COMPOSITION DES FORCES PARALLÈLES

'*'• Soient d'abord deux forces parallèles

P et Q (fig. 313), dirigées dans le même sens et appliquées aux points E et F de la droite £F. On ne cl^ngera rien à l'action de ces forces en appliquant aux points E et F, dans la direction de la droite E F et en sens opp4^é, eux forces égales Es, F«, qui se font équilibre; désignons-les par s : soit F A la résultante des forces Q et s, et EB celle des forces P et ». Les directions prolongées de ces deux résultantes se couperont en un poin^ K. Si ce point est lié Invariablement à la droite EF, il sera permis de Je prendre pour le point ^'dapplicatîon commun aux forces FA /v et EB (p. S6). Supposons cette con-

dition sati^aite et ces forces transportée^ en K; j^jais, décomposons-les, cbacune, en deux nouvelles forces, Tune parallèle à EF, l'autre suivant KR parallèle aux forces données. Les Jeux composantes parallèles à «^F^AsroBt égales^ ê et se détruiront; il restera les deux composantes

dernières droites sont égales, car elleft mesurent les hauteurs des deux triangles égaux dans lesquels la résultante partage le parallélogramme construit sur les composantes. Cela posé, les deux triangles rectangles BH A el AO» ont Tangle eu A commun ; par conséquent, ils sont semblables, et ils donnait la proportion AB ; ACT :: BH : On. Les deux triangles rectangles A €D et A Oit» sont de même semblables, et Ton a A^Ç : AO : : DC (ou son égal BH), ; Om. Ces deux proportions ayant les moyens égaux, leurs eitrimes donnent la proportion AB : AC :: O m : On, qui est pi'éeisément eelle qu'il s'agissait de démontrer.

COHPOStTlON DES FORGES PARALLÈLES.

suivant KR, qui sont égales Tune à Q, l'autre à P, et dirigées dans le même sens que ces deux forces. Leur résultante^ qui est égale à la somme de leurs intensités, sera la résultante R cherchée. Nous pouvons la supposer appliquée au point o où sa direction prolongée rencontre la droite E F.

Pour déterminer la position du point Oy menons par ce point la perpendiculaire commune mon aux directions des trois forces parallèles P, Q et R. Le principe des moments statiques (p. 62) étant indépendant de Tangle des deux forces composantes, il doit être applicable aux différents points de la résultante de deux forcés parallèles agissant dans le même sens. Par conséquent, puisque le point o appartient à la direction de la résultante R, nous devons avoir la proportion P : Q : : on : otn; mais, d'un autre côté, les deux triangles semblables oFn et oEm nous donnent oF : oE :: on: om, et, par suite, P : Q :: oF : oE.

On voit donc que la résultante de dçux forces parallèles et de même sens a une intensité égale à leur somme, qu'elle est parallèle à leur direction commune, et que son point d'application partage ladroiteE F qui joint les points d'application des composâmes en deux partie^ réciproquement proportionnelles à leurs inten^tés.Si les forcesPet Q syit^r exemple, TunedeTet l'autre de 5 kil., leur résultante sera égaleàlS kir, et pour trouver le point d'application de cette dernière force, il suffira de diviser la droite E F en 7 -j-S ou 12 parties égales j le point d'application cherché se trouvera à la 7' division de EF, à partir du poin|JB|à

\a Da^le cas où les deux for-"^ '^>JpK^^^ p « q sont de seiK^ontraire (fig. 314), larésultanteR ^st égale en intensité à leur différence, pardMète à leur direction, dirigée da^ le sens de la plus grande, eÈsonpqint d'application 0 se trouvé dà côté de cette defjiière force, audetà' de EF et à des distamis des Jt' points E et F qui sont entre

elles en raison inverse des intensités des composantes.

Soit P la plus grande des deux forces données. II est clair qu'on pcsqt toujours la décomposer en deux autres, parallèles et de même sens, l'une q égale à Q, appliquée en F, et l'autre R, égale à la différence entre P et Q, et appliquée en un certain point 0, dont la position

Fig. 314.

- Wl-

CENTRK DES FORCES PÀRALLiLBS. 65

satisfasse à la proportion P — Q : Q = F E : OE. Or, cette proportion donne, par une transformation très-simple, P : Q = OE : OE, ce qui est conforme à la dernière partie de dénoncé ci-dessus.

Pour donner une application de ce qui précède, supposons les forces P et Q, la première égale à S.kil. et la seconde à 3. La résultante sera' égale à 3 kil. Pour trouver son point d'application, nous partagerons la droite ËF en trois parties égales, et, après avoir prolongé cette droite au delà du point E, nous prendrons sur ce prolongement, à partir de ce même point, une longueur OE égale au double de chacun^ de ces parties. L'extrémité 0 de cette longueur sera évidemment le point d'application de la résultante des forces don-

11 peut arriver que les deux forces parallèles et de sens contraire soient égales en intensité; alors la résultante est égale à 0 et la proportion P—Q : Q=:FE : OE donne 0E= Q. FE : 0==àrinfini, ce qui veut dire qu'il n'y a pas de résultante unique. Un pareil système se nomme un couple. Deux semblables forces agissant aux extrémités d'une droite ËF (fîg. 314), la feront tourner autour de son milieu.

Nous avons vu un exemple remarquable de couple dans l'action que la terre exerce sur l'aiguille aimantée (voy. 1. 1, p. 160).

Lorsqu'un nombre quelconque de forces parallèles agissent sur un corps, on peut les composer entre elles par le même moyen que lors- ^ ^'il s'agit de forces de directions différentes appliquées en un même point (p. 61); c'est-à-dire que l'on combine d'abord une première force avec une seconde, puis la résultante de celles-ci avec une troisième, et ainsi de suite.

Si les forces données ne sont pas toutes dirigées dans le même sens, on cherche ordinairement les résultantes de celles qui sont dirigées I dans un même sens. On obtient ainsi deux résultantes partielles qu'on combine ensuite par la règle posée plus haut. Il pourra arriver que cçs deux résultantes partielles soient égales ; alors il n'y aura pas de résultante unique, et le système sera ramené à un couple. (H. V.)