Whitebead, mémoire cité. Section III (due à M. Russell

2. Nous avons parlé précédemment des classes nulles au pluriel, et dit qu'elles sont égaies. Or des classes égales sont identiques. Rigoureusement, nous aurions dû dire qu'il n'y a qu'une classe nulie^ mais qu'elle peut être l'extension de plusieurs concepts différents en compréhension.

Or:

u-ixeO. = .u-ix = a.- = .woix

uoix . = :ytu,Oy .y^x xtu.Ox:ytu.Oy,y^x:. = :xtu,ytu. Ox,y -y^^

La définition de 1 devient donc Gnalement :

1 = Cls n u 3 (u - = j^ : X e u . y 6 u . o,, y. . y = jc).

« 1 est la classe (le nombre cardinal) des classes u (qoq nulles) telles que, si x et ^ sont des éléments de u, ils sont nécessairement identiques. »

On retrouve ainsi la définition logique du nombre i que nous avons donnée dans le Chapitre I (p. 26), déduite de la déûnition générale de (n -h 1) en fonction de n. Il en résulte que 1 est le suivant de dans la suite naturelle. On déduirait de même 2 comme (iH- i) ou suivant de 1; 3 comme (2+1) ou suivant de 2; et ainsi de suite.

On remarquera, en passant, l'avantage de la conception Frege-Russell au point de vue du calcul logique. Au lieu d'avoir à introduire une fonction nouvelle « Num » {nombre cardinal des) comme fait M. Peano*, on exprime simplement la relation d'une classe à son nombre cardinal au moyen du signe général de Tappartenance d'un individu à une classe (e).

Une fois ces définitions posées, on peut démontrer logiqt^^' ment (sans aucun recours à l'intuition) toutes les propriétés des nombres entiers finis, et notamment les cinq postulats de Peano, ou les quatre de Padoa, d*où ces propriétés se déduisent. En particulier, la loi d'induction est contenue dans la définition même du nombre entier fini (4* définition), et en résulte immédiatement^. On démontre par exemple que zéro

1. Peano, Sul concetto di numéro, ap. Revue de Mathématiques , t. I, jji. 258 (1891); Formulaire de Mathématiques^ 1903, §§ 20 et 56.

2. M. Drdekind {Was sind und was sollen die Zahlen, 1881) a cru démon' trer la loi d'induction, mais en admettant que les nombres forment une chaîne, c'est-à-dire une suite douée des propriétés de la suite natureUe (c'est ce que nous appellerons plus loin, avec M. Russell, une progression)' M. J. Keyser a montré que cette assomption est une pétition de principe [Conceming the axiom of infinily and mathematical induction, ap. Bulletin of the American Mathematical Society, t. IX, p. 424, 1903). Il semble

ne peut être le suivant d'aucun nombre entier (d'où Ton conclut que la suite naturelle n'est pas périodique ou fermée); que le suivant d'un nombre est toujours différent de ce nombre (d*où Ton conclut que la suite naturelle est illimitée ou sans fin) ; que le nombre des nombres entiers de à n est le suivant de n, c'est-à-dire (n + 1), d'où il résulte que n est le nombre cardinal des nombres entiers de 1 à n*.

Les déGnitions précédentes relient la théorie ordinale du nombre à la théorie cardinale. Ainsi ces deux théories ne se contredisent nullement, et ne font pas non plus double emploi; elles ont des significations bien différentes, et aussi des extensions très inégales. La seconde présuppose la première : celle-ci définit le nombre cardinal en général, tous les nombres cardinaux possibles; tandis que la seconde définit, dans cet ensemble, une certaine classe, à savoir les nombres finis, et donne le moyen de les définir et de les construire progressivement (par l'addition répétée de 1); par là même, elle leur assigne un ordre. Mais, il importe de le remarquer, cette subordination réfute ipso facto les théories suivant lesquelles le nombre ordinal serait antérieur au nombre cardinal : les nombres seraient définis tout d'abord par leur rang, comme de simples numéros d'ordre, et n'acquerraient leur signification cardinale que par leur application au dénombrement des classes concrètes^.

§ C. -— Les nombres infinis.

La conséquence la plus importante de la distinction de ces deux définitions est la possibilité des nombres cardinaux infinis .

qu'on en puisse dire autant de la démonstration que M. Freoe a proposée de la même loi [Begriffsschrift, prop. 81, 1819, et Grundlagen der Arithmetik, § 80, 1884), car elle repose sur une définition spéciale de « la succession dans une suite ».

1. Cf. Frege, Grundlagen die Arithmetik^ §§ 82-83 (1884). Il convient de rappeler que c'est sur cette propriété que repose l'opération du dénombrement. On voit qu'elle est loin d'être primitive.

2. Telles sont les théories de Hrlmholtz, de Kronegkbr et de M. Dedekind, que nous avons exposées et critiquées dans De VInfini mathématique, 2* partie, liv. I, ch. i et ii.

6S l'idée de nombre

En effet, par cela même que la déQaitioa ordinale est subordonnée à la définition cardinale, elle ne définit qu'une partie des nombres cardinaux, à savoir ceux qu'on peut obtenir en partant de par l'addition répétée de I . Rien ne permet d'affirmer qu'on obtient ainsi tous les nombres cardinaux; on se borne à en ranger quelques-uns en une suite linéaire, et à distinguer les éléments de cette suite dans l'ensemble des nombres cardinaux. Tous les arguments dirigés contre les nombres infinis consistent à supposer qu'ils font partie de cette « suite naturelle des nombres », et qu'ils peuvent être obtenus par l'addition répétée de 1 ; c'est-à-dire à imposer à tous les nombres cardinaux les conditions qui définissent seulement les nombres finis, et à confondre les deux définitions du nombre que nous venons d'exposer.

Il faut bien remarquer, à ce propos, que le principe d'iu" duction est un élément essentiel de la seconde définition, et que par suite il caractérise les nombres finis, de sorte que tous les raisonnements fondés sur ce principe ne valent que pour les nombres finis. Celte conséquence est contraire à l'opiaioa de M. PoiNCARÉ, qui, considérant le raisonnement par induction complète (ou par récurrence) comme « le raisonnement mathématique par excellence », a cru y voir Tintervention de ridée d'infini, parce qu'un tel raisonnement enveloppe « uae infinité de syllogismes », et par suite un principe synthétique « irréductible au principe de contradiction* ». Le raisonnement par induction n'est pas le procédé général de la déduction mathématique, puisqu'il ne s'applique que dans TArithmétique des nombres finis; il n'enveloppe pas une infinité de syllogismes, car au contraire il permet de démontrer une proposition pour tous les nombres entiers finis sans qu'on ait à la

1. H. PoiifCARÉ, Sur la nature du raisonnement mathématique, ap. Bévue de Métaphysique, t. II, p. 371 ; La science et Vhypothèse, p. 19 sqq. Celle remarque a été déjà faite par M. Bdrali-Forti (Le classi jfinite, p. 3, note 5, ap. Atti delta R. Accademia délie Scienzedi Torino, t. XXXII, 15 nov. 1896; et mémoire cité du Congrès de Philosophie). Auparavant, M. Frbgb avail déjà déduit la loi d'induction de principes purement logiques {Begri/fS' schrift, 1819) et établi que les lois de TArithmélique sont analytiques {Di^ Grundlagen der Arithmeiik, 1884).

démontrer séparément pour chacun d*eux; enfin le principe d'induction n'est pas un jugement synthétique, puisqu'il fait partie de la définition des nombres finis, et en exprime une propriété essentielle et caractéristique.

Il est néanmoins facile d'expliquer qu'on ait pu y voir en quelque sorte la définition de l'infini : c'est que, d'une part, ce principe, servant à caractériser les nombres finis, sert ainsi à définir indirectement les nombres infinis; et que, d'autre part, en définissant la suite naturelle des nombres, il définit par là même une collection infinie d'objets*. Ainsi s'expliquent tous les paradoxes du nombre infini : le nombre des nombres finis est un nombre infini*. Par là même, il échappe aux prises du principe d'induction, qui ne vaut que pour les nombres finis. Encore une fois, c'est lui qui permet de démontrer les propriétés générales des nombres finis, malgré leur infinité; les négateurs de rinfini supposent au contraire qu'on ne peut traiter les nombres finis que un à un et successivement, comme si leur ensemble ne pouvait être connu et appréhendé que par une énumération complète. C'est là d'ailleurs une propriété de tous les concepts généraux, qu'ils permettent de traiter à la fois tous les objets qui font partie de leur extension, ces objets fussent-ils en nombre infini. Un concept peut en effet avoir une compréhension finie et une extension infinie, et c'est ainsi que nous pouvons penser des ensembles infinis ^ Certains arguments contre l'infini semblent méconnaître cette vérité, et impliquer qu'un concept qui représente une infinité d'objets doit envelopper une infinité de caractères, ce qui le rendrait évidemment impen-

1. On voit par là à quelle contradiction se condamnent ceux qui nient le nombre inflni en invoquant le principe d'induction, qui implique précisément rinfinité de la suite naturelle.

2' Ce paradoxe ressort du rapprochement des deux propositions suivantes (Whitehead, op, cit., prop. 2.42, 2.43) :

« nombre fini e 9q », « ao e nombre infini»,

Qui n'ont, bien entendu, rien de contradictoire.

3. C'est dans ce sens seulement que le principe d'induction « enveloppe l'infini » ; il n'y a donc là rien qui puisse infirmer son caractère logique et analytique.

sable dans sa totalité. M. Russell distingue nettement deux sortes de régression à l'infini^ Tune légitime, celle qui implique une infinité d'objets ou de conditions extrinsèques; Tautre, illégitime, celle qui ferait dépendre le sens d'une proposition d'une infinité d'éléments, et qui exigerait, par suite, que Ton pensât simultanément une infinité d'idées ^ On peut dire, en gros, que ces deux infinis sont relatifs, le premier à Textension, le second à la compréhension. L'infini de compréhension seul est impensable, mais non l'infini d'extension, du moment qu'il correspond à un concept de compréhension finie. Contester la possibilité de ce fait, serait simplement nier l'existence et la valeur des concepts généraux, qui tous peuvent s'appliquer à une infinité d'objets. Ce serait méconnaître ce fait, qu'une classe peut être déterminée par un concept, et n'est pas nécessairement donnée par l'énuraération de ses éléments'. Au surplus, une classe ne peut pas être définie (ni conçue primitivement) comme la somme logique de ses éléments, pas plus qu'un nombre ne doit être conçu comme la somme de ses unités; car, de même que l'addition arithmétique présuppose l'idée de nombre et porte sur des nombres, l'addition logique présuppose l'idée de classe et porte sur des classes déjà formées'.

Nous venons d'obtenir une définition en quelque sorte négative de l'infini, au moyen du principe d'induction complète qui caractérise les nombres finis. On sait qu'il y a une autre définition de l'infini, plus positive, qui consiste à dire : Une classe (ou ensemble) est infinie quand elle est équivalente à une partie intégrante d'elle-même *. Cette définition (qui est celle de Georg Cantor) peut être considérée comme cardinale, par opposition à la précédente, qui est ordinale. Or on ne peut pas admettre deux définitions différentes de l'infini; il faut en adopter une,