THEORIE CARDINALE

serait infini. Puisque l'addition logique n'implique aucun ordre entre les « sommandes », il en sera de même de l'addition arithmétique : la loi commutative est établie par cette simple remarque, et n'a donc pas besoin de démonstration. La différence même de l'addition logique (pour laquelle a 4- a = a) et de l'addition arithmétique (pour laquelle a + « = 2 a) montre que celle-ci repose sur celle-là. En effet, si l'on peut ajouter un nombre à lui-même, c'est en l'incarnant dans deux collections différentes (et disjointes) qui ont ce même nombre. Autrement, on aurait beau répéter le nombre a, on n'obtiendrait jamais, en l'ajoutant logiquement à lui-même, que le nombre a ^ Pour la multiplication, que l'on définit d'habitude par rapport à l'addition (comme l'addition de n nombres égaux à m), M. Whitehead en a trouvé une déQnition purement logique qui est indépendante à la fois de l'idée d'addition et de l'idée d'ordre'. Soit k une classe de classes disjointes et non nulles; on appelle classe multiplicative des k la classe des classes formées en empruntant un élément, et un seul, à chacune des classes k ^. Le nombre cardinal de la classe multiplicative est, par définition, le produit des nombres cardinaux des classes k. Pour éclaircir et justifier cette définition, supposons que la classe k comprenne deux classes seulement, l'une de m, l'autre de n éléments. La classe multiplicative comprend, comme éléments, toutes les combinaisons possibles d'un élément de la !'• et d'un élément de la 2®; or on sait que ces combinaisons sont au nombre de mn (car chaque élément de la ^^ donne lieu à m combinaisons avec les m éléments de la i'% donc les n éléments de la 2® donnent lieu à mn combinaisons en tout). Cette défi-

1. Cette remarque a été faite par Leibniz [Gerh, Phil.y VII, 230, 237, 246). Cf. La Logique de Leibniz, p. 365.

2. On cardinal numbers, ap. American Journal of Mathematics, l. XXIV 0902).

3. Cela suppose que, étant donnée une classe de classes non nulles, on peut extraire de chacune d'elles un élément pour en composer une classe nouvelle. Or M. Russell nous apprend que cette proposition n'a pas encore reçu de démonstration en Logistique. M. Zermelo a dû U postuleppour démontrer que tout ensemble peut être bien ordonné (Afa^A. Annalen, t. 59).

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nition a ceci de remarquable, qu'elle n'implique aucun ordre entre les facteurs (aucune distinction de multiplicande et de multiplicateur)^ de sorte que la loi commutative est évidente, et n'a pas besoin de démonstration*. En outre, elle s'applique à un nombre quelconque de facteurs, lors même que ce nombre serait infini. Enfin elle s'applique également au cas où un ou plusieurs facteurs, ou même tous, sont des nombres inBnis. Elle est donc absolument générale pour tous les nombres cardinaux (nombres essentiellement entiers). D'ailleurs, toutes les définitions précédentes sont également valables pour les nombres finis et infinis, par cela même qu'elles sont indépendantes de ridée d'ordre; et jusqu'ici, nous n'avons pas eu l'occasion ni même le moyen de distinguer les nombre?! finis et les nombres infinis.

§ B. — Théorie ordinale.

Il en va tout autrement dans la théorie ordinale, où roa considère les nombres entiers comme consécutifs, et où on les définit par leur succession même : cette définition ne vaut que pour les nombres finis, et sert à les distinguer des nombres infinis. Voici comment M. Peano llexpose dans son Formulaire ^ : c'est ce qu'on appelle une définition par postulats.

On prend trois notions indéfinissables, représentées par les symboles {zéro), N [nombre entier) et « seq » {le suivant de]- Ces trois notions sont hétérogènes : est un individu, N est une classe, et « seq » est une fonction. On pose en outre cinq axiomes ou postulats^ qui sont les suivants ' :

1. D^ailleurs, on déduit de cette définition le théorème suivant: « SoitK une classe de a classes disjointes, dont chacune comprend b éléments; la somme logique des classes K a pour nombre cardinal le produit axb (tel quMl a été défini précédemment) • (Whitehead, op. cit., prop- 1. 5). On retrouve ainsi la définition vulgaire (non symétrique) du produit de deux nombres entiers.

2. Cf. G. Peano, Arithmetices principia nova methodo exposUa (Turin» Bocca, 1889) ; Sut concetto di numéro, ap. Rivista di Matematica, t. I (1891); Aritmetica générale e Algebra elementare (Turin, Paravia, 1902).

3. Dans tout cet ouvrage, les axiomes ou postulats de chaque théorie seront numérotés en chiffres romains.

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