LES

Jusqu'au milieu du xix® siècle, la Logique et les Mathématiques avaient vécu absolument distinctes et même séparées. La Logique était restée confinée dans le domaine étroit que lui avait assigné Aristote, à savoir dans l'étude des relations d'inclusion ou de prédication entre les concepts généraux et abstraits; et, malgré les tentatives de Jungius, de Leibniz et de leurs disciples, qui avaient avorté ou restaient ignorées, rien ne pouvait faire prévoir une renaissance ou un nouveau développement de la Logique. De leur côté, les Mathématiques (ce pluriel est significatif) formaient une collection de sciences spéciales d'un caractère technique : science du nombre, science de la grandeur, science de l'espace, science du mouvement, dont l'unité, assez vague, consistait uniquement dans la communauté de méthode. Mais, chose curieuse, cette méthode déductive était absolument inconnue de la Logique formelle, qui pourtant prétendait étudier toutes les formes de la déduction, de sorte qu'il s'était constitué implicitement une Logique mathématique tout à fait différente de la Logique classique (i ^Uogistique) ; et les philosophes, pour expliquer cette dualité. Si contentaient d'opposer entre elles la Logique de la qualité è la Logique de la quantité, sans chercher le lien qui devait

CouTURAT. — Les principes des mathématiques. ^

les unir, en tant que branches d'une seule et même Logique.

Cet état de choses a complètement changé pendant la seconde moitié du xix^ siècle. D'une part, les mathématiciens furent pris de scrupules logiques inconnus de leurs prédécesseurs; ils se mirent à analyser leurs méthodes de démonstration, à vérifier Tenchaînement de leurs théorèmes, à rechercher les hypothèses ou postulats qui se glissaient subrepticement dans leurs raisonnements, enfin à dégager les principes ou axiomes d'où partaient leurs déductions et d'où dépendaient toutes leurs théories. Le Calcul infinitésimal, dont les principes avaient gardé quelque chose de paradoxal et de mystérieux, fut enfin fondé sur la théorie rigoureuse des limites; la théorie des fonctions, où avaient longtemps régné des préjugés d'origine intuitive, fut épurée et approfondie. La Géométrie et la Mécanique, dégagées autant que possible de l'intuition, devinrent des « systèmes hypothético-déduclifs » fondés sur un certain nombre d'axiomes ou de postulats d'où tout le reste se déduit logiquement. Enfin, en creusant pour ainsi dire les fondations de leur science, et en reprenant tout l'édifice en sous-œuvre, les mathématiciens furent amenés à constituer deux théories nouvelles qui devaient désormais servir de base à toutes les autres : la théorie des ensembles et la théorie des groupes; autrement dit, la science des multiplicités et la science de l'ordre. Ainsi il apparaissait que les sciences du nombre et de la grandeur n'étaient pas primordiales, mais reposaient sur des doctrines d'un caractère plutôt logique que mathématique, et sur des notions qui n'avaient plus rien de quantitatif.

D'autre part, la Logique, grâce à des mathématiciens, sortait vers le même temps de sa torpeur séculaire : tout d'abord, elle s'apercevait qu'elle n'avait même pas exploré et défriché tout le champ où Aristote l'avait enfermée; et dans le domaine circonscrit des relations d'inclusion entre concepts, elle découvrait bien d'autres formes de déduction que les trop fameux modes du syllogisme (dont quatre se trouvaient d'ailleurs faux). Empruntant à l'Algèbre, non pas ses principes, mais sa méthode et son symbolisme, la Logique formelle se constituait pour la

première fois sous la double forme d*un Calcul des classes et d un Calcul des propositions qui offrent entre eux une surprenante analogie. Puis elle remarquait que l'esprit humain, soit dans la vie quotidienne, soit dans les sciences, considère et manie bien d'autres relations que les relations d'inclusion entre concepts : et elle entreprenait de classer et d'analyser toutes ces relations en étudiant les propriétés formelles qui les rendent susceptibles de déduction. Élargissant ainsi indéfiniment son horizon auparavant si borné, elle devenait la Logique des relations. Et comme les relations les plus simples et les plus élémentaires se trouvent dans les théories mathématiques, elle s'appliquait à analyser et à vérifier l'enchaînement des propositions mathématiques, et même à démontrer les prétendus axiomes en les ramenant à des principes purement logiques. Dès lors, le pont était jeté entre les deux domaines, autrefois séparés, de la Logique et de la Mathématique. Le Calcul des classes apparaît comme la partie la plus élémentaire de la théorie des ensembles; et la Logique des relations est le fondement indispensable de la théorie des groupes et de la théorie des fonctions. Ainsi s'est consommée de nos jours l'union, pour ne pas dire la fusion de la Logique et de la Mathématique; on ne peut plus discerner où finit la Logique, où commence la Mathématique, et on ne peut plus distinguer ces deux disciplines qu'en disant, avec M. RusselP, que la Logique constitue la partie générale et élémentaire de la Mathématique, et que la Mathématique consiste dans l'application des principes de la Logique à des relations spéciales ^.

Bien entendu, il ne s'agit dans tout ceci que de la Mathématique pure, conçue, suivant l'expression de M. Pieri, comme un « système hypothético-déductif », c'est-à-dire comme un ensemble de propositions dont la vérité est subordonnée à certaines hypothèses dont elles se déduisent logiquement. On sait que tout théorème mathématique est soumis à des hypothèses ou condi-