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tiaues », considérées, non dans leurs relations métriques, mais seulement dans leurs relations de lieu et de situation réciproque. Cette définition contient un mot de trop : « grandeur », car précisément VAnalysis situs fait complètement abstraction de la grandeur; et elle ne distingue pas suffisamment cette science de la Géométrie projective, qui est aussi une étude des relations de situation ^ Pour plus de précision et de commodité, nous appellerons cette science la TopologiCy avec certains auteurs allemands et anglais^.

M. ËNRIQUES rappelle la théorie des connexions '; et c'est en effet ainsi que Riemann Ta entendue, pour les besoins de sa théorie des fonctions. Il distingue les surfaces simplement connexes et les surfaces multiplement (doublement, triplement,...) connexes. Une surface simplement connexe est une surface telle qu'une courbe fermée tracée sur elle enferme une portion de cette surface. Si sur une surface on peut mener n courbes fermées qui, séparément ou réunies, n'enferment aucune portion de cette surface, mais qui, avec toute autre courbe fermée, en enferment une portion, la surface est (n-i-i)-uplement connexe. Une surface (n-hl) -uplement connexe se transforme en une surface n-uplement connexe au moyen d'une coupure quelconque, pourvu que celle-ci ne la partage pas, et par suite peut être transformée en une surface simplement connexe

Orts-und Gebietsverhâitnisse der Untersuchung unterwirft. » Théorie der Abelschen Functionen, § 2, ap. Journal de Crelle, t. LIV (1857). Dans sa fameuse dissertation Ueber die Hypolhesen, welche der Géométrie zu Grunde liegen (185&), Riemann fait allusion à la même science (1, § 1), et dit que l'on n'y peut comparer deux grandeurs entre elles que si Tune est partie de l'autre. Ce qu'il entend par les « relations de région » (GebietsverhâltDisse), c'est donc la relation de contenant à contenu ou de tout à partie, qui est la relation fondamentale du Calcul des classes. Ainsi conçue, la Topologie se confondrait avec la théorie des ensembles.

1. En fait, c'est à la Géométrie projective ou à la Géométrie descriptive que correspondait VAnalysis situs de Leibniz.

2. 11 importe d'avoir un mot simple, pour pouvoir en former des dérivés (topologique). Pour la même raison, il conviendrait d'avoir un mot simple pour désigner la théorie des ensembles (et pouvoir traduire, par exemple, l*adjeclif allemand mengentheoretisch),

3. Questioni riguardanti la GeometHa elementare, art. I, § 4 (Bologna, i^O);Sullaspiegazionepsichologica dei postulati délia Geometria, ap. Rivista filosofica (mars-avril 1901).

au moyen de n coupures. Cela posé, l'objet essentiel de la Topologie, ce sont les connexions des surfaces et, plus généralement, les relations de contiguïté et de continuité entre les points des lignes et des surfaces, abstraction faite de la grandeur de ces figures et même de leur forme. Plus précisément, les connexions sont les invariants des transformations biuniformes et continues, de sorte que ces transformations sont les seules qu'admette la Topologie. Qu'on imagine un écbeveau de fils emmêlés et noués, une ou plusieurs surfaces tordues et enchevêtrées, et qu'on les déforme sans rien couper ni déchirer (comme si ces fils et ces surfaces étaient réalisés en une matière parfaitement ductile et élastique), sans rien coller non plus : on aura une idée des transformations qui caractérisent la Topologie. Peu importe que les lignes soient droites ou courbes, que les surfaces soient planes ou gauches; peu importe leur grandeur relative, on peut les étendre ou les rétrécir indéfiniment, pourvu qu'on n'y introduise aucune solution de continuité (ni aucune connexion nouvelle). Le nœud gordien était un problème de Topologie; tous les nœuds, toutes les « questions d'Orient» en sont d'autres*. Qu'un homme quia les mains liées puisse retourner son gilet et le mettre à l'envers, c'est une proposition de Topologie.

Mais cette science n'a pas seulement pour objet l'étude des connexions ^, et d'ailleurs la notion de connexion ne peut être considérée comme primordiale. En effet, cette notion se déûnit, on l'a vu, au moyen de celle de courbe fermée] or celle-ci est déjà fort complexe et difficile à définir. Elle donne lieu à une proposition fondamentale de la Topologie, que voici : « Une

1. Une fameuse question de Topologie est le problème des ponts de Kœnigsberg, traité par Euler : la ville de Kœnigsberg comprenant une île reliée par plusieurs ponts aux rives de la Pregel, il s'agissait de décrire un chemin Terme qui passât une seule fois par chacun de ces ponts. Voir Rouse-Ball, Problèmes et récréations mathématiques^ Paris, Hermann, 1898.

2. Par exemple, la question du nombre des couleurs nécessaires pour distinguer les régions d'une carte géographique relève de la Topologie. Voir P. Wernickk, Ueber den kartographischen Vierfarbensatz, ap. Math. Annalen, t. LVill (1904), où Ton trouvera une bibliographie de cette question curieuse.

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courbe plane fermée partage son plan en deux régions séparées, c'est-à-dire telles que toute ligne continue qui joint un point de Tune k un point de l'autre la traverse nécessairement (a au moins un point commun avec elle) ». Cette proposition semble élémentaire, et a longtemps été admise comme évidente; pourtant (ou plutôt à cause de cela), elle n'a été démontrée que par M. Jordan *; et ce seul fait montre quelle différence il y a entre la rigueur logique et la soi-disant évidence de l'intuition. Encore la démonstration de M. Jordan a-t-elle paru insuffisante à plusieurs mathématiciens, parce qu^elle postule la vérité de la proposition pour le cas d'un polygone simple ^. Il est vrai que, comme on le verra (p. 172,) on peut la démontrer rigoureusement dans ce cas, au moyen des axiomes de la Géométrie descriptive. On peut aussi, comme fait M. Vkblen, la démontrer d'une manière générale en donnant de la courbe simple une définition non-métrique, ce qui a l'avantage d'affranchir la Topologie de la Géométrie métrique. Enfin M. ScflôNFLiES a remarqué que cette propriété, qu'une courbe fermée partage le plan en deux régions séparées, n'est pas réciproque, c'est-à-dire qu'il y a des ensembles de points qui partagent le plan de cette manière et qui ne sont pourtant pas des courbes continues^; et il définit comme suit la courbe simple fermée : « C'est un ensemble de points C parfait, qui partage le plan en deux régions E (extérieure) et I (intérieure), telles que : 1^ Deux points quelconques, soit de E, soit de I, peuvent être joints par une ligne simple qui ne rencontre pas C; 2° Tout point de C peut être joint à un point quelconque de E ou de I par une ligne simple contenue tout entière dans E ou dans I ». Des conditions de l'énoncé il résulte qu'un point de E et un point de I peuvent être joints par une ligne simple qui n'a qu'un point commun avec C. Le même auteur démontre que