Op. cit,, p

2. Les rapports de la Logique et de la Mathématique seront précisés dans notre Conclusion.

tiens explicites ou implicites : si ces hypothèses sont vraies (dans tel cas particulier], le théorème est vrai (dans le même cas). Gela montre bien le caractère logique des vérités mathématiques, et l'espèce de valeur qu'elles possèdent, et qu'on peut appeler : une nécessité hypothétique. On comprend dès lors la définition par laquelle débute l'ouvrage de M. Russell : « La Mathématique pure est Tensemble des propositions de la forme : « p implique q », JQ et q étant des propositions qui contiennent les mêmes variables et qui ne contiennent que des constantes logiques » ^ En d'autres termes, la Mathématique pure est un ensemble d'êmp/tca^iow5/brme//e5 indépendantes de tout contenu. Et cela justifie cette assertion paradoxale et humoristique, émise ailleurs par le même auteur : « La Mathématique est une science où Ton ne sait jamais de quoi l'on parle, ni si ce qu'on dit est vrai^ ». En effet, on ne sait pas de quoi l'on parle, puisque la matière des implications est indéterminée ; et l'on ne sait pas si ce qu'on dit est vrai, puisque la vérité des confiéquences dépend de la vérité des hypothèses, laquelle dépend à son tour du contenu qu'on leur donne ^. Les Mathématiques appliquées consistent précisément à appliquer ces implications formelle^ à des données matérielles; dès lors, les thèses des théorèmes deviennent vraies dans les cas et dans la mesure où leurs hypothèses sont vérifiées par ces données; mais les théorèmes eux-mêmes sont toujours vrais, en tant qu'implications formelles, qui, comme on le verra, ne supposent ni la vérité de leurs hypothèses ni celle de leurs thèses. Les Mathématiques appliquées comprennent la Géométrie et la Mécanique, en tant qu'elles portent sur l'espace et le monde réels (ou plutôt actuels,

1. Ces expressions de constantes et de variables seront expliquées dans la suite.

2. Récent work on the principles of Mathematics, ap. The înternational Monthty, vol. IV, n°l, p. 84. Burlington, juillet 190i.

3. Il ne faut pas en conclure, comme les sceptiques contemporains se sont empressés de le faire, qu'il n'y a pas de ve'iHté en Mathématique, car, quelle que soit la vérité des hypothèses et des conséquences, les implications dont elles font partie restent vraies, et sont par suite absolument vraies. Le sens commun a donc raison de considérer les propositions mathématiques (entendues en ce sens) comme le type de la vérité universelle et nécessaire.

comme on dit en anglais), mais non en tant qu'elles spéculent sur un espace idéal et un monde possible. De même, elles comprennent TArithmétique des nombres « concrets », c'est-à-dire toutes les applications des nombres an dénombrement d'objets réels ou à la mesure de grandeurs réelles. Telle est la distinction nette et logique des mathématiques pures et des mathématiques appliquées, qu'on a contestée récemment à tort, nous semble -t-il*.

Cette fusion progressive de la Logique et de la Mathématique pure, qui a été implicitement et presque inconsciemment réalisée par les travaux de Boole, de Schrôder et de Peirce, d'une part, de Weierstrass, de Georg Cantor et de Peano, d'autre part, constitue évidemment une révolution dans la philosophie des mathématiques, et par suite dans la théorie de la connaissance. Elle était mûre pour un exposé systématique qui fût la synthèse de tous ces travaux épars. Cette synthèse, que nous attendions impatiemment depuis quelques années, elle existe aujourd'hui. L'ouvrage de M. Russell résume et coordonne les résultats des recherches critiques des mathématiciens modernes, et les théories nouvelles qui sont nées de ces recherches. C'est une reconstruction logique de toute la Mathématique pure au moyen de la « Logistique » de M. Peano, complétée et perfectionnée par l'auteur dans le domaine encore neuf de la Logique des relations ^ Cet ouvrage est en somme destiné à justifier la thèse de l'identité fondamentale de la Logique et de la Mathématique, en montrant que toutes les propositions de celle-ci reposent sur neu/* notions indéfinissables et sur vingt principes indémontrables, qui sont les notions premières et les principes de la Logique môme.

A vrai dire, la démonstration formelle de cette thèse (au moyen de la Logique symbolique, seul procédé de raisonnement rigoureux et sûr) se trouvera dans le second volume, que M. Russell

1. L. Weber, Vers le positivisme absolu par Vidéalismey p. 242 sqq. Paris, Alcan, 1903.

2. Voir Russell, Sur la Logique des relations, avec des applications à la théorie des séries, ap. Revue de Mathématiques de G. Peano, t.VII, p. H 5-147. Turin, 1902.

prépare avec la collaboration de M, Whitehead, Tauteur d*un beau Traité d'Algèbre universelle^. Mais elle se trouve déjà implicitement dans les travaux de M. Peano et de son école, et notamment dans le Formulaire de Mathématiques qui en est le principal fruit.

C'est celte démonstration que nous voulons exposer sommairement, sous une forme sans doute moins rigoureuse, mais aussi moins technique et plus accessible aux philosophes non initiés à la Logistique. Mais auparavant il importe d'énumérer les principes et les notions premières de la Logique, puisque ce sont les principes et les notions premières de toute la Mathématique, et qu'en tout cas il faut, pour pouvoir juger cette thèse, connaître la méthode par laquelle elle paraît pouvoir se justifier. Au surplus, nous avons dit que la Logique classique était radicalement insuffisante à rendre compte des raisonnements mathématiques ; il est donc intéressant et même nécessaire de donner un aperçu succinct de la Logique moderne, qui, tout en englobant la Logique classique, est infiniment plus vaste et plus compréhensive, et qui est la vraie logique des mathématiques.

1. A treatise on Universal Algebra, t. I (Cambridge, 1898). Cf. notre article sur L Algèbre universelle de M, Whitehead, ap. Revue de Métaphysique et de Morale, t. VIII, p. 323-362 (mai 1900).