INTRODUCTION

Dans ie courant de Tannée 1878, aussitôt qu*il m'a été possible de prendre connaissance de la teneur du curieux papyrus égyptien que M. Eisenlohr a publié et traduit sous le titre de Ein mathematisches Handbach der alten Mgypter, je m*étais empressé de communiquer à la Société mathématique de France ^ un aperçu sommaire des questions intéressantes pour Thistoire des mathématiques qui sont traitées dans ce précieux document. Je me proposais alors de faire de ce monument, jusqu'ici unique, une étude complète et détaillée, et de présenter mon travail, à la fois philologique et mathématique, au jugement de mes doctes collègues de la Société asiatique. Une pareille étude , portant sur le livre entier, devait nécessairement demander un temps fort long; mais rien ne me pressait , pensais-je , car la science n*a pas d'actualité ,

* Sur un Manuel da calculateur, découvert dans un papyrus égyptien , au Bulletin de la Société mathématique de France, t. VI, 1878, p. iSg et suiv. J'ai rajouté aux tirages à part des planches reproduites par décalque à la lumière.

J. As. Extrait n' 8.(1881.) 1

et je croyais de mon devoir d'accumuler lentement les matériaux nécessaires pour me former un jugement sain sur les méthodes , les idées , la terminologie du calculateur égyptien , afin de rectifier à coup sûr certains points pour lesquels il m'avait semblé, dès la première lecture, que M. Eisenlohr n*avait pas trouvé la véritable interprétation. J'avai^ aperçu dans certains procédés de notre papyrus f origine et partant l'explication de méthodes, de manières de voir qui nous semblent étranges aujourd'hui et qui avaient cours soit chez les Grecs, soit dans TEcole arabe et chez les premiers mathématiciens d'Europe, disciples plus otl moins directs de cette dernière. Ainsi, si les Traités d'arithmétique jusqu'au xvi" siècle ont l'ait de la duplication et de la dirmâiation des opérations spéciales, distinctes de la multipUcfition et de la cfcvwiofi*, j'en voyais la raison dans la pratique égyptienne qui ne sait multiplier qu'au moyen de duplications successives*. Si les Grecs (je ne parle pas de Dioplianle) n'avaient de notation que pour les fractions dont le numérateur est l'unité, et si Héron d'Alexandrie transforme ses nombres fractionnaires en sommes de fractions simples à numérateur 1 ^> j'y voyais le souvenir des transformations analogues

^ Quelques écrivains de la fin du moyen âge commençaient à trouver cette distinction peu justifiée. L'habitant de Pamiers (qui ne nous adonné ni son nom ni son âge), auteur «d*un breu compendi del art dei Aigorisme (que foc naturai de vida, et foc trop sant home et .discret / e maystre en quatre sdencias)» contenu dans le ms. n** AiAo» fonds français, nouvelle acquisition de la Bibliothèque nationale, dit à la fin de son chapitre de la division (lo partir, lo partiment) : «Ddi doblar nj del mediar, dels quais alcuns ni3 fan capilol exprès, yeu no ne fatz cap despedal. Car doblar /es m^ltiplicar per a /. et mediar es partir per a/. Et per so non son pas capitois aixi com liom ditz. »

* Voyez mon Etude précitée, p. 189 (p. i du tirage à part).

' Voyez ibid,, p. /^a (p. ^ du tirage à part). La ressemblance des deux systèmes est poussée si loin que Héron admet aussi, comme Aahmesa (l'auteur de notre papyrus), | comme fraction simple. M. Hultsch, danà son édition, écrit cette fraction oj' : dans les manuscrits que j*ai eus entre les mains, la figure employée est plutôt m (qa m de roo^iu retq^mé) ^u dernier jambage de laquelle s'attache le trait noueux qui remplace le double liccent pour marquer les fractions.

qu\>père constamment Tauteur de notre papyrus , qui a consacré tout son premier chapitre a montrer comment ces transformations se doivent opérer pour toute fraction à numérateur a et à dénominateur impair; et Texpression même dont il est fait usage pour prescrire cette transformation,

'"'^ \ P ^t 1 1 flIB ^""^ n " " nas 2 sent Î7 « exprime ou prononce 2 entre 1 7 » par exemple , m'avait paru pouvoir donner la clef de cette idée bizarre , que nous retrouvons chez les Arabes et chez leur disciple Aben-Ezra, cjue des fractions telles que ir ^^ *!j^l a « 5 parties de 12 » pour -—, *î^I /pp ^ ,i^| ro « a5 parties de i44» (AJ-Khârizmi); j^D D'»p'?n h «8 parties de i3» pour -pj-, t^D D^p^yn ^ « 10 parties de 17» pour -ff (Aben-Ezra) sont des fractions «irrationnelles», ^t, synonyme de âXoyoç, mot à mot « qu'on ne peut dire » Sdv Hbv ana NDsS mx, comme s'exprime à leur sujet Aben-Ezra. Pareillement , dans ce premier chapitre (et autre part encore) , le détail des calculs amenant à la transformation est annoncé

par 1 V ^ semt ou smot, cmot que M. Eisenlohr traduit par t Ausrechnung ». Mais ce mot n'est qu'une des variantes

de P^^l» P J^xî' P^î' Jl'lll^î' P^ «ressemblance, similitude, effigie « image, figure, forme» (Pierret d'après Brugsch), et par conséquent nous avons ici le prototype du mixn nOO n^ni précédant la proportion d'Aben-Ezra citée plus loin, ou du 9^yo ^^JS qui précède constamment tous les tableaux de calcul dans les traités d'arithmétique persans. Si jusque dans ces détails minimes (et il- en est d'autres encore que je passe sous silence ici pour en reparler ailleurs) je trouvais à faire des rapprochements au moins curieux, j'étais autorisé à penser, je crois , que sur des points plus sérieux, plus importants, je rencontrerais encore des comparaisons ayant quelque valeur historique. Le travail que j'offre aujourd'hui au public fera voir que je ne me trompais pas. Voilà pourquoi , je le répète , je croyais ne pas devoir me presser.

Mais rapparition , au mois d'octobre dernier, du preidier volume des Vorlesungen zur Geschichte der Mathematik de M. Cantor est venue modifier ma manière de voir à ce sujet. Je savais ce livre composé avec Je plus grand soin ; je savais que Fauteur, pour le mettre au courant des plus récentes découvertes de Tarchéologie , ne s'était pas contenté de s'entourer de toutes îes publications pouvant toucher de près ou de loin à l'histoire de la science qui l'intéressait, mais s'élait encore mis en correspondance directe avec les travailleurs, même les plus humbles, pour obtenir d'eux des renseignements encore inédits dont il pût enrichir son œuvre; et une lecture rapide, au reçu du livre, m'avait convaincu que le savant professeur d'Heidelberg avait largement fait profiter le public des richesses scientifiques qu'il avait ainsi accumulées, et très judicieusement coordonnées et interprétées. Aussi, désireux de voir un livre d'un pareil mérite mis à la portée de tous les travailleurs, dont beaucoup ne lisent pas assez couramment la langue allemande pour pouvoir le feuilleter et y chercher les précieux documents qu'il renferme en si grande abondance, me suis-je empressé d'en entreprendre une traduction en français et ai-je commencé naturellement cette traduction par le premier chapitre dans lequel M. Cantor expose les résultats du déchiffrement du Manvbel du calcalateur égyptien , ainsi que les notions que ce curieux papyrus nous a fournies sur l'état des connaissances arithmétiques et géométriques des contemporains de son auteur. Mais je fus bientôt arrêté dans mon travail : je m'aperçus en effet avec douleur que M. Cantor, regardant trop tôt comme définitivement acquis les résultats d'un premier déchiffrement, d'une première élude de ce document, présentait les méthodes de l'auteur du papyrus , ses procédés de calcul, ses notions scientifiques sous un jour qui ne me paraissait pas conforme au texte même du Manuel égyptien. Il faisait penser et agir un écrivain du xvin' siècle avant notre ère (car telle parait être définitivement la date à laquelle il faut faire remonter notre papyrus) beaucoup trop

comme nous pensons et agissons aujourd'hui. 11 m'a , dès lors , paru urgent de ne pas laisser se répandre et s*accréditer comme vérités historiques, sur Tautorité du savant professeur, des doctrines erronées donnant une idée complètement fausse de Tétat de la science mathématique à ces époques reculées. J*ai donc décidé de soumettre au public les résultats partiels de mes études à mesure que je pourrais en obtenir. Aussi bien une séné d*at*ticies de peu d*étendue rend souven^; à la science plus de services qu'un gros livre qui, long et difficile à publier, est aussi difficile à se procurer et long à étudier. A chaque mémoire particulier, lattention des hommes de science est mise en éveil : on peut ainsi provoquer des études de toute sorte de la part des gens compétents, recherches philologiques ayant pour but de préciser le s«ns d*un mot resté obscur, rapprochements historiques propres à faire envisager telle et telle question particulière sous un jour nouveau, etc., le tout pour le plus grand profil de la science qui fait ainsi de plus rapides progrès.

J'étudierai dans le présent article les problèmes que M. Gantor appelle «Calculs de kaan^ Hau-Bechnang , en se servant du mot égyptien par lequel notre scribe désigne r« inconnue » du problème. MM. Ëisenlohr et Cantor ont cru y voir l'origine de l'algèbre, et ce dernier expose la suite des calculs de Fauteur égyptien , de façon à justifier cette opinion. Pour ma part, après une étude très approfondie des chiffres et des explications qui les accompagnent quelquefois , je ne puis y voir que le procédé de la fausse position [falscher Ansatz)^ procédé purement arithmétique, dont M. Canlor a bien reconnu Tapplicalion à d'autres problèmes du papyrus (v. Vorlesungens p. 36), mais dont il attribue la codification aux Indiens (v. p. ^og, 524 et 626). Je me propose de démontrer, par une analyse minutieuse des calculs d'Aahmesu , que celui-ci pratiquait déjà le procédé d'une façon tout aussi méthodique qu on l'a pu faire plus tard. En outre , analysant de la même manière le chapitre précédent, appelé par M. Cantor « Calculs de Seqem », je ferai voir que ce chapitre

n*est précisément que Texposé de la règle générale à suivre dans ce procédé de Ibl fausse position, exposé qui se compose d*un théorème et de quelques applications destinées à faire voir comment on doit opérer.

Chemin faisant, je chercherai à fixer la valeur exacte des expressions qui composent la terminologie de notre auteur, et à bien faire saisir les procédés primitifs à Taide desquels il obtenait les résultats auxquels nous arrivons par la multiplication et la division, opérations qu'il ne savait pas encore faire.

Je tiens beaucoup , en terminant cette introduction , à insister sur un point : dans ce qui va suivre, ayant à réfuter certains passages du livre de M. Cantor, je serai bien obligé d'employer le langage de la critique et de traiter d'inexactes, d'interprétées à faux, etc., certaines manières de présenter les questions que je me propose justement de remplacer par d'autres. Mais ces critiques ne s'adressent qu*aux conclusions qu'U a tirées de résultats encore imparfaits d'un déchiffrement qu'il n'a pas fait lui-même ; ces imperfections de détail ne m'empêchent pas d'avoir en très haute estime le talent du docte professeur d'Heidelberg, et de continuer à penser que ses « Leçons d'histoire des mathématiques » constituent un ouvrage de premier mérite que j'ai le plus grand désir de voir bientôt traduit, même tel qu'il est, dans notre langue, afin qu'il puisse devenir le vade-mecum de quiconque .s'intéresse à rhistoire des mathématiques.

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