AUTREMENT DITS SEGHOM, CG€DIA

Voici en quels termes M. Cantor [Vorlesangen , I, p. 3o) définit ces problèmes:

«Les calculs de Seqem portent sur des compléments par multiplication ou par addition , c est-à-dire que dans les premiers exemples (il y en a 17) on enseigne par quoi il faut multiplier un nombre , composé soit de fractions seules , soit d'entiers avec fractions , pour lui faire atteindre une valeur déterminée ; dans les autres, on enseigne combien il faut ajouter à un nombre donné, de même nature que les précédents, pour obtenir une somme donnée. Nous pourrions dire plus brièvement : on y divise un nombre donné par un autre , ou l'on retranche celui-ci de celui-là, si cette manière de s'exprimer ne présentait sous un jour absolument faux et le but et la manière d'opérer de l'Égyptien. »

M. Eisenlohr, moins tranchant, s'était contenté de dire (p. 53) : «Dans les n* y à 20, on entend par Seqem l'opération qui consiste à compléter une fraction simple ou composée, en ajoutant ensemble des midtiples de cette fraction , de façon à obtenir un entier ou une fraction simple; dans les n**' 21 à aS , c'est l'opération qui consiste à compléter des fractions données, au moyen d'autres fractions indépendantes des premières, de façon à obtenir un entier ou une fraction [déterminés}. >>

Ce qu'il y a de vrai dans ces définitions, cest qu* il est traite dans ce chapitre de deux choses différentes dont la distinction est établie par l'auteur égyptien lui-même, ainsi qu'on peut s*en convaincre en jetant les yeux sur les fac-similés ci-après. En effél, les quatorze premiers calculs (je ne dis pas a problèmes» à dessein) sont inscrits les uns à la suite des autres dans une seule colonne du papyrus (ils ne conunencent quau second compartiment de cette colonne), sans aucune explication verbale pour les accompagner et avec le simple titre général

ap . en seghom-t « chapitre ^ de l'opération * du seghom , »

^ M. ËisenloLr a traduit partout ^\ par cVorschrif^», ce qui oblige M. Gantor (p. ao) à faire cette réflexion tr^s judicieuse : t précepte pour arriver à ia connaissance de toutes choses obscures

Précepte pour compléter une somme Précepte pour calculer

un grenier rond Précepte pour calculer les champs Précepte pour faire une parure , etc. — Si Ton voulait conclure de

ces titres qu il est en tous ces endroits donné de véritables préceptes , enseigné les règles suivant lesquelles on doit procéder aux calculs, on commettrait une grave erreur. Des précités , des règles dans le sens actuel du mot, ne se rencontrent nulle part : Ahmès se contente, dans un grand nombre de cas, de réunir et de traiter des problèmes de même espèce. Il ne serait pas difficile de déduire de ces problèmes particuliers et de leur solution une règle générale, mais Ahmès ne le fait pas.» — Je rétablis partout, au lieu de ce malencontreux « Vorschrifl » , la traduction habituelle et naturelle de (^ I par «chapitre, xe^akdîov^ caput»,

* Je cherche à rendre par « opération du seghom « le nom verbal

tandis que les trois derniers calculs, occupant les deux premiers compartiments de la colonne suivante, dont tout le reste est demeuré vide, sont accompagnés d un texte explicatif dont fait partie tout d abord 1 énoncé du problème. En tête de cet énoncé, on lit Timpératif « )^ i seghom au lieu du nom verbal P « V Jl ^^ ^^^ ^® *^^* ^ rheure.

Nous verrons plus loin que la dîlstinction entre ces deux parties du chapitre est bien plus profonde encore que les savants professeurs d'Heidelberg ne l'ont vue , mais qu'elle est d'une nature toute différente de ce qu'ils ont imaginé. Pour le moment, continuons à examiner leur explication.

Au début de l'alinéa suivant, nous lisons chez M. Cantor : « Le procédé consiste essentiellement à ramener les fractions données à un dénominateur commun. » Ily a ici ime erreur de fait (indépendamment d'une erreur de mots que je signalerai plus loin) imputable à M. Ëisenlohr, qui , à la suite de la phrase que j'ai citée plus haut, ajoute : uEnfm le mot qem seul, non seqem, est employé là où des fractions à dénominateurs disparates sont ramenées à un dénominateur unique et additionnées. Au fond, il faut considérer le sens du mot seqem comme étant celui dune addition de fractions qu'on ramène à un dénominateui* commun. »

Je ne puis aucunement m'associer à cette interprétation dans laquelle je vois, je l'ai dit, deux er-

seghom-t de Toriginal : quant à la prononciation, je la justifierai tout à rheure.

reurs capitales : une iinguisticjue, le sens attribué au terme (jem ou seqem; une historique, le fait d indiquer comme but, ou même comme moyen, des calculs ici effectués, la réduction des fractions à un dénominateur comman : manière d envisager lopération qui appartient à Técole mathématique moderne , mais qui n*était pas celle des calculateurs anciens, et, en Occident, de ceux antérieurs au xvi* siècle. Je vais développer chacun de ces deux points successivement.

Il n est pas admissible a priori que la pure et simple réduction des fractions au même dénominateur ait servi de titre général à la cat^orie de calculs présentés dans le chapitre qui nous occupe. Leur but évident, qui va ressortir clairement de lanalyse que nous allons en faire , est d'enseigner à amener un nombre fractionnaire donné à égaler un autre nombre. Et M. Eisenlohr lui-même, dans sa traduction du titre général et des énoncés de la deuxième partie, ne laisse aucun doute à ce sujet. Il dit très justement dans le premier cas : # i f"^ '^ V T « Vorschrift (nous savons qu'il faut lire «Kapitel») der Ergànzung ., , et dans l'autre J::\ :i: p - X ^ « gesagt îst dir zu ergânzen ». Il est donc en contradic» tion avec lui-même lorsque , après avoir, à la troisième ligne du présent diapitre de son Etude du papyms, invoqué lautorité du Dictionnaire de Brugsch,

p. lUàS-ikkg, pour donner à «V| ^^ ^P'')^^ ie sens de «compléter, parfaire, voUendeu)), il prétend plus bas, dans le passage que je viens de citer, que ce terme indique la réduction à un dénominateur commun. Ce qui l'embarrasse, il l'avoue, c'est

qu'aux n*^ 2 1, 2a, 67, le mot 'VI' ^^ ^'^ ^7 ' tout seul précèdent une grande somme de fractions à effectuer pour achever la preuve d'une opération.

Pourtant, il nest pas difficile d expliquer partout, (fune façon très rationnelle, lusage qui est fait de ce mot : voici , par exemple , deux explications que je propose, qui me paraissent également plausibles, mais entre lesquelles je ne puis me prononcer, n'étant point égyptologue.

1** Nous verrons plus loin, dans la seconde partie du présent mémoire, que lorsque Aahmesu, dans ses approximations, est amené à ajouter ensemble des nombres comprenant des entiers, de grosses et de petites fractions , il commence d'abord par faire la somme des entiers et des grosses fractions et déterminer où il en est de son approximation , c est-àdire de ce qui lui manque- pour parfaire le nombre qu'il cherche à atteindre : ce manquant doit être comblé d'une part par les petites fractions qu'il a laissées de côté, puis par une dernière approximation qui est le « complément ^N * V ^ ^^ ^'^ ^^' gànzung » , de la somme de ces petites fractions. On comprendra mieux ce que je veux dire en' se reportant, ci-après, à la preuve du problème n'Si, et à l'approximation du n° 3i. Or lorsqu'il effectue cette somme de petites fractions dans ime preave, comme aux n^'îi, 22, 67 et Sy, lesdites petites w fractions lui fournissent tout ce qui manque à l'ensemble de ses entiers et de ses grosses fractions : elles n'ont pas besoin pour cela d'un u complément », d'une « Elrgânzung » , elles sont par elles-mêmes «complètes, parfaites, vollendet)) : c'est pour cela qu'il in-

scrit devant leur ensemble à sommer le mot »\i

ou m,

2** Ou bien le copte (ïom, cïcdm «virtus, potentia, vis, robur; hortus, ager; prœdium, possessio » (v. Tattam, Lexicon copticum, s. v.) nous fournit la preuve qu'une racine égyptienne composée dune gutturale et de m avait un sens générai analogue à celui des mots sémitiques D3 et Dy, dont le premier signifie « ensemble » et le second « avec » ; et comme ces mots sont employés indifféremment par les mathématiciens hébreux comme synonymes de notre mot «plus» pour indiquer «une sommation», il pourrait bien se faire que le sens général de la racine égyptienne eût été « faire la somme » , notre mot M ajouter » , aiustar de farithmétique languedocienne (v. plus haut, p. i85, note i). Devant les sommes à faire des n"' 21, 22 , 67 et 87, nous aurions f impératif «ajoute», et dans le titre de nos problèmes, n« V J|[ seqemt ou seghomt serait «rajustement, la quantité à ajouter » au nombre donné.

Si cette interprétation se confirme un jour, nous trouverions dans « V ^ l'équivalent de notre termer «somme». qui. manque à la p. 22 de M. Eisenlohr. Af\ '^*" demd est « le total » ; mais les mathématiciens de tous les temps et de tous les pays ont toujours fait une distinction entre une « somme » , qui peut être partielle, et un «total ». Et comme i sert de déterminatif à la fois à ja V J ef à /^ '^*", il pourrait bien se faire que ce ne fût pas toujours le dernier mot qu'il représente , et qu'en particulier, quand il

désigne une somme partielle , une somme en négligeant les petites fractions, comme aux n~ 3i et 34, ce soit ' V 4 ^^ somme » qu-il veuille dire , car il ne peut là signifier A\ «total», lequel est au contraire spécialement entendu au n** 3 a .

Quoi quil en soit, c'est pour rattacher m par Tinlermédiaire de gidm à d: et D2^ que je ie transcris par ghom,

J'arrive à Terreur de fait et vais essayer de prouver que quand un Egyptien avait à ajouter ensemble des fractions hétérogènes, il ne les réduisait pas au même dénominateur, dans le sens que nous attachons aujourd'hui à cette expression , mais que l'opération qu'il leur faisait subir, équivalente au fond à cette transformation , était faite dans un tout autre ordre d'idées.

Lorsque nous réduisons aujourd'hui des fractions au même dénominateur, nous transformons chacune d'elle en une autre expression, toujours fractionnaire, ayant toujours un numérateur et un dénomi* nateur, et nous avons bien soin de faire remarquer à nos élèves, en les initiant à cette opération, que multipliant les deux termes par un même nombre , nous ne changeons rien , absolument riçn que l'aspect extérieur, à la fraction proposée.

Les anciens mathématiciens raisonnaient-'ils de mèmeP Consultons sur ce point quelques-uns d'entre eux.

Aben-l^zra, daqs $on nsDOn noD Sepher ha-mmispar, écrit à Rodez en 1 1 56 ^ fait de la manière suivante l'addition de deux fractions :

nru'^Dn 1 ont? 'n-)î<i!?:i o'^v nnx h^ maya npavtD^ om

Je traduis le plus littéralement possible :

Additionnons a cinquièmes d*unité avec 5 septièmes d^unité : quel est le résultat? Or le màrë (j* expliquerai ce mot tout à rheure) est 35 : ses a cinquièmes sont i4t ses 5 septièmes sont a5; ajoatons-les , ils font 89. A cause de 35 prenons une unité entière, et il reste à qui sont à cinquièmes de septième.

Mahmoud de Hérat^ va nous fournir un autre exemple :

^ Voir rintéressante notice historiqoe sur Abeo-Eira par le ly Steinschneider dans le troisième fascicule des Abhandlungen nu* Gesckickte der Matkematik, 1880. La date que je cite se trouve à la page 70 de la notice (p. i4 du tirage à part). — Pour le texte de VAri^métique du savant rabbin, je l'emprunte au ms. io5a de la Bibliothèque nationale dont j*ai indiqué les mérites, à mes yeux, dans mon article Sur les notations numériques et algébriques, antériewrement aa xvf siècle, dans les Actes de la Société philologique,

* Ce traité inédit est contenu dans le ms. 1 69 , supplément persan de la Bibliolbèque nationale. Je respecte, dans mes citations, rorthograplie du manuscrit. Uouvrage n*est pas daté; certaines par-

^J^ *--î5 <^3 *>^-^ ouÈ^3 J^^ ^3 J^3 J^ ^3 jM4>S4w oué^mJJI Jltfl^. ôJjt^ cr^vA^xwJ <:'^AAa.A.> (^ A^Vaam «XiU

Si l'on veut additionner deux tiers et trois quarts et quatre cinquièmes, le mokhraj du complexe de ces fractions est soixante. Or deux tiers de soixante font quarante, ses trois quarts font quarante-cinq, ses quatre cinquièmes font quarante-huit; la somme de quarante, quarante-cinq et quarantehuit, est cent trente-trois. Cette somme étant plus grande que le mokhraj du complexe, on la divisera par soixante, mokhraj du complexe : il en sortira deux , et il restera seize qu*on donnera en rapport à soixante : le résultat du rapport est un sixième et la moitié d'un dixième : alors la somme des fractions proposées est a -J--h~*îo*

Le procédé pour la multiplication et la division

ticularités historiques , empruntées aux méthodes suivies par i*auteur, me le font regarder comme assez ancien; en tout cas, je le crois antérieur à la KholâçtU-ul-hiçâh de Behà-ud-din qui na fait, je crois, que résumer les doctrines scientifiques ayant cours chez le^ Arabes d'Occident et en- Perse. Le nom complet de l'auteur est : ^^ ^^

iS,i\j^\ i>y<^^ j%x6i.\] ^LsâJtpi (^ISJS ^\fi ^^ o^, et le titre de son livre 4^LmJL J^e ya&âs c Abrégé de la science du calcul ».

des fractions est peut-être plus frappant encore. Voici , *par exemple, Aben-Ezra :

p3c;nn m nam *T» nv2?''Dn "«ne?! n|? d'^dW 5m h^ mion p^nii ♦ s n^m s nry>3cr nm i; C3'»Dbc?n an C3^c;ai • to^p nrî^^un à Dn«r t35 ^^^^v^^ dW inN n^y rbv to^p

Cherchons à diviser 3 et a cinquièmes par 2 et 4 septièmes. Le mâré est 35; les trois entiers font io5, les deux cinquièmes i4« donc ce nombre est 119. Posons les a entiers 70 et les 4 septièmes a o, donc 90. Divisons 119 par ce dernier, il vient un entier et il reste 39 qui sont a neuvièmes et un dixième d*unitè.

Et Mahmoud de Hérat :

Jui^Lw^ 4X.mL «5)1^5 d)yùàw« ^J^ ^5 oumI jn^ ^l^ A^

Si Ton veut diviser quatre cinquièmes par deux tiers , le mokhraj du complexe des deux fractions est quinze. Alors le résultat de la multiplication du dividende, qui est quatre

J. As. Extrait n* 8. (1881.) 2

cinquièmes, par le mohhraj du complexe est douze, et le résultat de la multiplication du diviseur, qui est deux tiers , par' le mokhraj du complexe est dix. Divisons ^ le résultat de la multiplication du dividende par le résultat de la multiplication du diviseur : ce qui sort de la division est un et: un cinquième. Telle est la valeur demandée de la division de j par f .

Tout autre est le langage des auteui's qui, comme nous aujourd'hui , réduisaient réellement les fractions au même dénominateur, tout en les laissant sous forme de fractions. Voici, par exemple, comment s'exprimait Bhâskara en ii5o, c'est-à-dire exactement à la même époque que Aben-Ezra^ :

^ Mahmoud dit ici « divisons » , parce que le dividende est plus grand que le diviseur. Dans le cas contraire, il eût dit, comme on le voit et par ses règles et par d'autres exemples : « Donnons le dividende en rapport au diviseur» maqsûnt rà ba nutqsâm Satayhi neshat dehim, c'est-à-dire «cherchons le rapport fractionnaire qui. existe entre le dividende et le diviseur». Ce rapport est, lui aussi ;^ exprimé en somme de fractions simples, autant que possible ayant un dénominateur inférieur à lo, et de sous-multiples de Tune des fractions écrites en premier, comme je Tai fait voir dans mon Algèbre d'Aï- Khârizmi.

' Je cite d'après l'édition de la Ltiâvati imprimée à Calcutta eh 176S =1826. " '. »

^«mr: I î 5

SrFTTl tlH'^^l't an ^11 \H ^f^ îîTrf ^||

Les huit opérations sur les fractions : en premier lieu, uniformisaiion de couleur^ des parts; et, ici, règ^e pour la transformation des parts , une strophe.

Le diviseur et la portion (le dénominateur et le numérateur) multipliés tous deux par le diviseur Tun de Tautre, c'est, en vérité, la réduction au niême diviseur de deux quantités ; ou bien les deux diviseurs étant simplifiés , on multiplie habilement le diviseur et la pprlion*.

Voici un exemple :

Trois entiers, un cinquième, un tiers à joindre ensemble: dis-les-moi avec même diviseur; un soixante-troisième, un quatorzième, au même diviseur, amie, pour les disjoindre.

^ Ou t unification de race, de caste, d'espèce», car vanta a touft ces sens en sanscrit. C'est probablement ce savarnana'^ que les Arabes ont traduit par j^ -jj .u f t réduction à la même espèce » ; seulement, ils n emploient ce terme que lorsqu'il s'agit d'écrire sous forme d'un seul nombre fractionnaire l'ensemble d'un entier et d'une fraction.

* Ce mot à mot rigoureux est suffisamment intelligiUe , je crois : il a, d'autre part, le méjrite de présenter les idées mêmes de l'auteur, sans les habiller è la rhoàemè,

Tableau f,j,-i^.

Ramenés au même dénominateur, ils deviennent Hi ni n ^^ par addition on trouve ^.

Voici, pour T exemple du second cas, tableau n^ n* Les deux dénominateurs simplifiéfii par 7 : 9 1 2 1 Réciproquement multipliés et ramenés au même dénominateur à, yî;.

Par disjonction ( soustraction ) il vient ^i, Simplifiant par 7 : ,V

Voici maintenant la division des fractions :

^ prRTf^t^ Il 44^1 ^loh : I

Règle pour opérer la division des fractions, une demistrophe : par interversion du dénoAiinateur et du numérateur (m. à m. du partageur et de la part) on transforme le diviseur; alors on applique dans la division le procédé de la multiplicalion \

Exemples : Avec un tiers , deux entiers divisent cinq : un tiers divise un sixième : dis-moi cela si tu es douée d*une science pénétrante et féconde de la division des fractions.

Tableau 2 1,-f -i.,^.

En opérant comme il a été dit, il vient ^ -J-.

Bhàskara , dans le premier exemple, saute à pieds joints sur une opération préliminaire que les commentateurs , la version hindoue et Feizi n'ont pas manqué d'expliquer tout au long, bien que l'auteur n'ait pas jugé nécessaire d'en reparler ici parce qu'il l'avait enseignée quelques vers plus haut : je veux parler de la transformation de a J- en -f pouF retourner ensuite la fraction diviseur sous la forme de y et effectuer, suivant les règles de la multiplication, le produit de -f (y retourné) par -f. H agit partout ainsi,

^ D^aprës le témoignage de M. Treutieîn, Dos Recknen im i6ten Jahrhnndert ( Abhandliingen zur Geschichle derMathematik , V** Heft , p. 8i, i. 6), la règle qui transforme la division des fractions en multiplication, par la fraction renversée, n'apponâi que chez Stifel (vers i55o) et Stevin (i584)* Elle est formulée en toutes lettres par Brahmagupta (vers 6oo) et supposée par Âryabhata (vers 5oo). Voir Leçons de calcul d^Âryahhafa, strophe xxvm et note 8*y rapportant.

ne mettant en relief, dans ses calculs , que ce qui se rapporte à la règle même qu'il enseigne. Du reste, puisque Toccasion s en présente, il faut encore que je demande la permission au lecteur dattirer une fois de plus son attention sur laisance , ou plus exactement encore 1 élégance de la manière d'opérer de Bhâskara , laquelle ressort d'autant mieux ici qu elle a pour repoussoir les procédés si lourds si pénibles d'Aben-Ezra et surtout de Mahmoud de Hérât. L'auteur indien n'a pas besoin de toutes ces distinctions logiques, si l'on veut, mais bien encombrantes, d'entiers avec ou sans fractions ou de fractions proprement dites jouant le rôle soit de dividende, soit de diviseur, chaque cas conduisant à une règle différente. Avec son sens mathématique exquis et ses idées vraiment larges, Bhâskara ramène tout à un seul cas, en écrivant du premier coup le nombre entier n sous la forme fractionnaire ^ , généralisation bien simple , bien aisée à comprendre , et pourtant nos livres classiques actuels n'ont pas encore osé lui donner droit de cité, tant est grande et persistante la force du préjugé et de la routine^. Nous en avons

' * Je ne puis me dispenser de citer un détail bien curieux qui m*est tombé sous les yeux récemment. L'auteur allemand Huswirt (iSoi) écrit également ses entiers joints aux fractions sous la forme •^ : or M. Wildermutb, professeur à Tubingue, qui fa réédité

eu i865, fait à cette occasion la réflexiop suivante: «Die G^nzeu durch Untersetzung des Nenners i in Bruchform darzust^ien, ein Veiiahren, das bis au f die Inder zurucLgeluhrt werden kann, ist au sicb etwas sehr Unwesenliiches. » Cette opinion est assez étrange chez un professeur de mathématiques spéciales.

une preuve bien frappante dans la façon dont le Persan Feizi, voulant rendre la Lilâvatî accessible à ses coreligionnaires qui ne pouvaient lire le sanscrit, a, dans sa traduction paraphrasée, substitué aux allures rapides, à la manière élégante de son modèle, la phraséologie lourde et les procédés lents des auteurs persans. J avais eu envie de citer, par curiosité, cette traduction pour les passages de Bhâskara que j'ai donnés plus haut, mais j'ai trouvé que c'était allonger outre mesure et peu utilement le présent article : je me contenterai d'en signaler l'infériorité et je termine par cette remarque que les personnes qui ne connaissent Bhâskara que par la traduction de Feizi s'en font une bien fausse idée. C'est le cas ou jamais de dire avec les Italiens : «traduttore, traditore » , et de se convaincre que pour étudier Thistoire d'une science, tout comme pour obtenir quelque chose , « il vaut mieux avoir affaire au bon Dieu qu'à ses saints. »

Avant d'aller plus loin, demandons encore à Aben-Ezra et à Mahmoud de Héràt la défmition de ce qu'ils appellent, l'un môré, l'autre laokhaj,

v^yo v.T^tr 4n3 x\yoviQ cannai; Ss mp^ \\2'^nn '«DDm

anae; u^wh iDniûr ncrjoi miDn i^dd annacr

Dnacrn p ihk ^d W\>t ht^ ht idt» n^ct ihéc i-idd uy^^^

Les arithméticiens prennent toutes leurs fractions d'un nombre assez grand pour que ses fractions soient des unités entières. Ainsi, ils tirent une demie de deux, un tiers de trois, et ainsi de suite jusqu'à la fin de la première série de nombres (les neuf nombres simples, 2 à lo, donnant les neuf frac* tions «parlées» des Sémites), Ils appellent ce nombre, d'où ils prennent leurs fractions, le mâré, le «directeur».. ....

Et lorsqu'ils ont besoin de deux fractions qui ne sont pas de la même espèce, c[ui ne se ressemblent pas, ils cherchent chacune des fractions dans un nombre d'où l'on puisse tirer chacune d'elles, puis ils les multiplient entre eux, et le résultat numérique est le mâré. Et s'il y a trois espèces, ils multiplient le nombre dont ils ont tiré les premières fractions par le second nombre dont ils ont tiré les secondes fractions , et le résultat, ils le multiplient par le nombre dont ils ont tiré les troisièmes fractions. Us agissent de même s'il y a quatre espèces, ou cinq ou davantage, car ils cherchent un mâré unique pour toutes. On l'appelle de ce nom (mâré « celui qui dirige ») parce qu'il dirige dans la voie droite.

Ecoutons maintenant Mahmoud de Héràt :

^y Ai ^:>Jsft ^^ *a^ JOui ^ ^pUdJ ^:> ^ ^ lit Js?T ù^li ^^ 2:;ljrf. jy j^ ommI^^ Js?' ;j;)^ ^i*5P oiiâj

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UJL« 0^-^t^ ;3 oc^t^^ (jTJUaI 34>^ :iykAj^ ^^ jUu*!^ JsmU eJi^ ^ J^ iuw (jMbj owwl iuw Osai.1^ ^^ eJii^ Jliut

^-^ (?; cy^;^ cr^ ^^=^' ;^ *^^'^;^ (?;

JU-M.L ^Ljû. j&sby^ zMp^^ • *^^ 5*-^->

Le mokhraj des fractions est le plus petit nombre , tel que les fractions prises de lui ressortent entières \ Ainsi ~, par

* La définition de Bebâ-ud-Dln est d*un laconisme difficile à rendre : kU ^v. «>*)^ J^^ y*S}\ ^T^* * '^ moklwcLf d'une fraction est

exemple, ressort entier de 2 , car la moitié de 2 est 1 qui est entier. Elle ressort entière également de à. et aussi de tout nombre pair quel qu*il soit, mais ils n*étendent pas d*une manière générale ce nom à d'autres nombres que 2 , parce que le plus petit des nombres d'où une demie ressort entière

est 2. Alors le premier des mokhrajs sera 2 et le second

des mokhrajs sera 3 , et le rapport de 1 à 3 est un tiers

Le mohhraj des fractions isolées est leur analogue parmi les unités : par exemple , Tanalogue de un tiers parmi les unités est trois, alors 3 sera le mokhraj de j; Tanalogue de un quart parmi les unités est à , alors i sera le mokhraj de -J- . . .

Maintenant, le mokhraj d'une fraction composée se peut connaître en le déduisant des mokhrajs de ses isolées (de chacune des fractions particulières qui le composent) à savoir : on examine si les mokhrajs de ses isolées sont rentrants (c'està-dire sont multiples les uns des autres) et le mokhraj le plus grand est le mokhraj de Tenserable. Ainsi 7 et y par exemple : le mokhraj de y est 3 , celui de -J- est 9 ; 3 et 9 étant rentrants

et 9 le plus grand , alors 9 sera le mokhraj de y et j- Si

les mokhrajs de ses simples sont distincts ( c'est-à-dire premiers entre eux), on multiplie le premier mokhraj par le second, puis le produit par le troisième , et de nouveau le produit par le quatrième , et ainsi de suite jusqu'au dernier. Ce qui en résulte est le mokhraj de la fraction composée.

11 reste encore, pour bien éclaircir la question, à rechercher Tétymoiogie des deux mots : rnôré en hébreu, mokhraj en persan ou mieux en arabe. Aben- Ezra nous donne lui-même, à sa façon, celle de moré : il le tire avec raison du causatif de la racine

le plus petit nombre par qui elle est rendue entière*. M. Marre a traduit : « Le dénominateur d'une fraction est le plus petit nombre qui en fasse un nombre entier ; » traduction exacte , à part Texpression «dénominateur», pour mohhraj , qui est fidée moderne substituée à la conception ancien nef.

nn\ doù vi^nt aus$i n'iln <homA «ia ioi, la règle de conduite » , et semble y voir u le guide , l'indicateur du bon chemin », IV^ 'pi. La vérité est que ce mot n*eat autre chose que la traduction littérale de J^\ imâm, nom quibn al-Bannâ, et à sa suite rÉcole marocaine , donnent au dénominateur d une fraction. Or on sait combien de significations sont attachées au mot imâm en arabe : c est non seulement le guide de la caravane ou le guide des consciences, cest aussi la règle de bois qui sert à tracer une ligne droite et la règle de conduite à suivre pour demeurer dans la voie droite (v. Freytag, s, v, -Ut). Si donc, comme je le crois , le môré d*Aben-Ezra est bien la traduction de ïimâm des Andalous (Ibn al-Banrïâ était né à Grenade), je n avais pas absolument tort lorsque, la première foisque j ai eu occasion de parler de ce mot, me guidant sur sa parenté d origine avec thoràli, je proposais de le traduire, en arithmétique, par tt la norme». Si j'ai dit tout à l'heure «le directeur», c'est pour répondre mieux et à sa forme grammaticale (c'est un nom d'agent) et au sens le plus habituel de son prototype arabe, imam. Quant à mokhraj, usité chez les Arabes orientaux (v. la Kholâçat'ul-liiçâb de Behâ-ud-din) ^ il répond absolument à la définition qu'en donne Mahmoud de Hérât et que j'ai rapportée plus haut. C'est bien « ce dont sort » (*x^î ij^y^ birân âmjod en persan , KX' yatsé en hébreu, m^ liaraja en arabe) la fraction à Tétat d'entier. Si l'on voulait un mot pour le traduire, il faudrait un terme qui exprimât le bloc d'où l'on tire

une statue, voire même la carrière d'où Ton tire ce bloc et d autres pierres de toutes dimensions.

La signification des termes établie, je reviens à lanalyse des opérations citées plus haut.

Pour ajouter ensemble -f et -f Aben-Ezra , prenant pour ttbloc extractif» 35, suhstitae à -f lentier i4, à y l'entier qS : ce sont ces entiers qu'il ajoute, et dont la somme lui fait 3 9. Mais ces 39 ne sont pas des unités ordinaires, ce sont des parties du bloc 35 qui ne vaut que une unité. Aussi l'auteur dit-il qu*à cause de 35 de ces parties contenues dans 39, il met une unité entière et quil lui reste & «parties dont 35 dans un», comme il dit très souvent (v. ï Algèbre d'Alkharizmi aux exemples de fractions). ^

Pour diviser 3 1- par 2 y , il prend un « bloc extractif» de 35 également. Travaillant sur ce bloc, il substitue à 3 j- l'entier 119,3 2 -f l'entier 90 , et ce sont ces deux entiers qu'il divise l'un par l'autre.

Mahmoud de Hérât agit de la même façon :

Pour additionner t+v+j, il prend un «bloc extractif», mokhraj , de 60. Opérant sur ce bloc, il substitue à |- l'entier 4o, à y l'entier A5, à -f l'entier AS, et obtient pour somme de ces entiers i33, qui, comparé à 60, le bloc extractif qui ne vaut qu'un entier, donne pour résultat de la comparaison le nombre énoncé.

Et pour diviser -f par -J- , prenant pour « bloc extractif» 1 5 , il substitue à f l'entier 1 2 , à -f- l'entier 1 o, et ce sont ces deux entiers qu'il divise l'im par

l'autre , suivant les règles qu'il a données pour effectuer cette opération.

Rapprochons de ceci ce que nous lisons chez Âahmesu.

Dans mon analyse du Manuel da calculateur égyptien, j'ai donné un exemple dune addition de fractions du genre de celles qui nous occupent. Elle est imprimée p. i Ai du Bulletin, p. 3 du tirage à part, et le calque de Toriginal (que je redonne ici en réduction) forme la première des planches que j'ai ajoutées à ce tirage à part. Pour la commodité des arguments que j'ai à en tirer, je reproduis l'addition seulement, laissant de côté le commencement du problème dont l'addition en question ne constitue que la preuve.

Âahmesu doit vérifier que

io6

lôg

ao a65 53o 1060 réunies forment bien l'unité.

« Ici , disais-je , l'auteur réduit les petites fractions , mais les petites seulement, au dénominateur commun 1 060, afin d'en faire plus facilement la somme

'A I A>» "lU' ui'^

/ il M ik JLm,

ao 265

Total

^ Ces totaux par lignes sont écrits en rouge au bout de la ligne des fractions, quelquefois au-dessUs (70 pàk* exéïkiplé).

et reprenant les grosses fractions , qu'il a laissées de côté, avec ces yj^=x quil vient de trouver

Total 1 o6o

Tout est scrupuleusement exact dans cet exposé

de la question, sauf l'expression a réduit au

dénominateur commun 1060». A f époque où jai écrit cette Note, je navals pas bien saisi la valeur des termes employés par Aben-Ezra, je ne connaissais pas encore Mahmoud et sa définition du mokhraj. Mais aujourd'hui je vois plus clair dans la question , et les lecteurs qui auront bien voulu suivre avec moi l'analyse des procédés du Juif de Rode2 , du Musulman de Hérât, ont déjà reconnu la vraie nature de l'opération effectuée par le scribe d'Egypte, du détour par lequel il aixive à sommer ses fractions. Elle saute, du reste aux yeux à la simple inspection du tableau que je viens de reproduire. Ces nombres écrits en rouge (je les ai mis en* caractères particuliers dans l'imprimé) , au-dessous de chaque fraction, ne sont autre chose que la part correspondante du mokhraj^ du «bloc extractif» 1060 substituée à la fraction pour faire le calcul. Ce sont ces nombres que l'on additionne ligne par ligne pofur obtenir des

sommes partielles réunies ensuite pour former 265, nombre dans lequel on reconnaît le quart du mokhraj, 1 060. Et, bien qu'il ait reconnu ainsi que toutes ces petites fraclions font -J- d unité, lorsqu'il na plus qu'à faire la somme bien simple i-+-ï-+y=i, somme qu'il fait à chaque instant sans détour, il a tellement en tête qu'il doit arriver non à 1 mais à 1060, qu'il écrit encore la deuxième partie de l'addition ci-dessus reproduite. Et là encore, quand il obtient son total 1 060 , il est satisfait d'avoir retrouvé son mokhraj tout entier et n'essaye même pas de dire « qui vaut 1 » , quoiqu'il eût encore la place au bout de sa dernière ligne.

Enfin , un argument qui me semble tout-puissant et que pour ce motif j'ai réservé pour l'invoquer à part, c'est que, à chaque instant, le nombre équivalent à la fraction, et qu'il lui substitue, est lai-méme un nombre fractionnaire. Il n'est jamais venu à l'idée d'aucun mathématicien ancien , faisant usage de vraies fractions (il faut en excepter Diophante qui, du reste, fait exception encore sur bien d'autres points], de leur donner un numérateur fractionnaire. Feizi, le traducteur persan de Bhâskara, en fait foi, lorsqu'il appelle je numérateur ^^sûp aj»; raqm é sa^i^ « le chiffre entier». Et chez nous même, on n'oserait jamais, dans un livre consacré à l'enseignement élémentaire, imprimer des fractions telles que |^ . Au contraire, dès ique l'on admet que le nombre à l'encre rouge de notre papyrus n'est qu'un substitut des fractions proposées, pris dans un bloc commun,

■ •' ii *^ 33 y

on admet très bieii que ce substitut, au lieu de se composer exctusivemeht dentiers, soit formé d*entiers et d une fraction simple , im tiers , un quart , voire même un huitième, dont la présence ne gène pas quand il se retrouve, dans d autres substituts, les mêmes fractions, de telle sorte que trois tiers ou deux tiers et un tiers se réunissent dans la somme pour donner un entier, deux huitièmes pour former un quart, deux quarts pour une moitié^ et ainsi de suite.

Donc il est bien certain qu'Àahmesu ne a réduisait pas ses fractions à un dénominateur commun »» mais que, comme on la fait après lui pendant vingtsix et trente siècles encore, il choisissait un nombre, bloc extractif , fonds commun ou comme on voudra rappeler, doù il puisse tirer toutes ces fractions soit, comme ses successeurs , à Tétat d'entiers , soit , comme il s'en contentait, à l'état d'd peu près entiers ^ mais, dans ce cas, avec une fraction d'expression simple; et c'est sur les substituts ainsi obtenus pour ses frac* tions qu'il opérait.

En terminant ces recherches étymologiques , j'ai encore besoin de préciser le sens d'une expression qui revient à chaque instant, et que M. Eisenlohr a traduite par vervielfàltigen «multiplier», tout en s étonnant qu'elle veuille dire quelquefois simplement «ajouter», et sans trop s effrayer d'une tournure de phrase, assez bizarre pourtant, qu'il rend par : Mâche Da vervielfàltigen die Zahl 20 mal 5 « fais MULTIPLIER le nombre 20 fois 5», par exemple.

J. As. Extrait n" 8. (1881,) 3

Le mot en question est 7 R I ûah (on le trouve quelquefois écrit f^ 8 T il > ce qui en fixe la prononciation), et la phrase, dont je viens de rapporter la traduction singulière , ^<«>. ^ "^^ T f ^ ^'^ kherek ûah. Des considérations philologiques d'une part, Tétude minutieuse des opérations que Âahmesu quaUfie ainsi d^autre part, vont nous en foiunir la signification exBiciea

M. Ëbers, dans son examen du travail de M. Eisenlohr (Literarisches Centralblatt, n** 4i de 1878), M. P. Pierret, dans son Vocabulaire hiérogfypkkfoe , donnent à notre mot le sens primitif de «placer, mettre sur, ajouter», a Ajouter », je veux bien, mais aussi et surtout «augmenter, accroître», que lui donne le Voctétitaire de S. Birch (inséré au t. V de la version anglaise de VjEgyptens SteUê de Bunsen) où on lit TN «increase, flourishw, T J «very much», et qui s adapte, à mon avis, merveilleuse^ ment à la plupart des exemples donnés par M. IWret. D'abord au sens adjectif d*« abondalfit, riche» appuyé sur l'autorité d'E. de Rougé, puis à îj^***^ ^ ! ^ ûah en sepu « un grand nombre de fois» , à V î em ûak « en outre » (d où, bien sôr, la conjonction copte oyoî « et »). Puis surtout * î 1 il j ^ ^^ wofer « faire mieux » , c'est-à-dire « accroître le bien »

' Tétadiem qtKelque jour, «tt! »Lâ (^ , le mot g ^ 1 isepu i|ii\Mi traduit par « foiB ». Aafaiaesu renfifeie tpiand ii s'agit de iiMil«i|diflr un nombre pur ttne fraction : or nous n accepterions pas volontiers qu on nous dise de « prendre une quantité un tiers ou un cinquième defois9. ^

(et non ucgouter bien n, comme dit M. Pieiret); à ia phrase même dont je parlais plus haut, '<«>^ T f 1 ^ âah a fatro profiter » (Chabas) , c'e3t-à-dire a faire augmenter, faire croître ». De même J j ^ ûah ah a modeste , indulgent » s explique bien mieux par la métaphore universelle m grand cœur» ou «grand de cœur» .que par mcc&af posé»; T| '' «^ ûahi m^ « fournisseur d e^u » esi bien plutôt celui qui « fait grandir Teau » que celui qui » en ajoute », etc.

Mais si la signification de « faire croître » est rendue possible ou probable par les e^emp^es que je viens de citer, elle devient nécessaire lorsqu'on étudie à (btfd la nature de lop^ration que Aahmesu qpalifie ainsi : cette opération est en eflet absolument ce que noi^s appelaiïs en Algèbre supérieure « donner un accroissement» aux variables de nos foqetions. Quand il nous dit, par exemple , au n*" a i • ^ f ^ ^ * ^ H Vi' '"^^

^V llll âahapm^ lôerq^nin le nombre i5

pour trouver 4», au n** 22 ûah ap m 30 er qem 9

« le nombre 3o pour trouver 9 », et que nous le

voyons, dans le premier cas, prendre an cinquième du nombre i5 (égal à 3), puis un quinzième du même nombre (égal à }) pour composer le nombre demandé 4;4lans 1^ second cas, prendre an dixième

^ II me semble ^ue ce curieux ^ "i^ qui précède Ténoncé des nombres «t que M. Eisenlohr ne sait rendre que par deux points [ce qui est fort e^tact, du reste), pourrait bien être un abrégé du pot \ «vois^ regarde, fais attention» que M. Maspero conjugue, .p. %jS^ de son Etude sur les stajtwes des défunts, au t. VII, partie 1,

dies Transactions of the Society of hihlical archœology,

■ ii >( 36 )»t^—

de 3o égal à 3, puis deux dixièmes (il écrit -J-) faisant 6, pour en composer 9, le nombre demandé^ jamais, au grand jamais, une intelligence d'ancien ou même les quatre-vingt-dix-neuf centièmes des intelligences de modernes n'appelleront une pareille opération multipUer^ viele FàUe machen, maltas ejficere plicas, ^oWa'TrXourtdieiv. Tandis que <( FAIRE CROITRE 1 5 de son cinquième et de son quinzième)), «donner à 3o un accroissement de un dixième et un cinquième )), sont des expressions qui rendent parfaitement Tesprit de ropération égyptienne.

Et comme on peut « faire croître » une quantité soit en lui ajoutant des parties d elle-même (ce qui, si on veut me permettre cette image, consiste à la faire « enfler comme un ballon » ou u dilater » comme un corps qu'on chaufle), soit en lui soudant des parcelles étrangères, on s'explique très bien que notre Égyptien puisse nous dire au n** 7 a (v. Eisenlohr, p. 22 et i88) ;

^ Noas verrons plus loin des exemples encore plus frappants de cette manière de calculer. En somme, ce qu*Aabmesu appelle ûak nest antre chose qu*un procédé par approximations successives , où , quand il s'agit de rendre un nombre donné égal à un autre, on commence par ajouter, s'il y a lieu, le nombre donné plusieurs foi» à lui-même (ce qui se fait par des duplications successives), puis i. ajouter à cette somme des fractions de plus en plus petites dudit nombre. On ne va généralement pas jusqu'au bout de cette façon, mais lorsque Tapproximation est arrivée à ne différer du nombre cbercbé que d'une quantité très minime, on détermine la valeur du manquant qu*on évalue en fractions (je serais presque tenté de dire «en fonction») du nombre sur lequel on opère, et Ton ajoute cette fraction à celles déjà obtenues pour compléter l'approximation.

35o, fais-toi un accroissement de loo sur lui, devient â5o,

OÙ ûah désigne une simple addition , ce qui avait tout à fait dérouté M. Eisenlohr.

G*est donc par «fais croître» que nous remplirons Tespace laissé vide dans la traduction des deux exemples de la p. a 1 7 ; quant à la phrase que M. Eisenlohr traduit dune façon si bizarre, nous la rendrons par

« FAIS CROiTRB le nombre 20, 5 fois, »

ou , en allemand :

« Mâche Du einen Zuwachs der Zalii ao mal 5. »

Ainsi, le chapitre de Seghomt na pas pour but fondamental d enseigner à faire «une addition de fractions réduites à un dénominateur commun ». On y fait bien des additions de fractions , mais seulement à titre d'accidents du calcul. Pour faire ces additions, on ne « réduit pas les fractions à un dénominateur commun», mais, au moyen d'un «bloc extractif», on «substitue aux fractions des nombres entiers ou pres<fue entiers » sur lesquels Topération s'effectue plus aisément. Il nous reste à voir si réellement les deux parties dont se compose ce chapitre enseignent à « trouver des compléments par multiplication ou par addition », ou si, comme l'explique M. Eisenlohr, ce

complément se compose «de multiples (ou de sousr multiples) du nombre proposé rt pour la première partie, et pour la seconde, «de fractions indépendantes des premières ».

On serait tenté de le croire à la façon dont M. Ganter analyse deux exemples de ce chapitre : voici , en effet, ses propres expressions :

Au n" a 3, il faut, par addition, ôonlpiéter 7 t n à À à i . Le détiominaleur commuti e^ i5 « quoiqu il n^en ftoit pàB dit un mot On se contente de remplacer les fractioDS simples

susnommées par les nombres 1 1 7, 5 7 -f 1 ^ "T* ^ i^ ^i ^^ P^^ ce seul fait il est suffisamment clair poiir riiiitié qu il s*agit de quaranle^inquièmes. Leur somme 3377-1- gaarante-çinqaièmes a encore besoin pour être complétée à \ de

après quoif il manque encore 7, et, par suite, le complément entier est 7 7 xb •

Au n* i3, it l»*agit de compléter pœh tnultipUoatioik ^'t^ à Y. Sans doute en considération de ce que iia»7Xi6, on choisit pour dénominateur commun un multiple pair de 7,

1 I -- 1 saVoit à8, et alors où pose — =^^±A \ fc-*-u-a^ et leur

somme — ^. Celle-ci doit être égale 7=— ^1 ce qui se fait en 28 8 28

ajoutant ensemble ~ de lui-même, sa moitié ^ et la moitié

de celte moitié -~. En d autres termes , A in est complété à -J-

si on le multiplie par 1 7 7.

^ Le texte allemand porte *; j*ai rectifié t i"" sur Taûtodlé du

texte hiératique; 2* parce que cest {i 7 7) -|-x qui font 3.

Il n y a qu un nialheu^» c est que cette manière d'exposer la suite des calculs donne, des procédés égyptiens, Tidée la plus fausse, la plus inexacte quil soit possible d'imaginer. Gomme je ne veux pas avoir Tair de faire ici une critique malintentionnée, je prie le lecteur de vouloir bien suivre avec moi , non ce que je vais dire de ces problèmes, mais ce que Âahmesu lui-même nous en dit, et que je vais transcrire signe à signe et traduire mot à mot. Comme M. Cantor, je commencerai par les problèmes de la seconde partie, mais je prendrai d*abord le n"" ai qui est accompagné d'explications émanant du scribe égyptien lui-même : nous aurons plus de ôhance ainsi de pouvoir le suivre et nous pénétrer de ses propres idées.

<40> Voici donc ce problème textuellement :

ta

Si

ces

pa

fe

-^^••ifeS

R^fiir

es g*