OXFORD
D'où Ton peut conclure (Âahmesu a négligé de le faire) que :
i"* La correction totale à faire subir au résultat faux est :
2" Telle est aussi la correction à' faire subir à la fausse position;
3"" Cette fausse position étant 1 , la correction est elle-même le nombre qui répond à la question.
Il faudrait maintenant en faire la preuve, ce dont Âahmesu s*est abstenu également ; nous imiterons son exemple pour éviter des calculs dont on entrevoit d'ici la complication.
Peut-être cette complication a-t-elle été le motif qui a fait abandonner la conclusion de ce problème et y a fait substituer le n** 33, qui, avec le même coefficient pour x (je parie ici à la moderne, non plus à Tégyptienùe) , conduit à un complément, à une se^homi un peu moins compliqués.
N'' 3a. — Une quantité: son tiers, son (foort, eller même Jont 2.
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I III III n 1 1 e n iiii ee nn lin /1^ JV T A iii^».vT^^ demd pa hâS-u jedsu
Total 1 y 13 ^ si; la qpiantité en question.
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Ici encore, Âahmesu avait commencé à essayer b substitution de 1 , qui lui avait donné 1 y \ pour résultat faux : dans sa correction, arrivé à ajouter ensemble les -f-, y, T, n ^® ^^ résultat faux, au lieu de procéder comme dans les exemples dont je viens de, parler, de faire la somme seulement des grosses frac-
tions, puis de considérer Tensemble des petites comme une quantité à compléter, il change d'avis et songe à prendre pour fausse position un mokhraj : régulièrement, il devrait prendre la; mais comme il a déjà été conduit à prendre des douzièmes de son résultat faux, il choisit pour mjokhraj, pour « bloc extractif » 1 a X 12, qu'il évalue comme ceci :
ensemble l44,
et alors, s'il prend ilxli pour bloc, ou pour valeur provisoire de son haS-u, pour fausse position, il aura pour résultat de sa substitution :
{b) 1^ «la quantité» 1 44
ensemble 2 28^
et il feôommence ion calcul avM 188 pour résultat
' M. Eiflenlohr n*a p«8 pu se vondr^ compte de. œ que vaant faire ici le signe i ; je crois (|u*aYec ma manière d*exposar la cpes* tion , son emploi est tout naturd , ce qui me confirme dans Vopinion que mon exptieàtion est bien conforme aux idées d*Aahmesu ou d« s6ik ttOuèle»
faux, ce qui lui donne les nombres entiers de k deuxième colonne de (a).
Ici manque un intermédiaire facile à retrouver d après les exemples précédemment analysés :
pour retrouver 2 fois le bloc, 2x144 = 288, il manque (i ,7i) ^^^^ ^ parties de ce bloc.
Or 1 est ^ du bloc , mais en même temps , puisque
le résultat faux estimé dans ce bloc vaut 228, 1 est ,4^ du résultat faux : Aahmesu a donc pu écrire les deux dernières lignes de (a) et celle dans laquelle il donne comme conclusion la vraie valeur à substituer. J'appellerai lattention sur Texpression dont il se sert ici , et que nous allons retrouver au problème n^ 3o : pa ha8-u jed-sa «la quantité dont on parle, la quantité en question ».
Je m'arrête ici, le calcul effectué en {d)
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n'étant, cooQine la très bien fait remarquer M.Eisen-. lohr, quWe préparation à la preuve
il >^V ^ ^A ^A^z-JU- «À
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dont je ne m occuperai pas , me bornant à en donner la réduction photographique pour la satisfaction des lecteurs qui voudront s'exercer à la lecture des calculs égyptiens.
Si te dit récrivain : production de lo au moyen de -f ^, quel est son ? Fais-toî croître y ^ pour trouver. 10»
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lO
enwmble i3 {dH JE h' "^""ï"^) è*
Cet énoncé difiFère notablement de ceux que nous venons de voir : la présence , en commençant , de la formule arjed nek San «si f écrivain te dit» me paraît indiquer qu'Aahmesu avait Imtention de donner, dans ce problème, la méthode à suivre pour résoudre les autres. Aussi me semble-t-il que Ténoncé puisse se traduire en bon français comme ceci :
Si Tauteur *te dit : on fait naître lo de -f- 1^, qu entend-il parla?
et cette manière de traduire rend bien compte du mot %J V stem, qui, d après les meilleures. autorités, signifie «écouter, entendre))^ Je nai pas hésité à
supprimer le point fractionnaire au-dessus du signe de 1 o dans Ténoncé, ni non plus à intercaler le mot W\ uàh après -«>. • '^»% ar-yerék : ce mot indispensable a été évidemment omis par le copiste, tout comme il a omis, dans son addition ou produit par i3 (par exception ce facteur est écrit ici), la valeur du produit et le mot \ ^ «manquant». A moins, toutefois, que le fl de 1 3 ne soit écrit fautivement pour 9 , et que les trois traits qui suivent ce (1 ne
soient justement. les trois signes hiératiques î^f
"^iiTiii 9^® ^^^ ^^^^' P^^ exemple, au n** 33 (6), et qu'ici le copiste n aurait pas su lire.
Donc 1 3 fois -f- ^ font presque i o, mais il manque
encore ^.
Mais quelle partie aliquote de -|- ^ est ~? Un calcul analogue au calcul (c) des n** 3i et 33, que Aahmesu n a pas plus écrit qu*il n avait écrit à sa place ce calcul (c), mais qu'il na logé nulle part, nous l'apprendra. En effet :
ensemble 2 3, ce que le copiste résume dans la ligne (6) :
Tnnn;S.;^,-=*'«'y<fT
Fais 3o fois ^ pour trouver \ j^.
À quoi il ajoute comme conclusion :
)^kfrrr;j::\+\niii^,
La ipiantité en question : i S s* Puis vient la preuve.
Je suis convaincu que les deux problèmes a 8 et a 9 n'appartiennent pas an même chapitre que ceux que nous venons d'étudier : cependant, comme Tinconnue y est en évidence ou dégagée, je vais encore faire voir que Aahmesu n a pas employé 1 algèbre pour les résoudre.
Pourtant l'énoncé du n° a8 renferme de véritables signes algébriques : ce sont les deux jambes placées alternativement dans le sens -direct pour dire « en plus», et dans le sens rétrograde pour dire «en moins»; mais comme je ne m occupe ici que de la méthode suivie pour la solution du problème, je laisse de côté ce détail. En raison de la complication de renoncé, je le retranscrirai tout au long en hiéro^yphes.
-f en -1- Y en — lo reste :
.^^=*/,;^n*'tt*ll*' V'""'
Fais n de lo : cela est i : reste 9.
n AiiiA i^^i^i'i II «v«^ Ail Ses \: 6; en + lui, = i5; son j : 5.
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#MMA I I ^». A I I 1 A >'
Si 5 sort, restent 10.
^mot^ùv oùvtoç.
L^énoncé, ainsi qu'il résulte du calcul qui suit, si-> gnifie (sauf la valeur des signes), comme Tout fort bien dit MM. Eisenlohr et Ganter :
(^+ia:)~J(x + ga:)«io.
Mais je ne puis rester d accord avec eux pour croire
^ Le texte porte par erreur un poiai sur le signe de 1 o : M. £iseolobr a pris ce point, qui est un peu large, pour le trait du chiffre ao ; je crois plutôt que c*est un point de fraction que le copiste a placé sur ce chiffre parce qu*il venait de le mettre sur celui qui précède. Quant au démonstratif pen qui suit, M. Eisenlohr Ta placé dans la phrase précédente et traduit « fais -^ de ces 1 o , cela donne 1 1 , nuLche Y^ von iO diesen, dos giebt i; j*aime mieux lui faire commencer la phrase suivante, «cela fait 1 ».
que Âahmesu , tout en conservant dans Tesprit la tiotion de Texistence de cette inconnue ^ « fait la somme de ses coefficients » pour ramener la formule à être
lO
et effectuer la transformation, si compliquée pour Tépoque, que j*ai copiée chez M. Cantor (v. p. 4o4). Ce que j y vois, cest que Tauteur égyptien a, comme dans les problèmes 3o à 3/i, essayé la valeur i pour l'inconnue , et obtenu pour résultat faux :
ensemble 1 -5
