IV. a 5 n N - N, : a? e 5 . 0» . seq a: e 5 : o . N o

« Si dans une classe s il y a un nombre qui n'est le suivant d'aucun nombre, et si le suivant de chaque 5 est un s, tout nombre est un s. »

Telle est la nouvelle forme du principe d'induction. Ces

1. Traduction littérale : « Zéro est le nombre entier x tel qu'il n'y a P*^ de nombre entier y tel que le suivant de y soit x ». Cette proposition résulte principalement de l'ancien postulat 11 :

a e N . o . seq a - =

« Le suivant d'aucun nombre n'est zéro. »

THÉORIE ORDINALE 57

postulats une fois admis, on peut démontrer qu*il n y a qu*un

seul nombre qui ne soit le suivant d'aucun, c'est-à-dire que

si deux nombres possèdent cette propriété, ils sont égaux

(identiques) :

a, ôeN-N, .o.a^ô

On peut alors appeler zéro ce nombre unique, c'est-à-dire poser la définition (avec :

qui est l'égalité énoncée plus haut, sous une forme différente due à l'introduction du symbole Nj. On peut démontrer dès lors toutes les propriétés de zéro, à commencer par celles-ci :

OcN, a eN . o . seqa- =

qui faisaient partie des anciens postulats, et déduire ceux-ci des nouveaux postulats, ce qui établit l'équivalence des deux systèmes de postulats.

On peut enfin prouver que le nouveau système de postulats est irréductible, comme l'ancien, et que le nouveau système de notions premières (N, seq) est irréductible par rapport au nouveau système de postulats; ce qui constitue la perfection logique d'un système de principes.

Ce perfectionnement des principes de l'Arithmétique n'a pas, toutefois, une importance aussi capitale qu'on pourrait le croire ; il l'aurait, assurément, si l'on n'avait pas d'autre moyen de fonder l'Arithmétique que de l'asseoir sur quelques notions premières et quelques postulats; il ne l'a plus, si l'on peut déduire l'un ou l'autre système de postulats d'une définition explicite du nombre entier, comme l'a montré M. Russell; car alors, ni les notions premières ne sont vraiment indéfinissables, ni les propositions premières ne sont indémontrables, et par suite il n'importe plus autant que leur nombre soit réduit au minimum.

Or cette définition par postulats, suffisante au point de vue mathématique, n'est pas irréprochable au point de vue logique. En effet, comme la définition par abstraction, elle n'assure

ni Vexislence ni Vunicité de Tobjet défini (à Bavoir la suite naturelle des nombres). C'est surtout Tunicité qui ne paraît pas évidente. M. Pkano lui-même remarque qu'il n y aurait rien à changer si Ton remplaçait par 1 : N désignerait alors la suite naturelle des nombres à partir de 1, et non plus à partir de 0. On pourrait de même remplacer par un nombre quelconque; tous les axiomes continueraient à être vérifiés, et par suite toutes les propositions de TArithmétique. On aurait donc une infinité de « suites naturelles » indiscernables, et jouissant des mêmes propriétés formelles.

A cela M. Russell répond fort justement : si toutes ces suites naturelles jouissent des mêmes propriétés formelles, elles sont indiscernables et n'en font réellement qu'une; car qu'importe que le premier nombre s'appelle ou 1, du moment que les symboles et 1 sont indéfinissables? La remarque de M. Peano pèche en ce qu'elle suppose le sens réel de et de 1, alors que ce sens est postérieur à la définition discutée. Néanmoins, elle subsiste tant qu'on prétend définir les trois notions premières (0, N et seq) au moyen des cinq axiomes. Car il peut y avoir une infinité d'entités différentes qui vérifient ces cinq axiomes, et par suite une infinité de sens possibles pour les trois symboles 0, N et seq. Pour mettre fin à cette ambiguïté, il suffit de définir d'une manière univoque ces trois symboles, et alors tous les nombres de la suite naturelle seront, eux aussi, définis d'une manière univoque. C'est ce que Ton obtient en posant les définitions suivantes :

1® « est le nombre cardinal de la classe nulle (définie en Logique) »;

2*^ « 1 est le nombre cardinal des classes singulières (définies en Logique) » ;

3° « Le suivant d'un nombre n est le nombre n + 1, somme arithmétique de n et de 1 » (l'addition arithmétique a été définie en fonction de l'addition logique);

4° « N désigne la classe des nombres entiers finis, c'est-à-dire des nombres qui appartiennent à toute classe s qui contient 0, et qui contient (w + 1) dès qu'elle contient n. »

THÉORIE ORDINALE 59

Ces définitions fixent, comme on voit, le sens à attribuer aux trois symboles indéfinissables, et cela en termes purement logiques. Dès lors, la définition du nombre entier cesse d'être suspendue à trois notions « premières » indépendantes des constantes logiques; elle se réduit à une défînition nominale qui ne contient pas d'autres notions indéfinissables que les constantes logiques. Par là est achevé le rattachement de l'Arithmétique à la Logique, sans adjonction d'aucune notion première nouvelle.

On peut simplifier encore ces définitions*. D'abord, si l'on admet la conception de Frdgb et de Russell, suivant laquelle un nombre cardinal est une classe de classes, la i^' définition pourra s'écrire simplement :

« Zéro est la classe qui comprend la seule classe nulle*. » La 2® défînition peut être supprimée, car elle peut se

déduire de la 3*, qui est générale. Celle-ci s'écrira, suivant la

même conception :

nsN.o.n-f-i = Gis n U3(w - = À • ^'^^ • ^x -w- ixe n).

« n étant un nombre entier fini, n H- 1 est la classe des classes u telles que, si x est un élément d'une classe w (non nulle), la classe des u non égaux à a? a le nombre n ». C'est une définition par récurrence de tous les nombres entiers finis : elle revient à dire qu'une classe a le nombre n H- 1, quand celte classe, diminuée de l'élément x qu'elle contient, a le nombre n. Elle équivaut à la définition progressive de (n -h 1) comme somme arithmétique de n et de i.

Si l'on applique cette définition au nombre 1, en faisant n = 0, on obtient la formule :

1 zzzCls rv M 3 { u- = A : a? e w . Oar . w - i.a? £ 0).