RussELL, op, cit

LES DIMENSIONS. TOPOLOGIE 135

Mais, par cela même, cette définition implique un ordre déterminé entre les dimensions : seules, les suites correspondant à la i''* dimension sont des suites simples; à la 2* dimension correspondent des suites doubles, à la 3* des suites triples, etc. Et c'est une question de savoir si les mêmes éléments (points) peuvent former des suites simples par rapport à la 2*, à la3%... dimension. Cette propriété consiste en ce fait, que le champ d'une relation de relations peut être le champ d'une autre relation de relations; en d'autres termes, le même ensemble qui a pu être ordonné d'abord suivant une dimension, puis suivant une autre, pourra être ordonné d'abord suivant la seconde et ensuite suivant la première ; de sorte que les dimensions seront commutables. Par exemple, un ensemble à 2 dimensions pourra être considéré, soit comme une suite U de suites u^ u^ u,... correspondant à la 1'^ dimension, soit comme une suite V de suites v^ v, v,. . . correspondant à la 2*. Or Tense mble peut être considéré comme constitué par l'entre-croisement des suites de premier ordre : u^ u, Uj... et v^ u, v,..., au lieu d'être constitué par la succession des unes ou des autres. Pour plus de clarté, nous appellerons ces suites des lignes^ et l'ensemble qu'elles composent une surface. Soit donc une surface S qu'on peut constituer, soit avec le faisceau des lignes ti, soit avec le faisceau des lignes v ; ces deux faisceaux, par cela seul qu'ils appartiennent à la même surface, auront les propriétés suivantes ^ :

1^ Tout point de S appartient à une ligne ti et à une ligne v. En effet, l'ensemble S peut être défini, soit comme suite des u, soit comme suite des v : il faut donc que chacun de ses points appartienne à une des lignes u et à une des lignes v.

2® Réciproquement, une ligne u et une ligne v ont toujours un point commun. Car si un point de S appartenait à une ligne u, par exemple, sans appartenir à une ligne v, cela signifierait que l'ensemble des lignes v n'épuise pas l'ensemble des points de S, contrairement à l'hypothèse.

1* F. Enriqubs, Sulle ipolesi che permettono Vintroduzione délie coordU ^Mte in una varietà a più dimensioni, ap. Rendiconti del Circolo matematico d» Palermo, t. XII (1898).

3" Soient v^ v^ deux ligaes du faisceau o, a^ 6, C|... des points de v^y a, b^ c,... les points où v^ rencontre les lignes u qui passent respectivement par a^ b^ c,...; l'ordre des points a, 6, c,... est le même que celui des points a^ b^ Cf... £n effet, il est le même que celui des lignes u correspondantes. En somme, chaque ligne u établit entre les lignes v le même ordre que la suite V, et chaque ligne v établit entre les lignes u le même ordre que la suite U. Chaque ligne u rencontre en un seul point chaque ligne V : on dit que les deux faisceaux sont unisécants.

Cela posé, on peut faire correspondre Tensemble des nombres réels tant aux points d'une ligne u (soit u^) qu'aux points d'une ligne v (soit t^J, de telle sorte que Tordre des nombres soit le même que celui des points (ces deux ordres étant continus). C'est là, comme on sait, le procédé habituel pour représenter les points d'une surface au moyen de deux coordonnées : chaque point de S étant Tintersection d'une ligne u et d'une ligne v, ses coordonnées seront les deux nombres réels qui correspondent respectivement à ces deux lignes. Mais la correspondance ainsi établie n'est pas nécessairement continue ^ pour qu'elle le soit, il suffit d'admettre que la surface S porte un troisième faisceau de lignes w^ qui est unisécant par rapport aux deux premiers u, v. C'est à cette condition que l'ensemble des points de la surface S pourra être représenté d'une manière continue par l'ensemble des systèmes de deux nombres réels, en d'autres termes, que la surface S pourra être représentée par deux coordonnées.

1. Une correspondance entre deux ensembles ordonnés est continuey si à des points voisins de l'un correspondent des points voisins de l'autre; autrement dit, si aux points de l'un qui ont pour limite le point P, correspondent des points de l'autre ayant pour limite le point P' correspondant à P. Par exemple, on peut concevoir sur la surface une ligne qui soit continue en soi, c'est-à-dire un ensemble de points possédant entre eux un ordre continu, mais qui ne soit pas continue sur la surface^ c'est-à-dire telle que les points voisins sur la ligne soient aussi voisins sur la surface. Une ligne sera continue sur la surface, si elle a un point commun avec chaque ligne u et avec chaque ligne y, et si les lignes de chaque faisceau qui passent par certains de ses points ont, dans leur faisceau, le même ordre que ces points (Ekriqubs, op. cit., § 3). Ou voit que cette nouvelle espèce de continuité est encore définie d^une manière purement ordinale.

LES DIMENSIONS. TOPOLOGIE 137

De même, étant donné un ensemble à 3 dimensions défini (à la manière de Riemann) comme une suite simple de surfaces (ensembles continus à 2 dimensions), on peut montrer d'abord qu'il est constitué par 3 faisceaux de surfaces a, p, y (les surfaces a et ^ se coupant suivant les lignes c, les surfaces [i et y suivant les lignes a, et les surfaces y et a suivant les lignes A), car, si a est le faisceau générateur, chaque point d'une surface et, est rintersection d'une ligne h et d'une ligne c de celte surface (dont les faisceaux entre-croisés la constituent), et se trouve en même temps sur une des lignes a qui correspondent à la troisième dimension. Or cette ligne a détermine avec cette ligne b une surface du faisceau y, et avec cette ligne c une surface du faisceau p. Cet ensemble étant ainsi défini, on pourra le représenter d'une manière continue par trois coordonnées (attachées respectivement aux surfaces a, p et y), s'il existe un quatrième faisceau de surfaces 8 qui coupent les surfaces a, p, v suivant des lignes, et les lignes a, 6, c en des points uniques ^

Telle est la condition (sufiisante, sinon nécessaire) pour qu'un ensemble h plusieurs dimensions défini par des suites linéaires continues soit lui-même continu. Il ne suffit pas, en effet, qu'il soit constitué par des faisceaux séparément continus : il faut encore qu'il y ait continuité entre les divers faisceaux, et cette continuité est assurée ou manifestée par celle d'un faisceau supplémentaire qui coupe obliquement les autres, et établit par là entre eux une correspondance pour ainsi dire diagonale.

La correspondance établie entre chaque point d'un ensemble à plusieurs dimensions et le système des nombres réels qui sont ses coordonnées est, sinon l'origine, du moins la raison d'être des nombres complexes. Un nombre complexe à n dimensions, en effet, est, comme on dit, le système de n nombres réels pris dans un ordre déterminé; or, quelle raison aurait-on de former et de considérer de tels systèmes, si ce n'est pour représenter les éléments d'un ensemble à n dimensions? L'ordre

i. EiiRiQUES, op, oit,, § 14.

qu'on leur assigne n*a d'autre but que de déterminer à quelle dimension chacun d'eux correspond. On y arrive aussi en considérant chacun d'eux comme le coefBcient d'une unité spéciale, qu'on peut alors permuter avec les autres (tout en lui conservant son indice ou numéro), et concevoir ainsi les nombres complexes comme relatifs «an unités principales ». Dans tous les cas, ce qui fait l'unité du nombre complexe et le lien entre les nombres réels qui le composent, c'est le fait qu'il représente un élément unique et déterminé d'un ensemble à n dimensions. Il convient de définir plus rigoureusement les nombres complexes; en elTet, dire qu'un nombre complexe est le système de n nombres réels, c'est exclure, semble- t-il, le cas où 2 ou plusieurs de ces nombres seraient égaux (c'est-à-dire identiques). Il vaut donc mieux dire qu'un nombre complexe est une relation counif'orme entre les nombres réels et les n premiers nombres entiers (ou une relation uniforme entre les n premiers nombres entiers et les nombres réels). En effet, dans un nombre complexe (a?,, x„... arj, chaque élément est un nombre réel fonction de son indice (i, 2,... n), et cette fonction est couniforme, c'est-à-dire qu'à chaque indice correspond un seul nombre réel ; mais un même nombre réel peut correspondre à plusieurs indices *.

Nous avons dit que la Géométrie élémentaire n'a pas besoin des notions de ligne et de surface en général. 11 y a pourtant une branche de la Géométrie où l'on considère les lignes et les surfaces comme telles; c'est ce que Riëmann appelait VAnalysis situs, d'un terme emprunté à Leibniz, mais employé dans un autre sens ^. 11 entendait par là l'étude des « grandeurs con-