TRAVAIL DES FORGES

décomposition des forces suivant des directions quelconques et celle du travail mécanique et font disparaître cette sorte d'arbitraire qui, faute d'explication suffisante, paraît présider à rétablissement des conventions sur lesquelles la mécanique rationnelle est établie.

Il importe moins d'apprendre aux débutants des définitions et des théorèmes ce qui n'est, après tout, qu'affaire de mémoire ; que de leur faire comprendre le double caractère de légitimité et nécessité que possèdent les définitions pour établir une corrélation parfaite entre les différentes parties de la science. Lorsque cette corrélation est saisie, la science perd cet aspect rebutant de recettes hermétiques livrées à la mémoire des initiés, pour prendre la forme majestueuse d'un développement harmonique que l'intelligence humaine tire des faits expérimentaux, aidés de certaines conventions.

(2) Forces vives. — Nous pouvons encore arriver analyliquement aux résultats obtenus ci-dessus par des considérations géométriques élémentaires.

On obtient comme conséquence immédiate de la formule (1) que le travail élémentaire peut s'exprimer par

d - mv^

mvf^ est, ce que Leibnitz désigne sous le nom de force vive; dmv'^ est l'accroissement de la force vive dans un mouvement pendant un temps infiniment petit dt. Or on a :

1 2 \dt dl^ ' /

en désignant par a, &, c les cosinus de Tangle que fait la tangente avec les axes

a - — est la projection de Taccélération totale sur Taxe des

X ; donc la somme des trois termes entre parenthèse est la projection de cette accélération sur la tangente, ou l'accélération tangentielle y.

A cette accélération correspond une force tangentielle ^z=m y (de même qu'à l'accélération centrifuge correspond une force normale m y).

Donc d T désignant le travail élémentaire de la force F

on a

d T = d — mv^ zrz. (m y) ds = <f ds

Le travail élémentaire de la force F, qui fait un angle a avec la tangente est donc égal au travail élémentaire de la force tangentielle et la force normale ri a aucune part au travail.

Il est bien entendu que les transformations que nous venons de faire subir à l'équation (l) ne nous apprennent rien qui n'y soit déjà implicitement contenu. Elles n'ont eu d'autre but que de nous faire comprendre comment il se fait que le travail élémentaire d'une force suivant la normale est nul. Nous nous résumerons en disant :

Etant donné qu'une force quelconque peut se décomposer en deux forces rectangulaires l'une tangentielle, l'autre centripète (dirigée suivant la normale principale) ; étant donnée la définition du travail élémentaire, la formule (1) peut s'écrire immédiatement et il en résulte que le travail élémentaire total est celui de la force tangentielle ; celui de la force normale est nul.

Cette conséquence découle donc de la définition de la

TRAVAIL DKS FORCES 101

force (en grandeur et direction) et de celle du travail élémentaire, sans aucune addition ni restriction.

C'est ainsi qu'on a pu dire, dans le langage anthropomorphique : la force tangentielle produit le mouvement du mobile et, par suite, le travail, tandis que la force centripète n'a d'autre effet que de courber la trajectoire. On voit, maintenant, à quel point ce langage — destiné à faire image — est vicieux au point du scientifique.

Remarque. — On ne peut pas s'étonner de voir l'accélération tangentielle seule entrer en ligne de compte dans l'expression du travail définie par la formule (1) puisque le travail est égal à la force vive, dans l'expression de laquelle n'entre que la vitesse, qui est dirigée suivant la tangente.

(1) Preuves classiques de la rotation. — On a vu^ dans ces derniers temps, la doctrine de Ptolémée renaître dans renseignement congréganiste par suite d'une fausse interprétation des écrits de M. Poincaré(l).

Il ne nous paraît donc pas inutile de nous arrêter sur cette importante question qui semble résolue depuis Copernic et qui, cependant, n'est pas généralement expliquée d'une façon suffisante.

Lorsqu'on voit l'ensemble du système solaire et de tout l'univers étoile tourner autour de la ligne des pôles appelée

(1) Ce renseignement m*a été donné par un examinateur au baccalauréat qui Ta appris en interrogeant un candidat. Le fait m'a été confirmé depuis par une mère de famille qui m*a dit que l'on enseignait que M. Poincaré avait démontré que la terre ne tournait pas et que Galilée était dans Terreur. On voit la tendance; de là, à insinuer que le Saint-Office avait eu raison de condamner ce grand homme, il n'y a qu'un pas!

Je me suis empressé d'expliquer à cette mère de famille que M. Poincaré n'avait jamais rien dit de semblable et que ni elle ni les siens ne seraient privés de la promenade d'agrément qu'ils accomplissaient quotidiennement dans l'espace, à leur insu.

On voit, en tous cas, par les exemples que je viens de citer, qu'il n'est pas superflu de combattre des idées fausses qu'on croyait à jamais disparues et qu'un obscurantisme infatigable essaie de faire renaître. Cette pensée suffit, je pense, à justifier les développements étendus que je consacre à cette importante question.

axe du monde dans ce mouvement apparent, on a le choix entre deux hypothèses quia priùiij c'est-à-dire abstraction de toute idée de masse, peuvent paraître également probables. Ou ce mouvement apparent est une réalité, ou il résulte d'une illusion qui tient à la rotation de la terre autour du même axe.

Au point de vue purement descriptif, les , deux hypothèses peuvent se soutenir puisque l'une et l'autre expliquent les mouvements que nous voyons.

Mais, si l'on fait intervenir les masses, la première hypothèse perd toute probabilité.

Il faudrait, en effet, attribuer à l'étoile la plus rapprochée de nous une vitesse de 2 milliards de kilomètres par seconde. Un pareil nombre a de quoi effrayer, surtout si on se met à chiffrer la force vive, c'est-à-dire la moitié du carré de ce nombre multipliée par la masse. Cette masse, nous ne pouvons pas la calculer, mais, tout ce que nous savons de l'univers stellaire, nous permet de lui attribuer un nombre égal à plusieurs millions de fois la masse de la terre. Le chiffre auquel on arriverait ainsi dépasse toute imaginabilité.

Il semble donc contraire au bon sens de faire Jpurner la masse totale de l'univers avec une vitesse aussi .extravagante autour du petit globe infinitésimal (en quelque sorte) qu'est la terre, dont la masse est la trois cent vingt-cinq millième partie de notre soleil qui est lui-même un petit astre parmi des millions et des millions d'autres. Tandis que notre raison est bien plus satisfaite à la pensée que la terre tourne autour du soleil en même temps que les autres planètes et que la masse stellaire reste fixe.

Cette deuxième hypothèse s'accorde bien avec les apparences de la rotation de la sphère étoilée sans que nous ayons à nous creuser l'esprit pour trouver par quoi la rotation du firmament pourrait être déterminée.

Cette rotation se comprendrait encore si, quelque part sur Taxe du monde, il se trouvait une masse d'un grand nombre de millions ou peut-être de milliards de fois plus grande que celle de la terre. Or, nous savons qu'une telle masse n'existe pas, car il y a longtemps que les observations astronomiques nous l'auraient révélée ; ou, mieux, on la verrait à l'œil nu.

Déplus, tous les astres qui ont un diamètre apparent tournent autour de l'un de leurs diamètres ; on ne comprend pas pourquoi la terre échapperait à cette loi commune.

Enfin, la terre est aplatie aux pôles comme le serait un globe primitivement fluide et en rotation. Or, la géologie et la physique s'accordent pour attribuer une origine fluide à la matière cosmique.

Mais cet aplatissement, que Ton a mesuré, ne rend pas complètement compte de la diminution de l'accélération de la pesanteur lorsqu'on chemine de l'équateur vers les pôles. Tandis que si l'on attribue à la terre une vitesse de rotation autour de son axe égale à la vitesse de rotation apparente de la sphère céleste, et qu'on compare cet élément aveo l'aplatissement aux pôles on obtient, pour la variation delà pesanteur, une loi identique à la loi observée.

Telles sont les principales raisons que l'on donne en faveur de l'hypothèse de Copernic.

Elles seraient tout à fait probantes si nous savions ce qu'est un point ou un corps fixe dans l'espace ou ce qu'est un mouvement absolu.

Or, ces termes n'ont aucun sens réel, car nous ne connaissons que des mouvements relatifs; et lorsque le corps A se déplace par rapport au corps B, rien ne nous empêche de dire que c'est le corps B qui se déplace par rapport au corps A ; car, il n'y a aucune raison suffisante pour décider entre les deux hypothèses.

De telle sorte que la question de la rotation de la terre paraît indéterminée.

Mais, nous allons voir qu'il n'en est rien et que cette question en comprend en réalité deux : celle de la rotation de la terre autour de la ligne des pôles (mouvement diurne) et celle de la translation autour du soleil (mouvement orbitaire). Il importe de bien les séparer.

Dans rhypothèse où la terre ne tourne pas autour de la ligne des pôles, un corps qui tombe librement jusqu'au sol suit constamment la verticale qui passe par le point initial ; en d'autres termes, la verticale du point de départ et celle du point d'arrivée doivent se confondre. Or, l'expérience prouve qu'il n'en est pas ainsi et que les corps, en tombant, dévient vers l'Est sous l'hémisphère boréal (1).

(2) Expériences de Foucault. — Une autre expérience qui a eu un grand retentissement en son temps et qu'on a refaite solennellement, il y a peu d'années, c'est celle de Foucault, au Panthéon, où, en faisant osciller un pendule attaché au sommet de la coupole, on constate que le plan d'oscillation a une rotation uniforme qui est de 32 heures à Paris, environ. Cette rotation se fait vers la droite en regardant vers le nord. Si Ton fait l'hypothèse de la rotation delà terre avec une vitesse angulaire de 24 heures, qui est celle du mouvement apparent de la sphère céleste, on trouve que la chute des corps se fait exactement dans les conditions de l'expérience ; et si on applique le calcul au pendule de Foucault, le résultat du calcul concorde également avec l'expérience. La vitesse de rotation du plan pendu -

laire est de . ^ , ce qui fait à peu près 32 heures pour

(1) La déviation est eo réalité très faible au point de ne pouvoir être mesurée que pour de grandes hauteurs de chute.

Paris. Il résulte également de la formule que la rotation du plan pendulaire serait exactement de 24 heures au pôle, c'est-à-dire que le plan pendulaire y serait invariable par rapport aux étoiles fixes.

Foucault a encore imaginé un petit appareil appelé gyroscope, qui est un tore mobile autour de son axe de figure et suspendu par son centre de gravité. L'analyse montre que si la terre tourne, il suffit que le mouvement ait lieu autour de Taxe de révolution, dans les conditions indiquées, pour que cet axe soit constamment pointé sur la même étoile : c'est ce que l'expérience confirme également.

Un autre instrument inventé par Foucault, qu'il a appelé boussole gyroscopique, donne à volonté la direction fixe de ]'.aiguille de déclinaison ou de l'aiguille d'inclinaison et le calcul donne, dans l'hypothèse de la rotation de la terre, des résultats conformes à l'expérience. Le baroscope de Gilbert conduit à un résultat analogue.

Si, comme dans la fiction de M. Poincaré, la terre était perpétuellement enveloppée d'une atmosphère opaque qui nous cacherait la vue du ciel, nous conclurions de l'expérience de Foucault au Panthéon que le plan d'oscillation du pendule tourne, sanspouvoir assigner une cause àce phénomène.

Nous ne pourrions pas non plus expliquer la chute des graves vers l'Est ; nous ne pourrions pas davantage trouver la raison de la rotation conique de l'axe de révolution du gyroscope, etc.

Mais, comme dans la réalité nous pouvons rapporter les mouvements aux étoiles, nous sommes libres de conclure de ces expériences que la terre tourne puisque le calcul fait, dans cette hypothèse, conduit à des conclusions qui s'accordent avec l'expérience.

Mais qu'avons-nous prouvé exactement ? Voilà ce qu'il faut examiner d'un peu plus près.

(3) Difficulté de Taccélération centrifugô dans le mouvement relatif. — Parmi les savants, les uns sou-^ tiennent que nous ne connaissons que des mouvements relatifs ou, plutôt, que nous ne pouvons pas même savoir ce qu'il faut entendre par l'expression de mouvement absolu; que le mouvement de rotation ne se distingue pas, à ce point de vue, de tout autre mouvement, et que, par conséquent, l'expression de rotation absolue est videde sens. Ces savants ont raison ; seulement, ils évitent de se prononcer sur la question troublante de la force centrifuge dans un mouvement relatif. Ils renoncent, par là, à donner une explication satisfaisante de l'aplatissement terrestre aux pôles, etc..

D'autres savants, tout en reconnaissant d'une manière générale que nous ne connaissons que du relatif et que, par conséquent, le mouvement absolu nous est inconnu et inconnaissable, croient, cependant, qu'il faut faire une exception pour le mouvement de rotation de la terre, et qu'on peut le traiter comme un mouvement absolu — en tant que rotation — et qu'il y a dans ce mouvement quelque chose qu'ils n'expliquent pas et qui fait qu'il y a une accélération centrifuge, quoique le mouvement soit un mouvement relatif par rapport à des axes fixes passant par le centre du soleil (dont l'un serait, par exemple, parallèle à l'axe du monde et les deux autres dans Téquateur céleste) : ceux-là doivent renoncer à donner une explication correcte des accélérations centrifuges en général. Et il faut bien que cette question soit troublante puisque Nevton l'a longuement discutée (ainsi que nous le montrerons tout à riieurc) sans aboutir à une explication satisfaisante et que la question soit encore un sujet de discussions quotidiennes entre savants !

Pour tâcher de lever cette difficulté, nous allons appro-

fondir la méthode classique d'explication des expériences de Foucault et nous verrons que la difficulté, purement théorique d'ailleurs, provient de ce que Ton reproduit toujours la même démonstration incomplète et qu'il est facile de la compléter et de la rendre correcte.

Nous espérons qu'il résultera de ces explications une appréciation plus exacte des phénomènes et que les contradictions que cette théorie soulève seront complètement levées.

(4) Explication théorique complète des expériences de Foucault. — Voici donc comment on procède en mécanique classique pour établir les équatioijs différentielles du mouvement.

On considère le mouvement d'un point rapporté à un système d'axes entraîné par la rotation de la terre.

Ce mouvement peut être traité d'absolu à la condition de joindre aux forces réelles les forces apparentes. On compose ainsi :

l^'Les forces autres que l'attraction terrestre, qui agissent réellement sur le point dont la résultante est F ;

2° L'attraction terrestre;

3** La force centrifuge ;

(On entend, par là, la force d'inertie d'entraînement du mouvement de rotation. Ce mouvement étant uniforme, l'accélération tangentielle est nulle et, c'est pourquoi l'on ne conserve que la force dite centrifuge.)

4° La force centrifuge composée.

Pour simplifier, nous supposerons F = 0; comme cela a lieu dans les expériences de Foucault, notamment dans le gyroscope.

Or, pour être exact, voici comment il faut procéder.

Pour trouver le mouvement absolu du point (admettons qu'il s'agisse tout simplement d'un corps qui tombe à la

surface de la terre) il faut composer le mouvement d'entraînement, le mouvement relatif et le mouvement complémentaire de Coriolis.

Or, le mouvement d'entraînement n'est pas^ seulement le mouvement de rotation de la terre autour de son axe; il faut y joindre le mouvement orbitaire, c'est-à-dire le mouvement de translation du globe autour du soleil. Les formules à appliquer seront les équations (4) de la page 9J et celles figurant en note de cette même page.

Il faut donc composer les accélérations de ces deux mouvements et, par conséquent, l'accélération résultante qui est l'accélération du mouvement d'entraînement, n'est pas une accélération centrifuge. La seule accélération que l'on puisse qualifier de la sorte est Tune des composantes, celle du mouvement orbitaire de la terre qui est une accélération absolue ; étant entendu que nous n'acceptons cette locution que comme signifiant qu'il s'agit d'un mouvement par rapport aux axes fixes précédemment définis, passant par le centre du soleil.

Seulement il faut remarquer que cette composante est beaucoup plus petite que l'autre. Elles sont Tune et l'autre

de la forme . Mais, dans un cas v est 365 fois plus pe-

tit que dans l'autre (si le point est situé sur l'équateur terrestre) tandis que p est beaucoup plus grand.

Le rapport des v^ est — - — et le rapport des p de

Donc le rapport de l'accélération orbitaire à l'accélération

de rotation est

c'est-à-dire véritablement négligeable dans les calculs.

iiO LES PRINCIPES DE LA. MECANIQUE

On s'explique ainsi que, quoique raccélération de rotalion ne soit pas une accélération centrifuge au point de vue théorique on ne commette, au point de vue pratique, qu'une erreur absolument insignifiante en la considérant comme telle et que nous puissions parler de la force centrifuge terrestre quoique nous sachions que le mouvement de rotation n'est qu'un mouvement relatif. Et c'est ainsi que s'évanouit cette contradiction entre les faits et une théorie correcte et rigoureuse. Nous pouvons continuer à affirmer qu'il n'y a pas théoriquement de force centrifuge dans une rotation relative et, cependant, calculer avec une très grande approximation l'accélération centrifuge d'un point à la surface de la terre.

Ceci fait, pour obtenir le mouvement complémentaire il faudra, après un déplacement infiniment petit de la terre sur son orbite pendant que le point se déplace infiniment

peu sur la verticale, imaginer une rotation instantanée autour d'un axe passant par la position où est arrivé le point dans le mouvement d'entraînement total et qui est à très peu près (d'après ce qui vient d'être dit) celui auquel .il serait arrivé par la rotation seule autour de la ligne des pôles. La rotation instantanée par un axe passant par le point M' devra amener la verticale du point M (trajectoire relative) en coïncidence avec celle du point M'.

L'axe de rotation étant parallèle à très peu près à la ligne des pôles (pour les raisons sus-dites) les composantes de la rotation suivant les trois axes coordonnés choisis dans la démonstration classique seront

Fig. 11.

LA ROTATION DE LA TERRE ili

w cos X y , sinX

(où <^ est la vitesse angulaire de la terre et X la latitude) à fort peu de chose près.

L'accélération complémentaire est donnée par l'expression 2wyr sinot, où w est la rotation terrestre et Vr la vitesse relative ; le maximum de cette expression (sina = i) est égal

14,58 X 10-5 X Vr Dans la chute verticale, elle est

14,58 X iO-5 X 9,8 X ^

t désignant le temps de la chute.

Si t = lO\ c'est-à-dire une hauteur de chute de 490 m. sa valeur est de m., 001428 seulement; c'est-à-dire négligeable. Dans les corps en rotation, comme dans le gyroscope, l'accélération complémentaire s'ajoute à peu près à Taccélération centrifuge.

Restent les forces extérieures. Dans le calcul habituel, on ne fait entrer en ligne de compte que l'attraction terrestre ; il faudrait, pour être exact, la composer avec l'attraction du soleil. Mais, comme dans le calcul précédent, on voit immédiatement qu'elle est négligeable. En effet, elle est par rapport à l'attraction terrestre dans le rapport

M, m masses du soleil et de la terre, r rayon terrestre, R rayon de Torbite.

Or — = 325.000

112 LES PRINCIPES DE LA JfECANIQUE

donc . = environ

Le résultat numérique ne sera donc que très faiblement affiecté de ce raj)port.

Nous pouvons donc nous servir du calcul approché qui figure dans les traités comme d'un calcul rigoureux ; mais, en nous rappelant bien qu'il ne s'agit que d'un calcul approché et que la théorie n'en est qu'approximative.

Lorsque nous étudions un mouvement de rotation quelconque à la surface de la terre, comme celui d'une toupie, d'un gyroscope, du volant d'une machine, etc., nous nous rappellerons que le mouvement angulaire sur l'orbite terrestre n'est que d'un tour par an c'est-à-dire par

365 X 86400 secondes

tandis qu'il est de plusieurs et quelquefois de plusieurs centaines de tours par seconde dans les mouvements terrestres que j'ai énumérés.

On comprend ainsi que, malgré que ce mouvement ne soit qu'un mouvement relatif, l'accélération a toutes les propriétés d'une accélération centrifuge quoique théoriquement elle ne soit pas une véritable accélération centrifuge ; puisque nous ne reconnaissons ce caractère qu'aux accélérations dans les mouvements de rotation autour d'un axe fixe passant par le centre du soleil.

Je viens de paHer de propriétés d'une accélération centrifuge. J'ai en vue l'aplatissement aux pôles que la théorie fait prévoir et que les expériences de Plateau confirment.

C'est ainsi que s'explique l'aplatissement terrestre dans

l'hypothèse d'une iluidilé primitive du globe, qui s'accorde avec les théories astronomiques et géologiques.

Si nous avions une preuve certaine de cette fluidité originaire, la constatation de l'aplatissement de la terre aux pôles serait aussi probante que les expériences de Foucault.

Je voudrais bien me faire comprendre. A première vue les corrections que je fais à la théorie classique, qui n^influent que d'une façon insignifiante sur les résultats du calcul, pourront paraître subtiles. Or, ce n'est pas dans ces petites diff'érences que réside leur importance, mais dans l'explication théorique qui fait disparaître cette contradiction entre la certitude où nous devons être qu'il n'y a que des mouvements relatifs (où, nous le savons, il n'y a pas d'accélération centrifuge véritable) et les preuves physiques que nous avons des effets d'accélérations centrifuges dans tous les mouvements de rotation ayant une vitesse angulaire tant soit peu importante.

Les explications que je viens de donner me paraissent de nature à terminer la dispute tout en nous permettant de conserver nos équations, maintenant que nous savons qu'elles sont vraies à une très grande approximation près et que nous sommes en mesure de calculer le degré d'approximation: et c'est cela l'essentiel.

Nous savons maintenant pourquoi nous pouvons affirmer la rotation de la terre. C'est que ce mouvement, quoique relatif, est une rotation vraie, attendu que l'expérience nous y révèle l'existence d'une accélération centrifuge qui est à très peu près égale à une accélération centrifuge absolue.

Supposons un instant que nous puissions nous transporter sur une étoile. Si le système de Ptolémée était vrai, nous verrions la terre décrire un cercle dans le ciel en 24 heures en nous présentant toujours la même face, pendant que le

soleil décrirait une ellipse annuelle autour d'elle; c'est-àdire que les deux astres paraîtraient marcher de conserve avec un mouvement relatif presque insensible à la vue.

Mais, nous savons, maintenant, que cette hypothèse est inadmissible et que nous verrions, au contraire, le soleil sensiblement fixe (à cause de la distance) et la terre tournerautourde sonaxeen se déplaçanttrès lentement autour du soleil.

Ce qui prouve l'importance de la question de l'accélération centrifuge dont je viens d'esquisser la théorie, c'est qu'un auteur célèbre et aussi pénétrant que Mach dont j'ai fait plusieurs citations importantes au cours de cet ouvrage, n'est pas explicite du tout. Il se borne, en effet, à s'exprimer ainsi :

« Les principes fondamentaux de la mécanique peuvent d'ailleurs être compris de telle manière que des forces centrifuges se manifestent même pour des rotations relatives. »

Cette simple affirmation ne suffit évidemment pas et une démonstration est absolument indispensable. Je pense que celle que j'ai donnée, certainement probante pour la terre, peut suffire pour tous les cas.

Nous pouvons dire, en résumé, que: quoiqii' il soil certain qu'il n'y ait pas d' accélération centrifuge dam le mouvement relatif, au point de vue rigoureusement théorique, néanmoins, en admettant qu' il y en ait une dans les mouvements de rotation à la surface de la terre, pourvu que la vitesse angulaire soit appréciable, on ne commet quUme erreur généralement insignifiante et tout à fait négligeable dans la pratique.

(5) Le vase d'eau tournant — expérience deNeTvton et récit de cette expérience par Newton. — J'ai fait allusion, plus haut, à l'embarras où cette question des accélérations centrifuges mettait Newton lui-même. Pour s'en

rendre compte, il suffit de lire la description qu'il donne de Texpérience d'un vase en rotation dans lequel il mettait de l'eau.

« Si l'on fait tourner en rond un vase suspendu à une corde jusqu'à ce que la corde, à force d'être torse, devienne en quelque sorte inflexible ; si l'on met ensuite de l'eau dans ce vase après avoir laissé prendre à l'eau et au vase l'état de repos, on donne à la corde la liberté de se détortiller, le vase acquerra par ce moyen un mouvement qui se conservera très longtemps ; au commencement de ce mouvement la superficie de l'eau contenue dans ce vase restera plane, ainsi qu'elle l'était avant que la corde se détortillât ; mais ensuite le mouvement du vase se communiquant peu à peu à l'eau qu'il contient, cette eau commencera à tourner, à s'élever vers ses bords, et à devenir concave, comme je l'ai éprouvé et son mouvement s'augmentant, les bords de cette eau s'élèveront de plus en plus jusqu'à ce que ses révolutions, s'achevant dans des temps égaux à ceux dans lesquels le vase fait un tour entier, l'eau sera dans un repos relatif par rapport au vase. L'ascension de l'eau vers les bords du vase marque l'effort qu'elle fait pour s'éloigner du centre de son mouvement et l'on peut connaître et mesurer par cet effort le mouvement circulaire vrai et absolu de cette eau, lequel est entièrement conti^aire à son mouvement relatif, cardans le commencement où le mouvement relatif de l'eau dans le vase était le plus grand, ce mouvement n'excitait en elle aucun effort pour s'éloigner de l'axe de son mouvement : l'eau ne s'élevait pas sur les bords du vase, mais elle demeurait plane, et par conséquent elle n'avait pas encore le mouvement vrai et absolu. Lorsqu'ensuite le mouvement de l'eau vint à diminuer, l'ascension de l'eau vers les bords du vase marquait l'effort qu'elle faisait pour s'éloigner de l'axe de son mouvement, et cet effort,

qui allait toujours en augmentant, indiquait l'augmentation de son mouvement circulaire vrai. Enfin ce mouvement circulaire vrai fut le plus grand lorsque l'eau fut dans un repos relatif dans le vase. •

Après avoir décrit l'expérience, il conclut ainsi :

« Il faut avouer qu'il est très difficile de connaître les mouvements in'ais de chaque corps et de les distinguer des mouvements apparents, quoique les parties de l'espace immobile dans lesquelles s'exécutent les fnouvements vrais ne tombent pas sous nos sens. Cependant il ne faut pas en désespérer entièrement car on peut se servir, pour y parvenir, tant des mouvements apparents, qui sont les diflFérences des mouvements vrais, que des forces qui sont les causes et les effets des mouvements vrais (1). »

Pour répéter l'expérience de Newton, on n'a qu'à jeter dans l'eau quelques fragments de papier afin d'observer leur mouvement relatif par rapport au spectateur, c'est-àdire par rapport à des axes invariablement liés au sol.

Voilà exactement ce que l'on observe. Lorsque la corde commence à se détortiller, les fragments de papier ne bougent pas d'abord. C'est à ce moment que l'eau aie mouvement relatif dont parle Newton ; mouvement qui est relatif à des axes qui seraient fixés au vase, mais qui est le repos par rappojTt au spectateur. Puis, en raison de la viscosité de l'eau, de l'attraction capillaire entre l'eau et le vase et du frottement, le mouvement se communique peu à peu à la masse entière, ce que Ton reconnaît à deux faits : l'un que l'eau, d'abord plane, se creuse de plus en plus en forme de paraboloïde de révolution, l'autre que les petits papiers, d'abord fixes par rapport au spectateur, entrent en

(1) Traduction de M. Emile Bertrand. Mach, cf. p. 121 et 122.

giration et, bientôt, ont une vitesse de révolution égale à celle du vase. Puis, quand la corde achève de se détortiller, le vase rentre au repos relativement au sol (ou au spectateur) et Teau continue à tourner d'une vitesse décroissante ainsi qu'on l'observe par le mouvement des papiers. A ce moment, c'est une véritable rotation apparente par rapport au vase qui est en repos relatif aux axés fixés au sol.

On peut d'ailleurs continueras observations, caria corde se retortille bientôt d'elle-même, le vase se remet à tourner et, bientôt, on voit les papiers s'arrêter et l'eau redevenir plane ; et, à partir de ce moment, les phénomènes de la première expérience reprennent, avec une vitesse un peu moindre, en sens opposé.

Ce qui troublait visiblement Newtoil, c'est que, dans les débuts de la première expérience, l'eau avait un mouvement relatif (par rapport à son vase) qui était maximum tout en restant plane ; tandis qu'elle était creuse dans le mouvement relatif de la fin de l'expérience où la vitesse est moindre. C'est-à-dire que dans le premier de ces mouvements relatifs, elle n'était animée d'aucune force centrifuge, tandis qu'elle l'était dans le second.

De là sa distinction obscure et inexacte entre le mouvement circulaire relatif et le mouvement circulaire vrai et absolu.

(6) Théorie de l'expérience précédente. — L'explication est pourtant bien simple et je m'étonne qu'elle n'ait pas été donnée par Mach à l'ouvrage duquel j'emprunte la citation précédente.

Dans un mouvement relatif de rotation, il n'y a de force centrifuge que si le point que Ton considère est invariablement lié à l'axe de rotation. Dans l'expérience de Newton les seules points animés d'abord d'une accélération cen-

il8 • LES PRINCIPES DE LA MÉGANIQUE

trifuge dans le sens uniquement pratique dont j'ai parlé à propos des expériences de Foucault, sont ceux qui font partie de la matière solide du vase qui contient l'eau. L'adhérence capillaire de Teàu avec les parois et la viscosité du liquide communiquent ensuite ce mouvement, peu à peu, à toute la masse du liquide, et il arrive un moment où toutes les molécules d'eau, ayant perdu successivement leur vitesse relative ont chacune, par rapport au sol, une vitesse correspondante à celle qu'elles auraient si elles étaient invariablement liées à la matière du vase ; c'est-à-dire proportionnelle à sa distance à l'axe. Il faut remarquer que les molécules d'oau ont perdu leur vitesse relative en des temps différents à partir de la paroi du vase où elles l'ont perdu tout d'abord. C'est ce qui fait que la masse d'eau n'a pris que peu à peu une forme de paraboloïde de révolution. Et, finalement, chacune des molécules a la vitesse qu'elle aurait si la masse formait avec le vase un seul corps solide.

Mais c'est la mobilité relative des molécules d'eau les unes par rapport aux autres, qui leur a permis, sous l'action de la force centrifuge, de prendre des positions en rapport à leur distance primitive de Taxe : ne pouvant s'éloigner dans le plan horizontal, limitées qu'elles sont par les parois du vase, elles se sont déplacées verticalement les unes par rapport aux autres.

S*il n'y avait pas de capillarité — c'est-à-dire d'attraction entre la matière du vase et l'eau en contact avec lui — et si l'eau était un liquide parfait et sans frottement avec le vase, ce liquide resterait immobile, par rapport au spectateur, pendant la rotation du vase : il n'y aurait pas de force centrifuge malgré que le mouvement relatif par rapport aux axes fixés au vase fût une rotation autour de son axe.

Dans les cours d'hydraulique, ce cas est exposé d'une ma-

nière qui me paraît inexacte. On admet qu'il est évident qu'en traitant Teau comme un liquide parfait, les molécules d'eau ont une accélération centrifuge dans le mouvement relatif par rapport au vase ; alors que Texpérience de Newton prouve qu'elles n'en ont pas au début de la rotation et qu'elles n'acquièrent précisément une accélération à peu près centrifuge qu'en raison de T imparfaite liquidité de l'eau, c'est-à-dire parce qu'elle est visqueuse et qu'elle produit des frottements contre les parois; et nous avons vu que toutes les molécules n'obtiennent cette sorte d'accélération que lorsque tout mouvement relatif a disparu. Alors, la surface de révolution qui forme la surface libre du liquide peut être considérée comme invariablement liée à la paroi du vase, tant que celui-ci tourne et Ton peut appliquer le théorème des travaux virtuels qui donne une équation différentielle immédiatement intégrable.

Nous n'avons pas évalué la force centrifuge composée, mais le calcul de la chute libre d'un corps à la surface de la terre montre que, pour de petites hauteurs, elle est absolument négligeable. Nous n'aurons donc qu'à composer l'accélération de la pesanteur des molécules tournantes avec la rotation autour de Taxe comme si le mouvement était absolu. Le résultat sera donc sensiblement — je veux dire pratiquement — le même que si les molécules pesantes n'obéissaient qti'à la pesanteur et à une accélération centrifuge due au mouvement de rotation.

C'est ainsi que nous pouvons admettre pratiquement que les mouvements de rotation terrestres engendrent des accélérations centrifuges.

Le mystère de l'expérience de Newton s'évanouit ainsi. Si, dans la première phase de la rotation l'eau n'a pas d'accélération centrifuge dans son mouvement relatif, c'est qu'elle n'a pas eu de communication de mouvement. Elle

i20 LES PRINCIPES DE LÀ MÉGANIQUE

est encore en équilibre par rapport à la terre ; puis, la viscosité et le frottement lui communiquent le mouvement et alors les accélérations quasi-centrifuges commencent à se manifester.

Tout cela, dira-ton, est évident ; et, cependant, cela ne Test pas, puisque le grand Newton lui-même s'y est trompé. Actuellement, en parlant d'accélération centrifuge ou, si Ton veut, de force centrifuge, nous savons ce que cela veut dire et qu'en parlant ainsi nous faisons une petite erreur théorique qui, pratiquement, n'a pas d'importance pour nos calculs terrestres.

Maintenant que nous avons élucidé le prétendu mystère de l'accélération centrifuge nous allons examiner rapidement le second mystère du mouvement de rotation, que nous appellerons le mystère de Vaxe. Dans un mouvement de rotation, il existe une infinité de points en ligne droite dont les vitesses sont infiniment petites; ce lieu géométrique est ce que l'on appelle l'axe. Tous les points infiniment voisins de Taxe tournent et ont cependant une vitesse nulle. D'où une contradiction dans les termes qui provient de ce que le mouvement de rotation tel que nous venons de le définir est une pure abstraction.

Au point de vue mécanique ou physique, la rotation consiste en un glissement relatif de deux surfaces de révolution l'une fixe par rapport aux axes de comparaison, appelée crapaudine, et l'autre mobile appelée pivot; et, celui-ci est invariable lié au corps.

Le pivot se termine par un tronc de cône, un cylindre ou une calotte sphérique.

Pour comprendre la rotation de la terre, il suffit d'imaginer un plan parallèle à l'écliptique et tangent à la terre. Le point de contact sur la sphère décrit un arc de petit cercle.

Si Ton imagine en outre une crapaudine sphérique, dont le contact se limite au petit cercle, et qui participe au mouvement de translation orbitaire, on peut se représenter la rotation comme un glissement de la surface sphérique par rapport à la crapaudine fictive pendant que celle-ci subit un mouvement de translation.

Ce qu'il y a d'extraordinaire, c'est la persistance de cette opinion que le mouvement de rotation n'est pas un mouvement comme les autres, en d'autres termes, qu'il est absolu. J'ai entendu bien des personnes, même instruites dans les mathématiques, partager cette erreur.

Prenons, pour simplifier, un mouvement circulaire dans le plan horizontal. Je vois le point M décrivant un cercle dans le plan; puis, si je m'éloigne tangentiellement à la circonférence d'un mouvement uniforme, le point M continuant à parcourir réellement une circonférence matérielle, tracée à la craie, par exemple, sur le plancher ; si je rapporte le mouvement à ma personne (à des axes fixés à mon corps) et que je cesse de faire attention à la circonférence matérielle, je vois le point M décrire une cycloïde : c'est son mouvement relatif aux axes que j'emporte avec moi. Ce mouvement est réel par rapport à ces axes et si j'emporte avec moi une bande de papier qui se déroule et que le point M soit muni d'un stylet qui marque son empreinte sur la bande de papier, il y aura tracé la cycloïde en question.

J'aurai bien une trajectoire réelle tracée sur le papier, laquelle sera une cycloïde et, cependant, la circonférence matérielle n'aura pas cessé d'exister.

Les deux mouvements, circulaire et cycloîdal, sont aussi réels l'un que l'autre, quoique rapportés à des axes différents et chacun d'eux est relatif par rapport à la terre dont le mouvement est lui-même relatif au soleil, etc. ; etc. Les choses se passeraient exactement de la même façon

pour un mouvement différent du mouvement circulaire, qui ne se distingue par aucune propriété mécanique particulière.

Que la circonférence soit tracée sur une toupie qui tourne ou sur le volant d'une machine en mouvement, peu importe : la question ne change pas de signification.

(On voit ainsi qu'en mécanique les questions les plus élémentaires, comme celle que je viens d'examiner, se mêlent à celles de l'ordre le plus élevé, comme celle de la rotation de la terre ; on voit aussi combien les idées fausses ont d'empire et de persistance et qu'il n'est jamais superflu de les combattre).

Dans le mouvement circulaire que j'ai imaginé, si le point M est relié au centre par un fil, par exemple, le mouvement étant uniforme, il n'aura pas d'accélération tangentielle, mais il aura, suivant le rayon, une accélération qui différera extrêmement peu de l'accélération centrifuge que la théorie lui assignerait si le mouvement était absolu. Cela revient à dire, au fond, qu'il y a une très petite composante tangentielle absolument négligeable, si l'on rapporte le mouvement à des axes passant par le centre du soleil et 3 étoiles fixes. Nous sommes maintenant, en mesure de résumer cette discussion, bien trop longue à mon gré, mais dont le développement est justifié par la nécessité d'expliquer complètement une théorie importante, celle des accélérations centrifuges, qui ne l'a pas été suffisamment jusqu'ici. Nous dirons donc :

Tous les mouvements sont relatif Sy les mouvements de rotation comme les autres; et, parmi les rotations on distingue les rotations vfaies des rotations apparentes en ce qtCil s'y manifeste des accélérations centrifuges. Celles-ci ont lieu chaque fois qu'il y a des points liés à Vaxe géométrique de rotation.

Le mouvement relatif de rotation terrestre sera donc une rotation vraie ; celle de Teau du vase de Newton sera une rotation apparente, dans la première phase du mouvement ; puis, la viscosité et les frottements font naître des accélérations centrifuges, voilà pour la deuxième phase. La troisième où tous les points du liquide ont le même mouvement que s'ils étaient invariablement liés à Taxe, est alors une rotation vraie. Enfin, la quatrième phase commence au moment où le vase est entré au repos relatif par rapport au spectateur; alors, la rotation vraie de l'eau continue en diminuant peu à peu, jusqu'à ce qu'elle-même rentre au repos relatif.

Dans le mouvement circulaire plan, qui est également un mouvement relatif, les points du mobile sont reliés à l'axe, et il s'y développe des accélérations centrifuges.

Toutes ces accélérations centrifuges diffèrent extrêmement peu de Taccélération centrifuge théorique qu'exerceraient des points se déplaçant par rapport à des axes fixes.