COSA
g' cosp"
qui donneront les valeurs de P" et de A', et, par suite, de Ç*. On aura donc, d'après cela,
(42 bis) r, ~r, = T,-. T. -f-^cosÇ',
c'est-à-dire.
Durée à la surface = durée au centre -*- g^cosÇ'.
yGoogk
Le lieu dont la latitude est p" et la longitude A' est donc celui qui aura la plus grande durée; cette durée sera (T, — T,)h-/»^', et le point antipode, s'il pouvait apercevoir le Soleil, serait celui ayant la plus petite durée (T, — T,) — g^'. La différence des durées relatives à ces deux lieux est évidemment égale à a g''.
Nous pouvons enfin remarquer que la durée du passage pour un point quelconque de l'hémisphère pouvant apercevoir la phase, hémisphère dont le point (p*, A*) est le pôle, est toujours plus grande que celle relative au centre de la Terre.
On peut, si Ton veut, donner une autre forme aux formules (42) et à la formule (42 his\ en mettant à la place de cos2;, cos^' et cosÇ', la valeur tirée des équations (40), et en développant cos (A — G), cos(A' — G) et co8( A*— G) ; on trouve ainsi :
Pour ( T, = T,-^G — g'sinp siny — g'cosp cosf cosAcosG . rentrée, j --/5'cospcosf sinAsinG.
Pour J Tj = T2-hG-t-^sinp'sin(p-+-g'COsp'cosflpcosA'cosG la sortie. ( -+- g'cos p' cos 9 sin A' sin G.
Pour ( D' = D H-g^sinp^sinf -f-^cosp*co8<pcosA*cosG la durée . j -+- g'' cos p* cos <p sin A* sin G.
On peut poser
^sinp = H, g'sinp' = H', g^8inp''= H",
^cosp cosA = H, , ^cosp'cos A' = H', , g^' cos P" cos A" = H'î , g'cosp sin A = H, ; g^cosP' sin A' = H', ; g^'cosp" sin A* = H*; ;
et l'on a alors, pour les contacts intérieurs, par exemple,
I Entrée. T, =T,— H 8in(ï/ — H, cosycosG — HjCOS^psinG-f-G. Sortie.. r, = T,H-H'sinf H-H',cos(pcosG-i-H',cosf sinGn-G. Durée . . D' = D -f- H'sinep-i- H'î cosf cosG h~H* cos<psinG.
Ayant déterminé les valeurs de H, H„ H, ; H', H', , H', ; H", H*;,
yGoogk
H^, ou même simplement leurs logarithmes et leurs signes, on pourra calculer facilement l'époque T', d'une phase pour un lieu dont la latitude boréale est y et la longitude orientale G, connaissant répoque T, de la môme phase, pour un observateur supposé au centre de la Terre.
D'après les formules (42), on voit que la différence de durée du passage, pour un observateur situé au centre de la Terre et un autre à sa surface, ne peut pas dépasser ig.
Pour un passage central on a évidemment 4^ = 0, et comme de la relation
/' = Il=» -f- P' -~ an? cos(r/'± d)
on peut poser approximativement
nous voyons que le minimum de la différence des durées du passage pour un lieu de la surface et pour le centre de la Terre est
à peu près égal à
c'est-à-dire au temps qu'il faut à Vénus pour parcourir sur sa trajectoire le double de la différence des parallaxes horizontales de Vénus et du Soleil. Comme n — P = aS" environ et que n est égal à 234", quand Vénus est voisine de sa conjonction inférieure, on trouve
25^= — = o^ig = ii"',4 environ.
Le maximum de cette différence de durée est i*'42" et se présenterait quand, Vénus décrivant une corde solaire de 408", pour un observateur situé au centre de la Terre , l'effet maximum de la parallaxe ferait seulement Vénus effleurer le disque du Soleil pour l'observateur qui, à ce moment, aurait le Soleil à l'horizon.
yGoogk
La flèche de Tare dont la corde est 408" est, en effet, de aS" environ, différence des parallaxes de Vénus et du Soleil.
On peut se proposer de chercher quelle peut être Finfluence, sur la détermination des heures des contacts obtenues par l'analyse précédente, l'influence des valeurs adoptées pour les parallaxes horizontales de Fénus et du Soleil, ou plutôt d'une erreur commise sur la parallaxe horizontale moyenne du Soleil.
Comme, aux moments des contacts, cos(f/'± d) est très-peu différent de i , nous pouvons écrire la première, par exemple, des relations (42)
(n— P)cosÇ
n cos]^
Si nous commettons une erreur d(n — P) sur la différence des parallaxes, l'erreur qui en résultera sur T, sera donnée par l'expression
' /ÎCOS^/ ^ "
dT', étant exprimé en secondes de temps.
En appelant p, et p^ les distances moyennes de Vénus et du Soleil à la Terre, dont le rayon est supposé égal à l'unité, nous aurons pour parallaxes horizontales moyennes, désignées par n, etPo,
Si p et p' sont les distances au moment de la phase considérée, on aura, pour la parallaxe horizontale à ce moment,
d'où
n = p.£i et P = Po^i p p
et par suite ou
d'où
on a donc
d(n-P).i£^); 36oo^çosÇ^-P
En calculant la valeur
36oo'cos^ ri~P n cos^^ Pj,
pour le cas considéré, on pourra voir Tinfluence, sur T, , d'une erreur dP^ commise dans la parallaxe horizontale moyenne du Soleil.
Le facteur K a généralement une valeur assez forte; par suite, une petite erreur commise dans la parallaxe solaire admise a une influence très-notable sur les heures des contacts.
Application,
Nous allons faire une application des formules que nous venons de donner et chercher Theure temps moyen du premier contact extérieur de Vénus, en 1874, sur le disque solaire, à \lle Amsterdam,
.^ . . ^, , ^ I Latitude 37^47' S = v.
Position d Amsterdam. < . . , , ..„ ^
I Longitude. . , 75°o5'E = G.
On a n = 33",9, P-=9",i, r/'H-c/-=i6'48'',3 = ioo8*,3.
yGoogk
Heure, temps moyen de Paris, correspondant au premier contact extérieur pour un observateur situé au centre de la Terre,
Calcul de ^ et /à l'aide des formules (35), donnant
nsin(^'-hrf)
cos^
logn=i3 1,5301997
logsin(rf'-h€/) = 3,6891627
CMogcos*= 2,1751791
log/= 1,3945415
On a
ncos(rf'-4-£/)-P
logn(33\9) = 1,5301997 logco8(rf'+rf) = 1,9999948 logncos(rf'-i-rf) = 1,5301945 ^cos(€/'-^-rf) = 33^9 P= 9">t 24", 8 log24,8= 1,3944517 CMogn = 2,4698003 CMogsin(rf'+rf) = 2,3108373
logtang* = 2, 1750893
d'où s = 90° 22' 58"
En calculant D et A pour Theure, temps moyen de Paris, correspondant à rinstant du premier contact extérieur considéré du centre de la Terre, nous trouvons
D = 22*»48'34" S et A = 255*»44'i".
Nous avons aussi trouvé
Pour calculer p et >, nous avons les formules (39), qui nous
donnent, en remplaçant M par S, que nous prendrons avec le
signe —,
. c ^ .. .. tangjsinScosy
tang7 = tang5cosS, tang(X-A)= ^^^^p^^)
log/= 1,3945415
eiog« = 3,6079856
CMogcosi]/ = 0,2421100
logg'= 7,2446371
yGoogk
et
cos,B:
11 vient alors
sin^sinS
~sin()i~A)'
logtang^ = 2, 1750893 — logcosS — T,8II5o69^logtang7=r 1,9865962 7--89«24'33'' D= -22.48.34
logtang5= 2,1750893
logsinS = 7,8817992
logcos7 = 2,0133347 CMogcos(D-h7) = 0,4224178
logtang(X— A) = 0,4926410
logsin5 = i,9999ï02-h
logsinS = 1 ,8817992 —
CMog8in(X — A) = 0,0213768 —
logcosp = 7,9030862 -f- P = 36° 52' 10* logcot37*47'=î 0,1 105786 — logcosi49°35'8''= 7,9357042 — logtang<ï>'= 0,0462828 <p'=48° 2' 50" P = 36.52.10
(^) Calculé approximativement par les formules de BesseK
yGoogk
ou
logsin(P + (p') = 7,9982885-h
logsinf= 7,7872317 —
C* log cos (p' = 0,1 748870 ■+■
logcos^= 1,960407 a logg = 7,2446371
logg'COsÇ= 1, 2060443
gco^K — — o,i6o3
-^cosÇ = -h o»* 9" 37* T,= 13.55. 19 G = 5. 0.20
d'où V,= 19.05.16 T. M. de Paris.
Nous pouvons aussi déterminer les logarithmes des coefficients H, H', H" des formules (43),
\ogg = 7,2446371 -h log^ = 7,2446371 -{-
log sinf = 7,7781467-1- Iogcosp = 7,9o3o852-t-
logH = 7;;;^^+ logcosA = 7^4^68229-^
logH'= 2, 5745462 -h
logg^ = 7, 244637 i-h log cos p = 7 , 9030862 -4logsinA.= 7,9839164 —
logH''-i,i3i6397-
On a donc
r, = T, -h G — (7 , 0227838) sin y
- (2 , 5745462) cosf cosG - (7 , i3i6397) cosf sinG.
yGoogk
(64) En appliquant cette formule à Ttle Amsterdam, on a
]ogsin<p = 1 ,787^317 logcosf = 7,8978103 1 , 02^7838 log cos G = T , 4 1 o6320
î,8.ooi55 2,5745462
log cos f— 7,8978103
logsinG =T,985ii25
-f-o, io34
0, io34o
o, i6o33 d'où correction = o** 9"* 37* T,= i3.55. 19 G = 5. 0.20
r= 19,05. 16 T. M. de Paris.
lY. — MÉTHODE POUR DÉTERMINER LA PARALLAXE HORIZONTALE
DU Soleil, par les passages de Vénus.
Méthode de Hallejr. — Reprenons la formule 34, page 4i, donnant la valeur de /', relative au premier contact intérieur. On a
yGoogk
Cette valeur /' représente la quantité à ajouter à l'époque T d'un contact relatif au centre de là Terre, pour l'avoir relativement à un lieu déterminé.
L'heure H, du premier contact intérieur, relativement au lieu considéré, sera alors donnée par la formule
H, = T,-HA.[À'(n-P)-(x-^')]
En considérant de la même manière le deuxième contact intérieur, en affectant de Tindice 3 les quantités affectées ici de l'indice 2, nous aurons, pour ce contact , relativement au même lieu,
En faisant la différence H3 — H, = I, nous aurons le temps mis par Vénus pour parcourir, relativement au lieu considéré, la corde solaire joignant les points des deux contacts intérieurs. On trouve, pour ces intervalles,
I=T3-T,-+.(n-P)[A3A"'- V-hB,/'-B3r] .
-(A3-A,)(x-x') + (B3-BJr-*-^ - -^^^-
Nous pouvons remarquer que les quatre derniers termes de sont, comme T^ et T,, indépendants de la position de Tobserva-
yGoogk
leur sur la surface de la Terre, puisque toutes ces quantités se rapportent à un observateur situé au centre du globe.
Un second observateur situé dans un autre lieu donnera une équation semblable
r=T3-T, + (n-P)(A3A^~A,Â'.+B,it'.-B3X^)
De ces deux relations on déduit, pour différence F— I des durées du passage relatives à chaque lieu,
H-B,(X-'-A'.)-B3(^''->î^)]; d'où Ton obtient
On voit donc que, si deux observateurs placés chacun dans un des lieux considérés observent avec exactitude les heures H^ et H, de chaque contact intérieur, on connaîtra, dans chaque lieu, l'intervalle I et r, et par suite I — T. Le dénominateur de l'expression (n — P) sera calculé à l'aide des formules (44), (45) et de celles données page 39, les éléments entrant dans ces formules ayant été déterminés pour les époques, temps moyen du premier méridien, qui conviennent aux contacts observés. On connaîtra donc de cette manière la différence (n— P) des parallaxes de Vénus et du Soleil. Comme, pour l'époque considérée, on connaît aussi, d'après les Tables du Soleil et de Vénus y le rapport entre le rayon vecteur r de l'orbite de Vénus, à ce moment ^ et le rayon R de l'orbite terrestre, on connaîtra le rapport des parallaxes par la relation
yGoogk
Connaissant P— TT et -r-^ on en déduira facilement les parallaxes P et n.
En posant
et
A,(A''-A«;)-A,(A'-//J4-B,{A'-A^.)-B3(X''-~X:) = M, on a
on trouve alors pour la parallaxe solaire
Si Ton commet sur la différence des intervalles une erreur d/, Terreur dP qui en résultera sur P sera donnée par la relation
ou
et par suite
dP ùi P "" z *
L'erreur relative sur P sera donc égale à Terreur relative sur /.
On voit donc que , pour obtenir la parallaxe solaire avec le plus d'approximation possible, // faut choisir les deux lieux de manière que la différence / soit maximum, en admettant que les •erreurs d'observation des contacts restent à peu près constantes.
Pour le passage de 1874, nous verrons plus loin que, pour des
yGoogk
stations convenablement choisies, / peut aller à 3o minutes ; si Ton commet sur i une erreur de lo secondes, on aura
dP jo^ j^ P ~ 3o» ~ i8o'
donc Terreur commise sur P sera la i8o* partie de la parallaxe P. En prenant 8', 86 pour cette parallaxe , Terreur sera plus petite que o",o5, c'est-à-dire im demi-dixième de seconde. Si T(m veut avoir cette approximation, il faut donc ne pas commettre une erreur de plus de lo secondes sur la différence des intervalles.
La méthode que nous venons d'indiquer est due à Halley^ célèbre astronome anglais, qui en eut la première idée en 1678, à Tâge de vingt-deux ans , lorsqu'il se trbuvait à Sainte- Hélène, occupé à déterminer les positions des étoiles voisines du pôle austral. L'observation d'un passage de Mercure, qu'il fit à cette époque, lui suggéra l'idée de sa méthode, qu'il publia, en 169 1, dans les Transactions philosophiques de la Société Royale de Londres.
En 17 16, il fît de nouveau paraître, dans le même Recueil, cette méthode avec tous les développements propres à en faire comprendre l'importance et l'utilité, si elle était appliquée à l'un des passages de Vénus. Il donna à ce sujet des indications sur la première application qu'on pourrait en faire en 176 1 lors du passage de cette planète sur le disque solaire.
Extension de la méthode de Halley, ou méthode de de l'Isle, — La méthode que nous venons de donner exige que, dans deux lieux du globe, choisis convenablement , on puisse observer le commencement et la fin du phénomène, c'est-à-dire qu'on puisse noter exactement les heures des contacts à l'entrée et à la sortie, afin d'avoir la durée I du passage.
D'après cette méthode, les lieux dans lesquels on ne peut observer qu'un des contacts, soit parce que, au moment de l'autre contact, le Soleil est au-dessous de l'horizon, ou parce qu'un
yGoogk
nuage empêche de voir cet astre, à ce moment, ne pouvaient être d'aucune utilité.
L'illustre de l'Isle, un des Membres les plus actifs de l'Académie des Sciences, au siècle dernier, comprit que, en raison de la parallaxe relative de Vénusy le passage de cet astre sur le disque solaire doit commencer ou finir plus tôt ou plus tard pour un observateur situé à la surface de la Terre que pour un autre qui serait supposé situé à son centre.
Pour venir alors en aide à la méthode de Halley^ il proposa, en 1753 , une méthode plus étendue, qui porte à juste titre son nom , et qui permet de faire servir à la détermination de la parallaxe solaire les heures des contacts, soit de Ventrée^ soit de la sortie^ observés dans deux lieux différents. Mais cette méthode exige, comme nous allons le voir, que la longitude de chaque station soit connue avec la plus grande exactitude, ce que ne demande pas la méthode de Halley,
Considérons les équations (4a), page 55, et soient T, l'heure, temps moyen d'un lieu, notée au moment du premier contact extérieur, par exemple, et G la longitude de ce lieu ; soient aussi T; l'heure, temps moyen d'un second lieu, notée dans ce lieu au moment du premier contact extérieur, et G' la longitude de ce second lieu. Si T, représente l'heure, temps moyen de Paris, relative au premier contact, pour un observateur qui serait situé au centre de la Terre, on aura, d'après les équations (4a),
TV=T, H-G — g'cosç, T'^T.-f-G'-g^cosÇ'.
Nous déduisons de là
r, - r; = G -~ G'+^(co8Ç'— cosq,
d'où
(r.~G)-(r,~GO
r cosi;'-- cosÇ
Les valeurs de cos^' et cosÇ, calculées au moyen de la for-
yGoogk
mule (4o), sont toujours connues avec une exactitude suflBsante, puisque les erreurs que l'on peut commettre sur G ou G' ne s'introduisent dans cette formule qu'avec des lignes trigonométriques. Or nous avons aussi trouvé
- iLzZ.
^ ~~ n COSrp *
on aura donc
^ ^ ;icos4.[(r.-G)~(r;^G-)]
cosç'— cosç
Cette équation permettra d'obtenir n — P, différence des parallaxes de Vénus et du Soleil , et par suite la parallaxe solaire. Avec la relation
Z IzlT- __ L li - K "^ tt'
on obtiendra en effet
i&n\ p / R \ 71 cos^p rCT. - G) - (t; ^ G-)]
147; ''-\r 7 cosî;'-cosÇ
Si les longitudes G et G' sont exactement connues, et si les heures T', et T; ont été notées avec précision^ on aura la valeur de P d'une manière suffisamment exacte. Si nous supposons une erreur commise sur le facteur
l'erreur qui en résultera sur P sera donnée par la relation
\r / cosC — cosÇ
Cette erreur sera d'autant plus petite que le dénominateur cosC^ cosÇ sera grand.
Il faut donc choisir les deux lieux de manière que cette quantité soit maximum, ce qui arrivera quand cosÇ' et cosÇ seront
yGoogk
(71 ) de signes contraires et auront leur valeur maximum. Il faudra donc choisir les deux lieux de telle sorte que Teffet de la parallaxe produise chez l'un une accélération maximum dans l'heure du contact, et chez l'autre, au contraire, un retard maximum.
Nous voyons que cette méthode exige la connaissance exacte des longitudes des deux lieux, ainsi que celle des états absolus et des marclies des pendules ou chronomètres servant à noter l'instant précis des contacts.
Méthode des équations de condition, — Puisque, d'après la remarque de de l'isle, l'effet de la parallaxe, ou plutôt de la différence des parallaxes de Vénus et du Soleil, se fait sentir dans les différents lieux de la surface de la Terre, par une accéléra-tion ou un retard dans les heures des contacts d^entrée ou de sortie, comparées à celles qui correspondent aux mêmes phénomènes supposés vus du centre de la Terre, on peut faire servir à la détermination de la parallaxe solaire toutes les heures notées dans les différents lieux du globe, soit au moment des contacts d^ entrée y soit au moment des contacts de sortie. Cette méthode, extension de la méthode de de l'isle, qui exige toujours l'exacte détermination des longitudes des stations d'observation, permet en outre de déterminer les erreurs des Tables relatives aux différences d'ascension droite des deux astres, aux différences de leur déclinaison et aussi de leur demi-diamètre.
Soient (/^. i3) :
P le pôle de la sphère céleste ; S le centre apparent du Soleil ; V celui de Vénus, au moment d'un contact.
Menons le parallèle W ; nous formons ainsi un petit triangle apparent SVV', que nous pouvons considérer comme rectiligne et qui donne
VV'='-f-SV'^=SV%
yGoogk
(7M ou, en conservant les notations dont nous avons fait usage jusqu^ici,
(48) (a'- A')* COS'^o -h (r^ jyy = (d' ±: d)\
^« étant égal à > d' -j- d convenant aux contacts exté-
rieurs etd' — d aux contacts intérieurs.
Comme les parallaxes d'ascension droite et de déclinaison sont de petites quantités, de plus, comme au moment des contacts les différences d'ascension droite et celles de déclinaison sont aussi très-petites, nous pouvons faire usage des formules (28) et (29], données précédemment, et y faire
D = <î = <î. = et A = a=a. = •
Nous avons trouvé
a' — a = n séc<î sin ( a — h^) cos<p , A'— A= PsécDsin(A— A,) cosy;
on déduit de là, d'après ce que nous venons d'admettre^
a'- A' = a — Ah- (H — P) cosfséc^, sin(a, — AJ.
yGoogk
( 73) La formule (29) nous donne, de la même manière,
^'~ D'= <î— D -i-(n — P) [cos<psin^. cos(a, - AJ — sinYCOS(îJ.
Si nous posons
cosy sin (a^ — AJ = /isinH,
I cosîp ces (a^ — AJ sin^„ — sin ^ cosiî^, = AcosH ,
équations qui permettent de trouver // et H, quand on a déterminé «0 » ^0 » ^^* ^t ? V^^^ l'instant du contact considéré, on aura
a'- A'= a — Ah- (n~P)//sinHséc^,, ^'D'= $ -D-^ (n~P)AcosH.
En substituant ces valeurs, dans l'équation (48), nous aurons
[(a -. A) -+- (n - P) AsinHséc^J'cos'^,
^ ' ' •■[((î-D)H-(n-P)/iCOsHp = (//'±r/)
Les quantités a, A, B, D, d\ d sont affectées d'erreurs dues aux Tables dans lesquelles elles sont prises ; de même n et P sont affectées d'erreurs dues à l'ignorance dans laquelle on se trouve encore de la vraie valeur de P.
Si nous représentons toutes ces erreurs par les notations suivantes :
da, dA, d^, dD, dn, dP, àd\ dr/,
et aussi par dG, l'erreur commise sur la longitude de la station, erreur qui en introduit de correspondantes dans la détermination de a, A, ^ et D à l'aide des Tables, l'équation (5o), si l'on suppose que a, A, ^, D, . . . sont les valeurs extraites des Tables,
yGoogk
(74 ) doit s'écrire, en ne supposant pas d'erreur sur séciî^, ni sur cos^^,,
fa -A -h (n-P)//sinHséc(î,-+-d(a-A)
-i-d(n~P)//sinHséc^,-f- ^^^ doTcos^t^e
-f p-D-f-(n-P)/icosH + d((î-D)
H-d(n~P)//cosH-+^ ^i^JZ^daT
Si l'on effectue les carrés indiqués, mais qu'on néglige les termes du second ordre et le produit des erreurs entre elles, on aura, en posant, pour abréger,
j B' = a — A -+- (n - P)/i sinH séc^,) ^^^^ I C' = (î- D-+-(^-P)/^cosH,
/ B'^cos'^, + C'^- (ddtdy
~2B'cos»^,d(a-A)-2(B7^sinHcos^,-^C'AcosH)d(^-P)
^''^ < .C'd(^ - D) - . [b' ÉifglA) cos^^. -. a fc5)] dG
^{d'dzd)d(d'±:d).
Nous pouvons remarquer que B' est la différence des ascensions droites apparentes, et que C est la différence des déclinaisons apparentes : on a donc
