FÉLIX ALCAN, ÉDITEUR

108, BOULEVARD SAINT -GERMAI N , 108

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LES PHILOSOPHES-GÉOMÈTRES DE L4 CiRÊCE

INTRODUCTION

Nous voulons essayer de montrer quelle fut sur les premiers penseurs grecs et particulièrement sur Platon Tinfluence de leur éducation mathématique. Personne ne doute de la trace profonde que peut laisser dans une âme humaine la culture intellectuelle qu'elle a reçue. Il est possible de retrouver dans les manifestations les plus diverses de l'activité psychique certaines empreintes ineffaçables , certaines tendances , certaines habitudes qu'y a laissées une éducation spéciale. Comment n'en serait-il pas ainsi en particulier pour un ordre d'idées si intéressant en lui-même, si original, dont on se sent ordinairement si fort éloigné ou rapproché par tempérament, qui nous laisse si peu indifférents en tout cas.^ Comment le fait, pour la plupart des philosophes grecs, de s'être adonnés à la géométrie et de l'avoir cultivée avec passion, n'aurait-il pas contribué à donner un aspect particulier à leur pensée ?

G. MiLiiAUD. — Philosophes- Géomètres. i

Avant d'entreprendre Tétude historique de leurs idées, pour y chercher précisément les marques de cette influence, posons-nous d'une manière générale, et en nous bornant aux grandes lignes, la question de savoir quelles directions principales peut imprimer à la réflexion philosophique le contact prolongé des sciences mathématiques.

Tout d'abord il paraît impossible que le géomètre ne garde pas quelque tendance dogmatique. La science, en énonçant une série toujours croissante de vérités, apporte évidemment, qu'on y réfléchisse ou non, l'argument le plus puissant contre le scepticisme. A cet égard, la mathématique joue un rôle spécial par l'évidence que revêtent toutes ses propositions, par la satisfaction complète que donnent ses démonstrations à notre soif de comprendre. Il y a la un domaine où s'exerce d'une façon idéale la pensée en quête de clarté, d'évidence, de lumière. Partout ailleurs, la discussion est permise sur le droit de proclamer comme certaine une vérité qu'on énonce, et l'accord est lent à se faire sur la valeur et la légitimité de chaque connaissance : en mathématique, il n'en est pas ainsi. Si, pour le choix des axiomes, on se livre volontiers à des recherches philosophiques dont les conclusions varient, au fond il n'est personne qui songe à abandonner les postulats de la géométrie ancienne, et, en tout cas, la question ne se fût même pas posée pour les Grecs.

Quant aux démonstrations, il semble impossible que deux esprits, si différents qu'ils soient, ne s'accordent bien vite, on écartant au besoin quelque malentendu facile à dénoncer, sur la rigueur du raisonnement, et par conséquent sur la rigueur des conclusions. Que Ton en ait conscience ou non, l'habitude d'un pareil mouvement de pensée crée une confiance naïve en la puissance de notre entendement, et ce sera miracle si le philosophe géomètre n'en témoigne pas par quelque endroit, apportant parfois sous les conceptions les plus pénétrantes un dogmatisme qui déconcerte. Sans parler des Grecs, dont il sera particulièrement question dans notre étude, — Descartes, Malebranche, Leibniz, Aug. Comte, M. Reriouvier, ne sont-ils pas là pour justifier notre assertion .^^ Pour Descartes, personne n'a pu croire que son doute ait eu, ne fût-ce qu'un instant, la moindre réalité. C'est quelque peu dénaturer les choses que de rapprocher ce doute de celui du savant, qui, ne faisant que soupçonner une hypothèse, attend véritablement pour s'y rallier d'en recevoir une confirmation sérieuse. Descartes n'a pas cessé de croire avec la dernière énergie à toutes les conclusions où devait le conduire sa méthode. Et de plus voyez la confiance qu'il a dans cette méthode. Ce n'est pas seulement quelques problèmes de mathématiques, quelques questions de dioptrique ou de mécanique qu'il veut mener à bien, c'est toute la métaphysique, toute la physique, toute la médecine,.

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le système intégral des connaissances humaines qu'il se propose de reconstituer, s'il en a seulement le temps, sur des fondements solides et définitifs. Malebranche et Leibniz, par leur dogmatisme métaphysique, rappellent l'audace d'un Platon. Aug. Comte est loin d'échapper à cette loi. Qui ne serait frappé du ton si naïvement confiant qu'il prend, soit pour marquer les limites précises où s'arrête la connaissance dans tout ordre de questions, et pour rejeter d'avance toute tentative de changer trop radicalement ce qui est déjà constitué, soit pour attribuer au système de connaissances scientifiques déjà acquises le pouvoir d'organiser immédiatement la société elle-même sur des bases inébranlables, soit enfin pour prescrire, une fois la société organisée, la soumission de tous à celui ou à ceux qui détiendront la direction rationnelle de l'humanité. Ce n'est pas seulement au scepticisme que s'oppose le dogmatisme de Comte, c'est même à l'esprit de libre examen. Enfin M. Renouvier, en dépit de sa profondeur de pensée, et de son sens critique si élevé, ne donne-t-il pas l'exemple du dogmatisme le plus naïf, quand, au nom de sa loi du nombre, il démontre péremptoirement en quelques mots que le monde a . commencé, que l'univers est limité, que la matière est formée d'atomes, répondant ainsi définitivement par la réflexion d'un instant à quelques-unes des plus graves questions que depuis tan f de siècles l'humanité se pose ^

Après le dogmatisme, Tidéalisme. , — Ce serait une banalité d'insister sur ce que le géomètre ne va pas prendre dans le monde concret qui l'entoure les objets mêmes de ses études. Ses figures sont distinctes des choses sensibles, puisque toute qualité matérielle en est exemple. Si, pour les tracer, il faut bien leur donner une forme, une épaisseur, une couleur, personne ne s'y trompe : l'objet propre du géomètre est dégagé par hypothèse de tous ces caractères saisissables par les organes des sens. Mais il y a plus, si les choses qu'étudie le mathématicien sont différentes de celles qui composent le monde sensible, elles n'en sont pas non plus dégagées par des opérations logiques qui se contenteraient de séparer certains caractères pour ne conserver que certains autres ; elles ne sont pas fournies par un simple procédé d'abstraction ou de généralisation. Le cercle du géomètre, qui ne se confond avec aucun rond en bois ou en métal, n'est pas non plus le rond abstrait qui pourrait s'en tirer par effacement de la couleur, de l'épaisseur, de la matière qui le constitue, et se réduire à un contour idéal infiniment mince. Certes s'il en était ainsi, il serait permis déjà d'affirmer qu'on se trouve à une distance bien grande des premières impressions sensibles : en particulier cette vue d'infinie minceur, à laquelle on parviendrait en pous-

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sant jusqu'à son extrême limite la diminution progressive d'une épaisseur, impliquerait de la part de Tesprit une certaine spontanéité originale qui en fin de compte n'autoriserait pas à dire de l'image ainsi formée qu'elle est simplement extraite de la sensation. Mais pourtant celle-ci serait bien le point de départ du chemin qui y conduit, et ce chemin ne présenterait ni lacune ni interruption depuis son origine jusqu'au terme où il aboutirait, depuis la représentation concrète jusqu'à l'image géométrique. Pour n'être pas identique au monde des sens, le champ où s'exerce la pensée mathématique n'en serait pas séparé. En fait la distance est plus grande encore de la notion du géomètre au contenu primitif de la perception, et ce n'est pas seulement une différence de degré qui peut en rendre compte. Pour parvenir à cette notion, l'esprit doit procéder par un acte spontané à une sorte de création. Les images fournies par une intuition, qui s'est peutêtre simplement dégagée d'une expérience continue, peuvent le guider plus ou moins, il ne les accepte pas telles qu'elles s'offrent à lui, il veut y substituer ses propres constructions. Et, dans son effort incessant pour s'attacher, dans les choses mathématiques, à une sorte d'essence intelhgible, pour s'éloigner de tout ce qui est confus, de tout ce dont il ne pourrait rendre un compte suffisant aux yeux de la raison, ce n'est pas seulement du monde sensible qu'il se sépare, c'est dç

tout ce qui le rappelle a quelque degré : c'est de toute qualité concrète, intuitive, qu'il cherche à se dégager, essayant d'atteindre à des concepts qui reçoivent tout leur être du mouvement de la pensée. Sans doute le géomètre n'y réussit jamais qu'imparfaitement, et vise par de semblables efforts un but toujours inaccessible ; mais, qu'il en ait conscience ou non, la préoccupation de l'atteindre accompagne toujours sa réflexion. Il devine instinctivement que c'est là pour lui la condition de cette intelligibilité parfaite, de cette rigueur idéale qui est le cachet de la science ; et en même temps il sent qu'en allégeant ainsi l'objet de ses études de tout ce qui apporte, avec les qualités concrètes de l'intuition sensible, des conditions spéciales et restrictives, il renverse plus aisément les obstacles, accélère sa marche, donne des ailes à sa pensée. Intelligibilité et étonnante facilité du progrès, voilà les caractères miraculeusement associés par la mathématique grâce à Vidée que seule et toute pure veut manier le géomètre. Comment ne s'habituerait-il pas ainsi à mettre au-dessus du monde sensible le monde de l'idée, comment surtout n'en garderait-il pas quelque tendance à s'élever vers le second, comme réalisant les conditions suprêmes de la connaissance la plus parfaite ?

L'histoire de la philosophie grecque n'est qu'une longue confirmation de cette remarque. A mesure que naît et sç développe la géométrie rationnelle, s'accentue

aussi le rationalisme de la pensée réfléchie, et, de Thaïes à Platon, le progrès de la mathématique peut presque servir de mesure au progrès de l'idéalisme. Mais laissons les Grecs, et, pour ne remonter qu'au xvu* siècle, à Tépoque où la géométrie renaît avec tant d'éclat. Descartes, Malebranche, Leibniz, ne donnent-ils pas l'exemple le plus édifiant ? Les deux premiers ne sontils pas avant tout des philosophes de l'idée claire, de l'essence intelligible? Dans tous les domaines de la connaissance Descartes veut que certaines notions absolues, premières, intelligibles d'elles-mêmes, servent de point de départ au mouvement de la pensée ; rexpériencc lui paraît utile seulement lorsque l'esprit, en vertu de sa fécondité, surpris par la multiplicité des voies qu'il vient d'entrouvrir, se demande quelle est celle de la réalité. Malebranche renouvelle Platon et veut voir dans l'idée une parcelle de l'entendement divin saisie dans une intuition immédiate. Leibniz ne sépare pas radicalement le monde de la sensibilité confuse et celui de ridée claire, mais l'évolution de la monade n'a pas d'autre but que de faire tendre l'un vers l'autre, et de transformer à la limite, c'est-à-dire dans l'entendement de Dieu, les raisons des réalités contingentes en nécessités intelligibles. Dans notre siècle, Aug. Comte semble tout d'abord une exception. Etudié de plus 23rès, il donne au contraire toutes les marques d'un idéalisme inconscient, par la séparation radicale qu'il veut faire

entre la théorie et Tapplication, quand il classe les sciences proprement dites, et par l'importance qu'il attribue dans sa philosophie scientifique à la connaissance rationnelle.

Si d'une manière générale un esprit qui a reçu une culture mathématique profonde se trouve assez naturellement attiré par l'idée, et frappé du rôle qu'elle peut jouer dans notre activité intellectuelle, ne se demanderat-il pas aussi ce qu'elle vaut en elle-même? Tous les caractères par lesquels la notion géométrique se sépare du monde concret qui nous entoure tendent peut-être à nous faire grossir la Hgne de démarcation entre les choses sensibles et les concepts. La science parfaite va donc se développer en dehors des objets qui forment la réalité visible et tangible.^ Le géomètre pose à tout instant une définition nouvelle, il semble l'établir comme par un décret de sa pensée : n'aura-t-il pas l'impression que son imagination créatrice va peupler la science de ses chimères.^ — Ce qui paraît certain, c'est que cette impression, pour se produire avec quelque netteté, et conduire le géomètre, ne fût-ce qu'un moment, a séparer vraiment ses idées de la réalité des choses, demande une maturité d'esprit qui manquait aux premiers philosophes grecs. Un jour viendra, mais seulement à partir du xvii" siècle, où il conviendra de chercher la

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part de l'éducation mathématique dans la tendance à saisir le caractère subjectif et formel de la pensée ; et ce sera tin des côtés par où la philosophie moderne nous intéressera particulièrement depuis Descartès jusqu'à Kant et au néocriticisme, en passant par Malebranche, Berkeley et Hume. Mais, à considérer des temps plus anciens, où pouvait aboutir Tidéalisme de la géométrie rationnelle? D'une part c'était lui manifestement qui faisait de la géométrie une science parfaite, rigoureuse : l'idée, c'était la fixité, l'immutabilité, l'essence éternelle, claire, intelligible, au lieu de la confusion, delà diversité, de l'obscurité, et de la contradiction même des choses sensibles. Grâce à elle, des propositions étaient énoncées que devaient nécessairement comprendre et approuver tous les hommes ; grâce a elle, le vrai était victorieusement atteint et proclamé, -^ le vrai, c'est-à-dire bien entendu, pour les Grecs, le réel. Mais ensuite et surtout, cette science rationnelle qui se constitue et progresse par ses notions définies, par ses êtres conceptuels, nombres et idées, cette science n'obhge pas le savant à s'isoler du monde de la vie et des sens. Bien au contraire, les êtres idéaux qu'elle l'aniène à considérer ont cela de remarquable que toutes les relations claires et précises qui les relient entre eux s'appliquent du même coup aux choses sensibles. Essayez de calculer, par une construction théorique, la distance où vous ôtesd^un point inaccessible, ^u la haii-

M.lTHÈVfATIQUE' ET PHILOSOPHIE ! Il:

teurd'uri édifiae, sans voiis élever /jusqu'au faîte ;'me-'> surez, en utilisant les propriétés des surfaces et des solides géométriques, Taire d'un champ circulaire, le volume de ce cylindre en métal ; appliquez le. théorème de l'hypoténuse à la construction d'un angle droit sur le terrain, en partageant une corde en trois mor-; ceaùx dont les longueurs soient entre elles comme les: rioiïïbres 3, 4, 5.. ; bref, projetez sans hésitation dans: le monde imparfait des sens tous les éléments de la pensée mathématique, et une vérification de tous les; instants, un accord permanent de tous les détails dont) l'ensemble forme la trame de la vie courante, empêcheront de songer à une séparation réelle entre ces deux mondes distincts. 11 y a plus : la géométrie s'applique avec succès à une foule de choses qui tout d'abord peuvent en paraître plus ou moins éloignées. Elle donne le secret des mouvements des astres, et permet de constituer déjà, avec la sphérique des anciens, une astronomie théorique ; les nombres et les proportions permettent, avec les Pythagoriciens, de formuler les lois des accords musicaux. Il semble que, loin de former Un domaine isolé ou perdu dans les hauteurs de la pensée, Ja m'athérnatique rationnelle apporte avec clle,. partout où elle pénètre, la lumière, la clarté, la connaissance la plus rigoureuse et la plus sûre. Comment ne pas songer qu'elle atteint véritablement l'essence profonde des choses .^ et, défait, c'est aune afBrmatiou

de ce genre qu'aboutit chez les Grecs la double tendance dogmatique et idéaliste. La connaissance se fait parles idées auxquelles s'élève Tintelligence humaine, donc elles sont la réalité même, elles sont ce qui existe le plus véritablement, elles sont Tessence immuable des choses. Depuis le temps des premiers Pythagoriciens, on pourrait croire que la réflexion a définitivement ruiné cette concej^tion naïve : il ne serait pourtant pas diflicile d'en trouver des traces chez quelques penseurs de ce siècle, et particulièrement cliez ceux, comme M. Rcnouvier et Aug. Comte, qui se distinguent par l'éducation mathématique de leur esprit. Le premier ne nous fait-il pas assister à une renaissance du py thagorisme lui-même par son alïîrmation de la loi du nombre, — le second, pour expliquer le caractère positif de la connaissance rationnelle, et particulièrement de la géométrie et de la dynamique, n'at-il pas une tendance à voir les concepts utiles réalisés dans la nature ?

Mais si ces considérations générales visent surtout les Grecs, comment expliquer l'attitude d'un Protagoras, d'un Pyrrhon ou d'un Carnéade, qui semblent avoir pris plaisir à accumuler les arguments les plus sérieux contre la science humaine.^

Tout d'abord il convient de distinguer ceux, comme

MATHÉMATIQUE ET PHILOSOPHIE l3

Pyrrhon , dont il est difRcile d'affirmer qu'ils se soient positivement élevés contre la possibilité de la connaissance. On sait' que la tradition relative à son scepticisme ne commence guère qu'au ii® siècle de notre ère avec Aristoclès, dont Eusèbe nous a conservé quelques fragments, et se précise surtout avec Diogène Laërce et Sextus Empiricus au siècle suivant. A en juger, au contraire, parle témoignage de Cicéron, Pyrrhon semble avoir été préoccupé uniquement de la question du souverain bien. Il est alors si naturel d'entendre dans un sens pratique, relatif à la conduite de la vie et non pas à la valeur logique de la connaissance, la plupart des formules qui accompagnent son nom dans la tradition sceptique: ovêev iixklov ^ zi[ix}Xov,o\jdkv ope'Çw, «TràSeta, oc$ty.rfofiix, . . Pyrrhon avait voyagé en Asie, à la suite d'Alexandre, et y avait connu les gymnosophistes ; comme ces sages indiens, il refusait toute importance aux accidents de la vie humaine ; l'idéal à ses yeux était l'indifférence à l'égard de tout, l'absence d'émotion, l'apathie. Il n'eût pas dit : La science est impossible, la raison humaine est impuissante à rien connaître ; mais bien plutôt : je refuse de m'intéresser à la science, et à tout ce qu'elle me ferait connaître. Une semblable attitude ne doit pas se confondre avec le vrai scepticisme, dont elle n'a que l'apparence extérieure.