SUR LA NOTION DE GROUPE

L'élément a? est a ~* o ft ; rélément y est : é o a ~ *. C'est ce qu'on exprime en disant que les deux opérations inverses de o sont toujours possibles et univoques.

Telle est la définition d'un groupe relatif à l'opération o; car un ensemble d'objets ne forme un groupe que par rapport à une opération déterminée *. Ainsi la notion de groupe comprend à la fois la notion d'ensemble ou classe, et la notion d'opération ou combinaison. Mais qu'est-ce qu'une opération^ et qu'y a-t-il au fond de cette notion manifestement anthropomorphique, empruntée par métaphore au domaine de l'activité pratique? On n' « opère » pas réellement sur des objets abstraits ou des entités (des nombres, par exemple) qui sont immuables de leur nature. On ne peut même pas dire qu'on les « combine » comme on combine des éléments chimiques. Quand on dit que la « combinaison » de a et de 6 a pour « résultat » c, on fait simplement correspondre au couple des objets a et b l'objet c; autrement dit, on établit une relation entre les 3 objets a, 6, c. En définitive, une opération (binaire) n'est pas autre chose qu'une relation (ternaire) entre ses données et son résultat. On peut donc formuler la définition du groupe en termes de la Logique des relations *.

1. Il importe de bien distinguer Topération par rapport à laquelle le groupe est défini, des objets qui sont les cléments du groupe, lorsque ces objets sont eux-mêmes des opérations. Dans ce cas, Topëration constitutive du groupe consiste en général à effectuer successivement deux des opérations qui sont les éléments du groupe; c*est-à-dire, plus explicitement, si la première opération, eiïectuée sur l'objet a, a pour résultat 6, la deuxième opération sera eiïectuée sur 6, et aura pour résultat c. Le « produit » de ces deux opérations sera l'opération unique qui, effectuée sur a, donnerait pour résultat c. D'ailleurs, les opérations élémentaires du groupe sont des opérations unitaires, des correspondances d'un objet à un objet (des relations binaires, en général biuniformes), tandis que l'opération par rapport à laquelle le groupe est défini est une opération binairi3, à savoir le produit relatif de deux des relations susdites.

2. C'est ce qu'a fait M. Huntingtor {toc. cit.) d'après une suggestion de M. BÔCHEB {Bulletin of the American Maihemalical Society, t. XI, p. 126; 1904-05).