GÔttinger Nachrichteriy

5. Der Begriff der n-fachen stetigen Mannigfaltigkeit, ap. Jahresbericht der deutschen Math.-Vereinigung, t. VII, p. 50-55 (1899).

LES DIMENSIONS. TOPOLOGIE

voisin qu'on voudra de 0, car ce point devrait se trouver sur CD, ce qui est contraire à l'uniformité de la correspondance (les points de CD correspondant déjà tous aux points de AB ne peuvent pas correspondre à d'autres points du carré). Si donc celle-ci est biuniforme, elle ne peut pas être continuel

D'ailleurs, la correspondance de M. Peano n*est continue que dans un sens; à des points voisins du segment correspondent des points voisins du carré, mais non inversement : à une

Fig. 4.

ligne continue tracée dans le carré correspond sur le segment un ensemble de points qui n'est dense nulle part, et qui par conséquent ne peut être ni continu ni composé d'éléments continus. En un mot, une telle correspondance ne peut pas conserver toutes les relations de voisinage entre les points du carré; elle en conserve quelques-unes (et c'est ce qui fait que la courbe est continue), mais elle en détruit d'autres. Chacun sent, plus ou moins confusément, qu'un point d'une surface a plus de points voisins qu'un point d'une droite. C'est ce fait qu'exprime la démonstration de M. Jurgens.

Ainsi les continus d'un nombre différent de dimensions ne

1. Cf. L. MiLBSi, Sulla impossibile coesistenza délia univociiàe délia continuità nelîa corrispondenza che si puo stahilire fra due spazi continui ad un numéro différente di dimensioni, ap. Rivista di Matematica, t. II, p. 103 (1892).

134 LA GiOMiTRIB

sont équivalents et indisceroables qu'au point de vue da nombre cardinal de leurs éléments; ils se distinguent au contraire les uns des autres par leurs propriétés ordinales. Un segment, un carré, un cube ne diffèrent nullement l'un de Tautre comme classes de points; ils ne diffèrent que par l'ordre et l'arrangement de leurs points, c'est-à-dire en définitive par les relations établies entre eux, puisque tout ordre consiste en un système de relations. Par conséquent, ce qui constitue proprement et essentiellement les continus à plusieurs dimensions (comme le continu linéaire), ce n'est pas un ensemble de points, mais un ensemble de relations. Ce fait a une portée philosophique manifeste; il signifie, en somme, que l'espace n'est pas une simple « multiplicité », mais bien une multiplicité ordonnée; et il justifie la conception de Lbibkiz, qui voyait dans l'espace, avant tout, un ordre.

Voici donc comment il convient de définir les ensembles à plusieurs dimensions. Un ensemble à une dimension est une suite simple, dont les éléments sont des individus absolus (des points). Un ensemble k deux dimensions est une suite double, c'est-à-dire dont les éléments sont à leur tour des suites simples. Un ensemble à trois dimensions est une suite triple, dont les éléments sont des suites doubles; et ainsi de suite. Ou plutôt, puisque toute suite consiste, au fond, en une relation asymétrique transitive qui en ordonne les éléments, un ensemble à une dimension est une relation de ce type dont les termes sont des individus absolus (ne sont pas des relations). Un ensemble à deux dimensions est une relation dont les termes sont euxmêmes des relations, c'est-à-dire une relation de relations. Un ensemble à trois dimensions est une relation dont les termes sont des relations de relations ; et ainsi de suite. L'ensemble sera continu, si chacune des suites ou des relations qui le composent est continue. Et comme la continuité est définie d'une manière purement ordinale, on voit que cette définition n'implique que des notions ordinales, et consiste entièrement en des relations ^