LES PRINCIPES DE LA GÉOMÉTRIE

et pourtant deux droites de sens inverses, deux cercles décrits en sens inverses, peuvent être amenés à coïncider. Ainsi la nécessité pratique où nous sommes de faire appel à des données intuitives pour désigner les figures symétriques n*est nullement liée à leur incongruence, et ne prouve pas que, même dans le cas de Fincongruence, nous ne puissions pas discerner les Ogures symétriques sans recours à l'intuition.

Lks principes de là Géométrik.

Au surplus, la reconstruction logique de la Géométrie n'est pas simplement une possibilité idéale, mais un fait réalisé par les travaux des géomètres contemporains ^ Il est donc désormais établi que les démonstrations géométriques sont (c'est-àdire peuvent et doivent être) analytiques, et que la Géométrie peut et doit se déduire tout entière logiquement d'une vingtaine de postulats. Reste à savoir quelles sont l'origine et la valeur des postulats. C'est là une question encore controversée, et que la Logique formelle n'est pas compétente pour résoudre. Ce qui est sûr, c'est que les postulats de la Géométrie ne peuvent pas se déduire, comme les axiomes de l'Arithmétique, des principes de la Logique : et la preuve en est qu'il n'y a qu'une Arithmétique, tandis qu'il y a plusieurs Géomélries (logiquement possibles). Sans doute, chacune de ces Géométries se construit anabjtiquement sur un ensemble de postulats qui la caractérisent et la déterminent entièrement; chacune d'elles se présente comme un système hypothético-déductif, selon l'expression de M. Mario Pieri, c'est-à-dire comme un ensemble de propositions logiquement enchaînées qui dépendent de

i. Voir notamment Mario Pieri : / Principii délia GeomelHa dl posizione, composti in sisiema logico dediiUivo; Délia Geometna elemenlare corne sistema ipotetico deduttivo; ap. Memorie délia R. Accademia dette Scienzedi Torino, série II, t. XLVIll et XLIX (1898, 1899): ei Sur la Géométrie envisagée comme un système purement logique, ap. Bibliothèque du Congrès de Philosophie, t. III. Selon cet auteur, la Géométrie est • Tétude d'un certain ordre de relations logiques », complètement affranchie de l'inluilion, et revêtant la forme « d'une science idéale purement déductive et abstraite, comme l'Arithmétique ••

quelques hypolhèses, et qui seront vraies dans le cas et dans la mesure où ces hypothèses seront elles-mêmes vérifiées. Une fois ces hypothèses admises, la Logique pure règne dans chacune de ces Géométries; au point de vue logique, elles sont équivalentes et indifférentes. Il ne faut pas croire qu'elles soient incompatibles : elles ne le seraient que si elles portaient sur le même objet ou ensemble d'objets (un espace); mais, en elles-mêmes, elles ne portent sur aucun objet et n'en impliquent aucun, puisqu'elles sont purement hypothétiques*. Ce sont des systèmes d'implications formelles qui n'affirment pas plus leurs hypothèses que leurs conclusions. Or ces hypothèses, ce sont les postulats; ceux-ci ne font donc pas partie, à proprement parler, des propositions, des assertions qui constituent chaque Géomélrie : ils sont considérés à titre problématique comme des hypothèses gratuites (nous ne disons pas arbitraires, car il n'y a rien d^arbitraire dans les Mathématiques, en dehors des définitions,., et encore!). En ce sens, les diverses Géométries font partie des Mathématiques pures, ce sont des sciences déductives et purement analytiques, en tant qu'elles portent sur des espaces idéaux et simplement possibles. Chose curieuse, la Géométrie moderne a exactement réalisé l'idéal que Kant avait prévu et défini à vingt-trois ans, dans son premier ouvrage, alors qu'il était encore tout imprégné de pensées leibniziennes : « Une science de toutes les espèces possibles d'espaces serait sans doute la Géométrie la plus haute qu'un entendement fini pût entreprendre^. »

Mais, en un autre sens, la Géométrie cesse d'être une science analytique et une mathématique pure : c'est lorsqu'elle s'applique à un objet particulier, l'espace actuel, et en implique l'existence. A ce point de vue, il n'y a plus qu'une Géométrie admissible, et il faut nécessairement faire un choix entre toutes les Géométries logiquement possibles. D'ailleurs, d'après ce que nous avons dit, faire ce choix se réduit à choisir entre les divers systèmes de postulats qui commandent respectivement

1. Voir la phrase si caractéristique de M. Pasgh, citée p. 156, note 1.

2. Gedanken von der wahren Schàtzung der lebendigen Krafle, § 10 (1747).