Géom. grecque, p
parties égales au point D ; en C on élève à AC, dans la direction opposée à AB, la perpendiculaire CE jusqu'à sa rencontre en E avec la droite B D. La longueur CE que l'on mesure sera égale à la longueur cherchée. »
La justification d'un pareil procédé suppose bien connue l'égalité de deux triangles qui ont un côté égal adjacent à deux angles égaux ; mais il y a plus, le procédé repose en outre sur ce que les angles opposés par le sommet sont égaux. Or c'est là une des connaissances attribuées à Thaïes par les fragments de Proclus; et la façon même dont s'exprime celui-ci a une importance significative : « Thaïes a découvert ce théorème, dit-il, mais c'est Euclide qui l'a démontré. » Ce n'est pas non plus par ce théorème une préoccupation théorique qu'on veut attribuer à Thaïes. Comme le précédent, il est mentionné parce qu'il se rattache à un problème pratique. Tout, jusqu'aux expressions employées, confirme d'ailleurs ce caractère semi-spéculatif, semi-pratique des recherches de Thaïes ; ôpto;, semblable, était employé pour 'l<70^, égal : la nécessité n'apparaissait pas encore de désigner par des mots différents ces deux concepts si nettement distincts pour le géomètre, l'égalité et la similitude.
Quelques autres témoignages pourraient, il est vrai, présenter ces premières recherches sous un aspect plus désintéressé. Proclus dit, par exemple, que Thaïes démontra l'égalité des deux portions en lesquelles on
divise le cercle\ mais faut-il prendre cette affirmation au sérieux ? Ce n*est pas même là un théorème d'Euclide; dans les Eléments, cette proposition est mise au nombre 'des définitions. D'autre part Pamphila, d'après Diogène Laerce, aurait désigné Thaïes comme ayant le premier inscrit le triangle rectangle dans un cercle. Il s'agit évidemment de cette propriété que les angles inscrits dans un demi-cercle sont droits. Les historiens des mathématiques, M. Cantor, par exemple, ont généralement conclu de ce témoignage de Pamphila à la connaissance chez Thaïes de la valeur de la somme des angles d'un triangle. Eudème en attribue il est vrai la démonstration aux Pythagoriciens, mais un passage de Geminus, suivant lequel l'étude du cas général a été précédée de celle de quelques cas particuliers, a laissé croire que les cas praticuliers ont été le fait de Thaïes. C'est là une opinion qui n'est rien moins que fondée, et, quant au théorème de l'angle droit, inscrit dans un demi-cercle, il n'exige pas théoriquement, pour être établi, la connaissance de la somme des angles d'un triangle. — Enfin Plutarque prétend que Thaïes aurait mesuré la hauteur des pyramides d'après leur ombre comparée à celle d'un bâton. En réalité, le problème attribué à Thaïes par une tradition plus ancienne est plus simple. Diogène Laerce
