V. s e Cls .Oes:a?eNr»s.Ox. seq xt s: o .^ o s

« Si s est une classe telle qu'elle contient 0, et que, si elle contient un nombre entier x, elle contient aussi le suivant de X, alors elle contient tous les nombres entiers. »

Ce dernier axiome est connu sous le nom de principe d'in^ duction complète. Gomme le fait de posséder une propriété équivaut, en Logique, au fait d'appartenir à une classe, ce principe s'énonce souvent comme suit : « Si le nombre possède une certaine propriété, et si, dès qu'un nombre entier la possède, le suivant la possède aussi, tons les nombres entiers la possèdent. » Ou bien, le fait de vérifier une proposition équivalant au fait d'appartenir à une classe, on dit encore : « Si une proposition est vraie pour zéro, et si, dès qu'elle est vraie pour n, elle est encore vraie pour n-hl, elle est vraie pour tous les nombres entiers ».

Il importe de remarquer que l'indépendance mutuelle de ces cinq axiomes a été démontrée par MM. Peano et Padoa, de sorte qu'ils sont tous nécessaires (étant donné le système des notions premières). Et d'autre part, ils sont suffisants pour fonder toute l'Arithmétique. C'est en ce sens qu'on peut dire qu'ils définissent complètement les nombres entiers finis.

On peut simplifier encore les principes de l'Arithmétique ^ En effet, si le système de postulats proposé par M. Pkano est irréductible, le système des notions premières qui lui corres-

1. Padoa, Théorie des nombres entiers absolus, ap. Revue de Mathématiques, t. VllI, p. 45-54 (1902).

pond n*est pas irréductible : on peut déduire des postulats Tégalité suivante, qui peut servir de définition à :

= MN'-»x3[-aN/^2/3 (seq y = j?)] |

« Zéro est le nombre entier qui ne succède à aucun ^ » Âiosi Ton peut définir zéro au moyen des deux autres notions premières, « N » et « seq ». Gela a suggéré à M. Padoa un système plus simple, qui ne comporte que detuc notions premières (« N » et a seq ») et quatre propositions premières, que voici :