA''— ^(cosp-sin A -i- cosP'sinA')]= o.
Comme cette équation doit être satisfaite, quelle que soit la valeur de <p, on doit avoir les trois équations
g' sinP' = g(sinp H- sinf') = K,
g^cosp^cosA" = g(cosp cosA H- cosP'cosA') = K',
g^'cosp* sinA" = g(cosp sinA -h cosP' sinA') = K",
d*où Ton déduit, en élevant au carré et faisant la somme,
qui fera connaître g', et Ton aura ensuite
sinB'' = ^, g
