Comme l'a fort bien remarqué Michablis, op. cit

LES JUGEMENTS ARITHMÉTIQUES SONT-ILS SYNTHÉTIQUES? 255 Les JUGEMENTS ARITHMÉTIQUES SONT-ILS SYNTHÉTIQUES?

Gomme Kant ne prouve sa thèse que par des exemples, nous sommes obligé de discuter ses propres exemples. Raisonnant sur l'égalité particulière 7 H- 5 = 12, il affirme que «le concept de la somme de 7 et de 5 ne contient rien de plus que la réunion des deux nombres en un seul », que cette réunion n'implique nullement la pensée de ce nombre unique; qu'on peut analyser tant qu'on veut le concept de cette somme sans y trouver le nombre 12; et qu'il faut pour cela « sortir » de ce concept et recourir à l'intuition, par exemple en comptant sur ses doigts (B. i5). Ce sont là autant d'affirmations gratuites, qui ne seraient justifiées que dans une conception grossièrement empiriste de l'Arithmétique*. Tout au contraire, le concept de la somme de 7 et de 5, par cela même qu'il implique la réunion des deux nombres (ou, plus exactement, de leurs unités) en un seul nombre, contient ce nombre même, attendu que celui-ci est déterminé par là d'une manière univoque; entre 7 -4- 5 et 12 il y a, non seulement égalité, mais identité absolue ^. Cette proposition résulte donc, d'une part, du principe d identité, d'autre part, de la définition de la somme et des nombres 7 et 5, et par conséquent elle est analytique ^ Il

1. Il importe de remarquer que Kant prend pour exemple une vérité arithmétique particulière (ou mieux : singulière) pour laquelle sa thèse paraît plus plausible. Or on pourrait supposer que sa thèse peut être vraie pour les propositions singulières, mais qu'elle est fausse pour les propositions générales qui constituent proprement les théorèmes de la science des nombres. C'est pour ceux-ci que Kant aurait dû justifier sa thèse. Mais peut-être les considérait-il (à tort) comme des théorèmes d'Algèbre. Dans ce cas, nous renvoyons le lecteur à ce que nous disons plus loin de TAlgèbre.

2. C'est ce qu'ont déjà soutenu Ziumbrhann, Ueber KanVs mathemaiischer Vorurtheil und dessert Folgen, ap. SitzungsbetHchte der k, Akademie der Wissenschaften zu Wierif philos.-hist. Klasse, séance du 11 janv. 1871 (t. 67, p. 7-48), etR. Seydel, Kants synthetische Urtheile a priori^ inshesondere in der Mathematik, ap. Zeitschrift fur Philosophie y t. 94 (1888).

3. Voici d'ailleurs la démonstration formelle de celte proposition : Définitions :

8 = 7 + 1,9 = 8 + 1,10 = 9+1,11=10 + 1,12=11+1. {Tournez.)

n'est pas besoin de recourir à aucune intuition, que ce soit celle des doigts de la main, de jetons ou de cailloux, pour démoatrer en toute rigueur cette proposition*. Kant prétend que le caractère synthétique des vérités arithmétiques apparaît encore mieux lorsqu'il s'agit de nombres élevés (B. 16). Mais cet argument se retourne contre lui. En effet, il est pratiquement impossible d'avoir l'intuition précise et complète de nombres de Tordre des millions, et jamais on ne pourrait les manier ni les calculer exactement s'il fallait recourir à l'intuition. Ce qui est vrai des grands nombres l'est aussi des plus petits, et par conséquent ce n'est pas l'intuition, mais le raisonnement, qui nous permet d'affirmer que 2 et 2 font 4.

Telle n'est pas l'opinion de Kant, qui considère au contraire toutes les vérités arithmétiques singulières de ce genre comme des propositions « immédiatement certaines », « évidentes » et « indémontrables )* (B. 204-205). Il en résulte cette conséquence fort choquante, qu'on devrait admettre une infinité d'axiomes, puisque, de telles vérités sont en nombre infinie

En vertu de la déflnition de la somme, on a :

Donc

Or :

Donc

On remarquera que nous avons constamment procédé par substitution de termes égaux, c^esl-ài-d'ire identiques, de sorte que notre démonstration est plus simple et plus analytique qu'aucun syllogisme.

1. J. Pommer (Zu7* Abwehr einiger Angriffe auf KanVs Lehre von der synthelischen Natur mathematischer Urtheile) invoque les procédés pédagogiques de l'école primaire. Cet argument se retourne contre lui : car à l'école primaire aussi on invoque l'intuition pour établir la loi commutative de la multiplication (au moyen d'un tableau). Or on peut (quoi qu'en dise cet auteur) démontrer logiquement la loi commutative, sans appel à l'intuition, de môme qu'on démontre logiquement 7 + 5 = 12.