Cours d"* Analyse, 2* éd., t. I, p

2. Oswald Veblen, Theory on plane curves in non-metrical Analysis situs, ap. Transactions of the American Math. Society, t. VI, p. 83 (1905).

3. Ueber einen grundlegenden Satz der Analysis Situs, ap. Gôttinger ^achrichien, 1902; Beitrcige zur Théorie der Punktmengen, ap. Math, An- «ûfen, t. LVIII (1904).

us LA GÉOMÂTRIE

toute courbe simple fermée peut se transformer en une circonférence par une transformation biuniforme et continue; de sorte qu'elle est « semblable » ou « équivalente » à une circonférence au point de vue topologique ^ C'est bien là la notion qu'on s'en fait ordinairement; mais on voit combien il est difficile de définir logiquement une notion qui parait si simple pour Tintuition.

Telle est la théorie où les notions de ligne en général et de surface en général sont fondamentales. Elle est fort difficile et fort peu avancée, et, comme on voit, elle n*a rien de commun avec la Géométrie élémentaire. Bien plus : elle procède moins de la Géométrie que de l'Analyse, car. si nous ne nous trompons, elle est née surtout de la considération des « chemins » que Ton fait décrire aux variables complexes, et des n surfaces de Riemann » imaginées pour servir de carrière aux diverses « branches » des fonctions. Ainsi c'est la théorie purement analytique des fonctions qui a donné naissance à ces problèmes de situation et de configuration, qui semblent ne relever que de l'intuition.

§ B. — Géométrie projective.

Si on laisse de côté la Topologie, cette branche isolée et encore peu développée de la Géométrie, dont il convenait cependant de marquer la place et le rôle, toutes les théories géométriques se rattachent à trois corps de doctrines qui sont : la Géométrie projective, la Géométrie descriptive et la Géométrie métrique. Ces trois Géométries ne se distinguent pas par leur objet (qui est ou peut être le même), mais par leurs axiomes et surtout par leurs notions premières. Toutes les trois ont pour notion première commune le point. Mais la Géométrie projective lui adjoint, comme seconde notion première, la droite projective (illimitée); la Géométrie descriptive, le segment rectiligne; et la Géométrie métrique, la distance, la

1. Cf. G. GoMBBBiAC, Géométrie et Métrique f ap. Revue des Idées (15 mai 1905).

GÉOMÉTRIE PROJECTIVE 143

coDgruence ou le mouvement. Nous allons exposer tour à tour les principes de ces trois doctrines.

La Géométrie projective étudie exclusivement les propriétés projectives des figures, c'est-à-dire celles qui ne varient pas quand on transforme une figure par projection. L'instrument de toute projection est la ligne droite indéfinie; c'est ce qui explique le rôle fondamental qu'elle joue dans cette science. La Géométrie projective s'appelle encore la Géométrie de position, mais cette dénomination est trop large : elle s'appliquerait presque aussi bien à la Topologie et à la Géométrie descriptive. De toutes les positions relatives possibles, la Géométrie projective ne considère que les alignements, c'est-à-dire le fait que plusieurs points appartiennent à une même droite. Pour donner un aperçu de la constitution logique de cette science, nous allons énumérer les postulats qui suffisent à la fonder, et énoncer les principales propositions qui en découlent ^

Les premiers postulats de la Géométrie projective sont relatifs à la notion indéfinissable de point :

« I. Les points forment une classe. »

« II. Il y a (au moins) un point. »

« III. Si a est un point, il existe un point différent de a. »

i. L exposé qui suit est le résumé du mémoire de M. Pieri : IpHncipii delta Geometria di posizione composti in sistema logico deduttivo^ ap. Memorie délia R. Accademia délie Scienze di Torino, ser. Il, t. XLVIII (1898). Cf. les mémoires suivants du même auteur : Suiprincipii che reggono là Geometria di posizione et Sugli enti primitivi délia Geometria projettiva astratta, ap. Atti délia R. Accademia délie Scienze di Torino, t. XXX- XXXII (1895-97); Un sistema di postulati per la Geometria projettiva astratta degV iperspazi, ap. Revue de Mathématiques, t. VI (1896); Nuovo modo di svolgere deduttivamente la Geometria projettiva, ap. Rendiconti del R. Islituto Lombarde, t. XXXI (1898). Dans ce dernier mémoire, M. PiBRi construit toute la Géométrie projective sur les deux notions premières de point et d'homographie, de même qu'il construit la Géométrie métrique sur les deux notions premières de point et de mouvement (v. § D). Enfin le même auteur a réduit en forme logique la Géométrie de la droite, ou de l'espace conçu comme ensemble de droites (d'après PLiJCKER) : Sui principii che reggono la Geometria délie rette, ap. Atti délia fl. Accademia di Torino, t. XXXVI (1901); et la Géométrie projective complexe, c'esl-à-dire comprenant les éléments dits imaginaires (points, droites et plans) : Nuovi principii di Geometria projettiva complessa, ap. Memorie délia R, Accademia di Torino, t. LV (1905).

La ligne droite est, avons-nous dit, la seconde notion indéfinissable. Soient deux points a et 6, il y a une entité qu'on nommera la droite a6, et que caractérisent les postulats suivants :

« IV. Si a et 6 sont deux points différents, la droite ab est une classe. »

« V. Chaque individu de cette classe est un point. »

« YI. Si a et 6 sont deux points différents, la droite ah est contenue dans la droite ba »; d'où il résulte immédiatement qu'elle coïncide avec elle (c'est-à-dire lui est identique); ainsi la droite projective n'a pas de sens déterminé.

« VII. Si a et 6 sont des points distincts, a appartient à la droite aô » ; et par suite b lui appartient aussi.

« VIII. Si a et 6 sont des points distincts, la droite ab contient au moins un point distinct de a et de b. »

On remarquera l'utilité de ces postulats existentiels (II, III, VIII) : dans une théorie rigoureusement logique, on ne considère pas un seul point sans en avoir démontré ou postulé l'existence. Or, pour démontrer l'existence d'un point, il faut avoir quelques postulats existentiels qui affirment que tel point existe si tels autres points existent. Il ne s'agit d'ailleurs que d'une existence logique et idéale; cela revient, au fond, à dire que tel point est déterminé par tels autres points.

« IX. a et 6 étant des points distincts, et c un point de la droite ab distinct de a, b est un point de la droite ac. j>

« X. Dans la même hypothèse, la droite ac est contenue dans la droite ab, » D'où il suit immédiatement que ces deux droites coïncident (sont identiques). On peut démontrer alors que, si c et rf sont deux points distincts de la droite ab, celle-ci coïncide avec la droite cd] autrement dit, qu'une droite est déterminée par deux quelconques de ses points*.

On définit alors la relation d'alignement : Trois points sont collinéaires, s'ils appartiennent à une même droite. Trois points sont nécessairement collinéaires, si deux d'entre eux coïncident (sont identiques).

1. Ainsi celte propriété de la droite, qui lui sert souvent de définition, peut se déduire de postulats plus simples.

GÉOMÂTRIE PROJECTIVE 145

Pour sortir de la droite, et pouvoir considérer plusieurs droites, il faut admettre le postulat existentiel suivant :

« XI. a, b étant des points distincts, il existe au moins un point n'appartenant pas à la droite ab. » D*où Ton peut conclure qu'il existe plusieurs droites (six au moins, en vertu du postulat VIII).

Pour arriver à la notion de plan, il faut encore un postulat :

« XII. a^byC étant 3 points non coUinéaires, a' un point de bc autre que b et c, b' un point de ac autre que a et c, les droites aa! et bb' se rencontrent. » C'est encore un postulat d'existence : « il existe un point commun aux droites aa' et bb' ». Ce postulat aura pour conséquence que deux droites quelconques d'un même plan se rencontrent toujours (ce qui exclut la géométrie d'Ëuclide et celle de Lobatchevskij). Si Ton désigne par abc l'ensemble des points situés sur quelque droite passant par a et par un point de 6c, on peut démontrer, au moyen du postulat précédent, les identités suivantes :

abc = acb = bac = bca=zcab = cba,

La figure (ensemble de points) ainsi déterminée sera par définition le plan abc (l'ordre de ces trois lettres étant indifférent).

Si d, e, f sont 3 points non coUinéaires d'un plan abcy celui-ci coïncide avec le plan def. Autrement dit, un plan est déterminé par 3 de ses points non coUinéaires. Il en résulte immédiatement qu'un plan contient toute droite dont il contient deux points. Ainsi se trouve démontrée la propriété dont on se sert ordinairement pour définir le plan.

Introduisons ici une notation dont nous allons avoir besoin. De même que la droite déterminée par deux points s'indique comme le produit de ces points, le point déterminé par deux droites (c'est à-dire leur intersection) s'indique comme le produit de ces droites. Ainsi [ab, cd) représente le point d'intersection des droites ab et cd *.

On peut maintenant définir le quatrième harmonique de trois

1. Cette notation provient du Calcul de l'extension de Grassmann.

CouTURAT. — Les principes des mathématiques. 10

points collinéaires a, 6, c, ou le conjugué harmonique de c par rapport à a et 6. C'est un point x de la droite ab, tel qu'il existe deux points distincts u ,t) n'appartenant pas à ab et alignés avec c, et que les points d'intersection {au. 6t>), {av. bu) sont alignés avec X (fig. 5). Comme on voit, cette définition n'implique aucune notion ou relation autre que celles que nous avons admises ou définies; elle est purement projective et ne contient aucun élément métrique. Le point x s'obtient, en partant des points a, 6, c, au moyen d'une construction que la définition indique et qu'on appelle le quadrilatère de Slaudt^. Il faut

Fig. 5.

remarquer que la définition susdite n'implique nullement que le conjugué harmonique existe, ni qu'il soit unique. On montre d'abord qu'il existe; mais, pour pouvoir démontrer qu'il est unique, il faut sortir du plan et admettre le postulat suivant:

« XIII. a, b, c étant des points non collinéaires, il existe au moins un point qui n'appartient pas au plan abc. »

Ce postulat, joint aux précédents, permet en effet de démontrer le théorème des triangles homologiques (dit de Desargues), dont dépend le théorème de l'unicité du conjugué harmonique. C'est un fait très remarquable que le théorème des triangles homologiques dans le plan, et par suite l'unicité du quatrième harmonique, qui s'obtient par une construction plane, ne puissent se démontrer qu'au moyen du théorème des triangles

1. Quand on considère le quadrilatère (ou mieux quadranglé) complet a'uh'v, ses côtés opposés se coupent en a et 6, et ses diagonales coupent la droite ab aux points c et x, conjugués harmoniques par rapport à a et fr.

GÉOMÂTRIE PROJECTIVB 447

bomologiques dans f espace, c'est-à-dire d'un appel à la 3* dimension.

La théorie des groupes harmoniques demande qu'on postule eDcore une proposition qui ne résulte pas logiquement des précédentes, à savoir :

« XIV. ttj 6, c étant des points coUinéaires distincts, leur quatrième harmonique ne coïncide pas avec c ^ »

Ce postulat équivaut à la proposition suivante' : « a, b, Cy d étant les points d'un plan non coUinéaires 3 à 3, les points {ab. cd), (ac. bd) et (ad. bc) ne sont pas coUinéaires. » (Pig. 6.)

\CLcLbc

Fig. 6.

Jusqu'ici on a considéré la droite projective dans sa totalité, sans y discerner aucun ordre ni aucune partie. M. Pieri a feussi à y définir le segment par des notions purement projec- "ves, c'est-à-dire au moyen de la relation harmonique. Voici comment : « a, 6, c étant 3 points coUinéaires, le segment abc 68t l'ensemble des points dont chacun est le conjugué harmo- ''^^ue de b par rapport à deux points distincts qui sont eux- Diémes conjugués harmoniques par rapport à a et c. » Autre- "■^cnt dit, soient y et z deux points conjugués harmoniques par ^^pport à a et c; le conjugué harmonique de b par rapport ^y et z appartiendra, par définition, au segment abc,

.•. ®st M. Fano qui a prouvé la nécessité de ce postulat, c'est-à-dire son Jjaependance logique par rapport aux précédents : Sui postulati fonda- (18ûi? ^^^^« Geometria projettiva, ap. Giomale di Matematiche, t. XXX

• 11 équivaut encore à cette proposition plus simple : « 11 y a une droite ^ contient plus de 3 points. » (Russell, op. cit., p. 385, note 1.)

Pour expliquer cette définition en termes ordinaires, il faut concevoir la droite projective comme une ligne fermée; par suite, deux points distincts a, c y déterminent deux segments (comme sur une circonférence) ; pour distinguer ceux-ci, il faut donner un 3*^ point b distinct des deux premiers ; le segment abc sera celui des deux segments déterminés par aetc qui contient le point 6. Les points a et c en seront les extrémités^; il esta remarquer qu'ils n'appartiennent pas au segment abc^ tandis que le point b lui appartient. Le segment est symétrique par rapport à ses exlrémités, c'est-à-dire que le segment abc est identique au segment cba.

Le segment ainsi défini jouit de la propriété projective, ou, comme on dit, se conserve par projection. Gela veut dire exactement ceci : Soient a, b, c, d A points d'une droite^ a', b\ d, d les projections des précédents sur une autre droite (c'est-àdire que les droites aa', bb'y cc\ dd' concourent en un même point). Si le point d appartient au segment abc^ le point i! appartiendra au segment a'b'c\ et réciproquement.

On peut maintenant définir la relation de séparation entre 4 points d'une droite projective*. Si le point d n'appartient pas au segment abc et ne coïncide ni avec a ni avec c, on dira que les points a et c séparent les points b et d. On peut démontrer que cette relation est symétrique, tant par rapport aux deux points de chaque couple que par rapport aux deux couples. Celte relation est projective, comme le segment même.

D'ailleurs, la notion de segment projectif n'est qu'une autre forme de la notion de séparation : car la définition même du segment repose sur cette propriété connue de la relation de séparation : « Si deux couples de points tous distincts sur une droite se séparent mutuellement, il n'existe pas de couple de points conjugués harmoniques par rapport à chacun des deux premiers ; et réciproquement. »

1. Il est à peine besoin de faire remarquer que cette explication suppose connu Vordre des points de la droite, ordre que la définition en question a au contraire pour but de déterminer.