TOME PREMIER

Les nombres — Les grandeurs

Las ûgwna — Le calcul combinatoire — Le calcul algébrique

Calcul des fonctions — L'algâbre géométrique.

PARIS LIBRAIRIE SCIENTIFIQUE A. HERMANN k FILS

LIBBAIHES DE S. H. LE ROI DE SUÈDE 6, m m u HlBona, 6

iTilST-PROPOS

L'ensoignement dea uuUi^nutiques a subi récemment, pre*que en tous pays, une trausfocoutioii remarquable.. C'étaibot nagaàre la structure de la d^monetcation, l'oichaiaeraeiit io^wccabls des propositiuas <yû préoccu^ient nos maittea, fidèles en cela k la tradition cudidienoe. Ajijoucd'bui ou vise, au cootraire, è rendre < intuitives » les conceplioiU' mathématiques, c'est-à-dice à les présenter sous une Eocme vivante et (mncràle ; on ne les sépare pat de leurs appiicationa, et l'on espère ainsi faire voir qu'elles répondent à des beaoias réels, qu'elles ne sont pas de simples échuffaudages de Hyllogiâmw, tiaborés, &k des boures de désœuvrernsnt, par des esprits subtils et maniaques. Le point de vue des logiciens et celui des intuitioanistes présentent des avantagea différents. Les ' premiers l'ont des Mathématiques uœ école sans pareille de raisooneoieat déductif : il sat vrai que l'art de raisonner n'eat poîat, pour une société d'homraas: d'accu, te plus nécessaire. Les ae> couda forlifient le lien qui unit la science pratique à la sctenee théorique et ils sauvent ainsi cette demi&re du discrédit qui la menace ; ajoutons que, dans l'enseignement élémentaire, la supériorité de leur méthode parait incontestable.

Il est un point, cependant, sur lequel logiciens et intuitionnistes ss renciMitrent. Les uns et les autre» ont en vue l'utilité indirecte de la culture scientifique — soit pour la formation de la raison, soH ponr l'éducation de l'ingénieur ou de l'homme en général — et non pas l'étude désintéressée des notions malliématiques ellesmêmes. A la valeur spéculative de ces notions, à la richesse de leur cotttemi, à leurs affinités, au râle qu'elles jouent dans la science rationnelle, ils ne prêtent qu'une attention secondaire.

VIII AVA^T-PHOPOS

Serait-ce donc que les 'niées matliématîques ne valent que par la manière dont elles sont enlîlées ou par l'usage pratique qu'on en peut faire ?

Ce n'est point li, certainement, ce que l'on a pensé; mais la science théorique, considérée en elle-même, — l'Analyse pure, comme on a l'habitude de l'appeler — n'est susceptible d'intéresser qu'une minorité d'individus dont ks programmes d'études ne peuvent point ou guère tenir com[Ae.

C'est & cette minorité — non négligeable, il s'en faut — que s'adresse le présent ouvrage. Futurs professeurs de mathématiques ; étudiants qui ont reçu une éducation principalement u intuitive », ou technique, et qui ont le désir delà compléter; philosophes d'origine dont l'attention est attirée vers les sciences — il est, croyonsnous, un certain nombre de personnes qui aimeraient à jeter un coup d'œil d'ensemble sur l'Analyse mathématique, qui sont curieuses d'en connallre la signification intrinsèque et l'évolution historique. Peut-être pourrons-nous faciliter la tâche de ces personnes en cherchant k donner, sur un plan élargi, un pendant et une suite aux Notions de Maihémaliqaes de Jules Tanncry ('),

De l'Analyse mathématique nous avons surtout en vue le contenu. Ce sont les faits mathématiques, étudiés objectivement et pour eux-mêmes, qui retiendront notre attention plutôt que les procédés, souvent artiQciels, par lesquels ces faits sont découverts et contrôlés. Aussi laisserons-nous de côté — tout en en faisant

(') Delagrave, 5« ëdit., 1910. — Il n'existe, croyonî-nous, aucun ouvrage qui réponde d'une [atoa complète au beioin que nous signalons ici, mais il en est d'excellents où les pcrwnnes déjà quelque peu au courant des mathématiques, pourront apprendre beaucoup. Telles sont les leçons sur les mathématiques élcmentairea {Ekmtntarmalhtmat. vom hâheren StandpunkI am) de Félix Klein, où l'on retrouvera la marque de ce prestigieux talent qui rend l'enBcigncment de M. Klein si vivant et attachant. Nous devons signaler aussi le récent ouvrage de M. Léon BruDschvicg (Lu ilaptt de la philosophie mat/Unutlique, X\iian, iijiijqui est sans doute l'étude philosophique la plus complète et la plus suggestive à laquelle ait donné lieu de nos jours l'Analyse ma ttkéma tique. Noui «vons nous-mSme mis fréquemment à profit, dans notre travail, la lecture de ce livre et les conseils que M. Brunschvicg a bien voulu nous donner personnellement.

AVAST-PROPOS IX

connaître le principe quand faire se pourra — les démoDfltrations de nombreuses propositions : propositions qu'une première approximation nous permet de regarder commedes axiomes évidents, ou qui sont très élémentaires, ou, ne peuvent être obtenues — au contraire — que par des voies difficiles ou détournées. Nous passerons également sous silence certaines théories spéciales, qui peul-^tre sont 1res utiles dans les mathématiques apphquées, mais qui n'ajoutent rien h la physionomie de la science. La géométrie, par exemple, devenue aujourd'hui une simple apphcation de l'Analyse, occupe dans eut ouvrage une place restreinte : elle devait cependant y figurer h cause du rdie prépondérant qu'elle a joué dans la formation des mathématiques pures.

A ces restrictions près, le présent ouvrage contient, ou peu s'en faut, toutes les matières sur lesquelles porte le cours de mathématiques générales professé dans nos Facultés des Sciences, Il en dépasse d'ailleurs notablement le cadre, car il touche par quelques endroits & certains chapitres de l'Analyse moderne la plus élevée, et il reprend, d'autre part, la science mathématique h son origine, à son principe, afin d'en présenter, autant que faire se pourra, un tableau d'ensemble.

Mais, encore une fois, c'est uniquement le cdté spéculatifde la science que nous allons envisager. Le lecteur qui voudrait se familiariser avec les méthodes algébriques et analytiques devra recourir aux traités spé<.-iaux ('), qui seuls pourront lui donner la technique et l'habitude du calcul sans lesquelles il n'est pas de vrai mathématicien.

(') Il eit inutile d'énuméroT les nombreux trailéa de mathéma tiques générales dont diipoient aujourd'hui ceux qui veulent étudier lei principe* de l'Analyie. Le débutant qui voudra s'aider du secours de la méthode < intuitive * pourra se référer au Cours <U Malhimatiquea de H. Emile Borel (Colin, éditeur) ou au récent ouvrnf^e de M. Sainto- L^gaS : iHircduction au cour' de Malhémaliqura Linirale» (Hetmann, éditeur, i<|i3l. Aceux, d'auUe paît, qui, dans le domaine des malhétnaliques élémentaires, s'intéressent à l'enchaînement logique et A la perfection formelle des propositions, on ne saurait indiquer de meilleurs guides que les Leçons d'Arilkmitique de Jules Tannery et les LeçoTU dé Géométrie de M. Hadamard (Colin, éditeur).

AVABr*-mopos -

Je n'entreprondrai point' d'expliquer ïoî le. détail du plan et Ië division dei matières que j'ai adoptés. Je me réserre- d'en' donner la raisonet'de oberofaer&'leBJurtilier chemin fBÎstmt'C). En gros l'on pent dire qne !«' préseaf tome contient ce qui a trait aux éléments' de l'arithmétique, de la géométrie et de l'algèbre^ y compris le calcul des dérivée» et la théorie élémentaire da» équations diffêrentiellef : Ifo tome II sera pnncipalbment consaoré à' 1» géométrie analytique, auic quantités imaginaires et mnc dé*elop' pements en séries', h la logique des mathématiques et. au' caltrui infinitésimal.

Pour réaliser mon programme, je devais évidemment acoorder une largo place k l'histoire. Ici encorei o^>endant, il fallait'me résigner à âtre incomplet. Je n'ai guère pu donner que des aperçus snr les tendances principales des diverse» époques et des difficultés écoles de mathématiciens, sur les moments les plue significatifs-, — les tournants» comme on dit quelquefois — de l'évolution de I» science. J^éclairerai ces aperçus par de nombreuses citations originales, et j'insérerai çk et \h quelques brèves indications snr l'histoire des inv«itions et des découvertes les plus-natsb)ë& Enfin, l'on trouvera à la fin du tome II un Appendice historique contenant une série de aoles biographiques et bibliographiques sur les principmix mathématiciens antérieurs à iâ5o (').

IJQ lexique général terminera cet' ouvrage et permettra de retrouver Tacilement les diverms indications historiques, comme aussi les définitions des terme» techniques et les propositions fondamentales, qui y sont contenues.

C'est dire que si le présent livre prétend être un exposé systé-

(') £i) partioulier, dans le premier chapitre du Tro\aiim« Livre qui ee trouvera dans le tome Ih

{*) Le* Tonswsnenieiits reUtib aux mathématidDiiB d'importance «•condaini ne figurant pa* dans \'Appenâic« hUlarique seront donnfe ou rappelés dans le lexique général qui terminera le tome II. Afin de per* mettre au lecteur de se reporter facilement aux éditions originale* des ouvrages ancâensi nous indiquerons le plus souvent possible (dans Isa Dotes et dsow VApptndice kistoriqu»} les cotes que portent les exemplaires de ces ouvrages coniervés ù la Bibliothèque Nationale dA Bans..