QUELLES SONT LES MATHÉMATIQUES PURES

analytique ou synthétique (c^est une question de mots), sa nature et sa forme ne peuvent influer en aucune manière sur le caractère analytique ou synthétique des propositions qu'on en déduit, ou plutôt qu'on déduit par son moyen. Et dans tous les cas, dans la mesure où une définition joue le rôle d'une proposition, ce n'est et ne peut être jamais qu'une proposition identique *.

Ces principes un fois établis, nous allons rechercher si les principes et les démonstrations des Mathématiques sont vraiment synthétiques. Toutefois, il importe d'observer que l'opinion de Kant parait avoir varié au sujet des démonstrations. Dans la Méthodologie transcendentale, nous Tavons vu, il soutient que la mathématique seule a des démonstrations, c'est-à-dire des preuves apodictiques, en tant qu intuitives : et il refuse le nom de démonstration aux déductions purement logiques (analytiques) tirées des seuls concepts. Au contraire, dans les Prolégomènes (§ 2 c) et dans Y Introduction de la Critique (B. 14), il déclare que « les raisonnements mathématiques procèdent tous suivant le principe de contradiction (ce qu exige la nature de toute certitude apodictique) ». Il est difficile de ne pas trouver là une contradiction. Mais il est aisé de voir que dans ce dernier passage il fait une concession imprudente à ceux qui soutiennent que les jugements mathématiques sont analytiques, et c'est la Méthodologie qui contient sa véritable pensée, sa doctrine réfléchie et systématique.

Quelles sont les mathématiques pures?

Il y a une autre question préliminaire, plus difficile à résoudre : c'est de savoir quelles sont les sciences que Kant a

1. Cette théorie de la définition mathématique a été exposée avec beaucoup de rigueur par Frege, Grundlagen der Arithmetik (1884), et Grundgesetze der Arithmetik, t. I, § 27 (1893), t. II, §§ 55-67 (1903). Elle a été aussi formulée et appliquée par M. Peaso dans son Formulaire de Mathématiques. Cf. PsANo, Les définitions mathématiques, et Burau-Forti, Sur les différentes méthodes logiques pour la définition du nombre réel, ap. Bibliothèque du Congrès de Philosophie, t. III.

considérées comme faisant partie de la Mathématique pure, et quel est leur rapport aux deux formes a priori de la sensibilité qui en sont selon lui le fondement. La pensée de Kant est singulièrement flottante sur ces deux points, pourtant essentiels. Dans la Dissertatio de 1770, Tespace était l'objet de la Géométrie, le temps celui de la Mécanique pure; et ces deux sciences faisaient partie de la Mathématique pure. Quant au nombre, c'était un « concept intellectuel », qui se réalisait in concreto au moyen de l'espace et du temps*. Dans V Esthétique transcendentale, Tespace est le fondement des vérités géométriques, mais on ne dit pas de quelle science le temps est le fondement; les principes apodictiques fondés sur cette forme a priori sont les suivants : « le temps n'a qu'une dimension; des temps différents ne sont pas simultanés, mais successifs » (§4, 3). Tels sont les « axiomes du temps » selon la l*"' édition de la Critique; ils n*ont, comme on voit, rien de commun avec les axiomes de l'Arithmétique. Dans 1' « explication transcendentale » ajoutée à la 2® édition (§ 5), Kant est un peu plus explicite : le temps fonde la possibilité de tout changement, eu particulier du mouvement (changement de lieu), et par suite de « la science générale du mouvement, qui n'est pas peu féconde », et qui est déclarée être une connaissance synthétique a priori. Cette conception est d'ailleurs conforme à la thèse soutenue par Knnt au sujet du principe de contradiction, à savoir que ce principe devient synthétique dès qu'on y introduit la notion de temps en l'énonçant comme suit : « 11 est impossible qu'une chose soit et ne soit pas en même temps » (A. 152, B. 191)^. Mais elle s'accorde mal avec ce que Kant

1. « Hinc Mathesis pura spatium considérât in Geometria, tempus in Mechanica pura. Accedit hisce conceptus quidam, in se quidem inleUectualis, sed cujus tamen actualio in concreto exigit opitulantes noliones teraporis et spatii (successive addendo plura et juxta se simul ponendo), qui est conceptus numeri, quem tractât Arithmetica. • De mundi sensibilis et intelligibilis forma et principiis, § 12. Cf. R. Seydel, Kants synthetische Urtheite a priori, insbesondere in der Mathemaiik, ap. Zeitschrifl fur Philosophie, t. 94 (1888); E. Fine, Kant als Mathematiker, In. -Dissertation (Ërlangen, 1889).

2. Cf. Esthétique transe, § 5 : « Nur in der Zeit kônnen beide contra-