Remarque faite par W. Brix, op. cit., ch. m

Rant a aperçu la difficulté, et il s*en tire en appelant ces vérités, non pas des axiomes, mais des « formules numériques », parce qu'elles ne sont pas générales (comme les axiomes de la Géométrie). Quel que soit le nom qu'il leur donne, il n'en est pas moins vrai qu'il admet une infinité de propositions premières synthétiques et irréductibles, ce qui est peu conforme à ridée d'une science rationnelle. Mais alors, comment se fait-il qu'on ait besoin du calcul, et parfois même de longs calculs, pour les découvrir ou les démontrer? Si les vérités arithmétiques étaient réellement intuitives, il ne serait pas si difficile de s'assurer qu'un nombre donné est premier, ou de vérifier (je ne dis pas : de démontrer) le fameux théorème de Goldbach : « Tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers ». En réalité, il y a là une erreur fondamentale sur la nature des vérités arithmétiques singulières, qui sont toutes démontrables; les seules vérités primitives ou indémontrables de l'Arithmétique sont des propositions générales ou axiomes, dont précisément Kant ne s'occupe pas.

11 ne suffit pas de réfuter une erreur, dit-on souvent, il faut l'expliquer. Celle de Kant s'explique par sa conception étroite et simpliste de la Logique ^ Il dit, dans le dernier passage cité : « Nous pourrions tourner et retourner nos concepts tant que nous voulons, nous n'arriverions jamais à trouver la somme par la simple décomposition de nos concepts.^. » (B. 16). Mais qui nous dit que tous les concepts sont « composés » de concepts partiels, de telle sorte qu'il suffise de les « décomposer » pour découvrir toutes leurs propriétés? C'est là une hypothèse gratuite de la vieille Logique, qui peut s'appliquer à certains concepts empiriques, mais qui précisément ne s'applique pas

1. Cette conception se manifeste déjà dans Topuscule sur Les Quantités négatives (1763) par la distinction des raisons logiques, conséquences du principe d'identilé, et des raisons réelles, dont Kant donne un exemple dans celte phrase : « Vous pouvez analyser tant que vous voudrez le concept de la volonté divine, vous n'y trouverez jamais un monde existant, comme s'il était contenu en elle et posé par cUe en vertu de l'identité » (Ed. Hart., H, 104). On remarquera l'analogie formelle de celte phrase avec celles de la Critique où il est question de jugements synthétiques (B. 15; B. 144, etc.).

CouTURAT. — Les principes des mathématiques. 1 '

258 LA PHILOSOPHfB DES MATHÉMATIQUES DE KANT

aux concepts mathématiques ^ La même exigence presqae naïve se manifeste dans un autre passage : « Je ne pense le nombre 12 ni dans la représentation de 7, ni dans celle de 5, ni dans la représentation de la réunion {Zusammensetzung) des deux » (B. 205). Que le concept de 12 ne soit contenu ni dans 7, ni dans 5, cela est trop évident; mais qu*il ne soit pas contenu dans la a réunion » de 7 et de 5, cela est justement la question : et cela dépend de ce qu'on entendra par « réunion ». Kant a si bien senti la faiblesse de cet argument, qu'il ajoute une parenthèse o(i il paraît faire une distinction subtile entre « réunion » et « addition » : « Que je doive penser le nombre 12 dans Vaddilion des deux^ il n'en est pas question ici » (il nous semble, au contraire, que c'est bien là la question), « car dans un jugement analytique il s'agit seulement de savoir si je pense réellement le prédicat dans la représentation du sujet. » On croirait, au premier abord, que Kant se réfugie ici dans une considération d'ordre psychologique, en distinguant ce qu'on doit penser et ce qu'on pense réellement : à quoi l'on répondrait que, s'il ne pense pas réellement le prédicat dans la représentation du sujet, c'est qu'il ne se représente pas réellement celui-ci : il est clair que si Ton se contente d'une pensée symbolique (comme disait Leibniz), c'est-à-dire de la représentation des signes 7, -h, 5, on n'aura pas par là l'idée du nombre 12; mais si l'on pense réellement 7 unités d'une part, 5 unités d'autre part, et qu'on les pense réellement comme réunies en un seul nombre (ce qui est le sens du signe -h), on pensera par là même nécessairement le nombre 12 ^

1. Si Ton veut voir combien la Logique classique se montre insufûsanle en présence des jugements malhématiques les plus simples, on n'a qu'à lire l'opuscule déjà cité de J. Pom3ier. On y trouvera cet argument, que le prédicat, dans 7+5 = 12, n'est pas 12, mais • égal à 12 », attendu que la copule logique n'est pas * égale -, mais * est • ; d'où il suit que la converse de 7 4-5 = 12 n'est pas : 12 = 7+5, mais bien ; « Quelque chose égale à 12 est la somme de 7 et de 5 ». Un pareil commentaire de la thèse kanlicnne équivaut à une réfutation par l'absurde. Cf. W. Reichardt, ci'è plus bas (p. 265, note 1).

2. L'argument suivant de Heymans semble être une parodie de celui de Kant : L'idée de 12 n'est contenue ni dans 7, ni dans 5, ni dans+; car aucune de ces notions ne dit qu'on peut prolonger la suite naturelle des

Mais tel n'est pas le véritable sens de cette proposition, comme le montre son analogie de forme avec une proposition que nous avons commentée précédemment (B. i7). Elle signifie en réalité (malgré l'emploi équivoque et irrégulier que Kant fail, dans la même phrase, des termes de « pensée » et de « représentation ») : « Ce n*est pas en réunissant dans la pensée les deux concepts de 7 et de 5 que j'obtiens le concept de 12; c'est en les construisant dans V intuition, et en réunissant dans l'intuition les deux collections correspondantes pour en former une seule. » Mais, d'abord, si Kant admet réellement que les nombres sont des concepts, ce ne peuvent être que des concepts de collections; le nombre 7 est le concept d'une collection de 7 objets, et ainsi de suite; mais il ne faut pas le confondre avec une collection particulière, de même qu'en général il ne faut pas confondre un concept avec l'un quelconque des objets auxquels il s'.applique. Or, si l'Arithmétique porte réellement sur les concepts de nombres, et non sur des collections particulières (comme des tas de cailloux), l'addition des nombres doit être une combinaison conceptuelle, et non pas intuitive; sans doute, elle peut être représentée dans l'intuition, comme les nombres eux-mêmes, mais cette opération a une valeur générale et formelle, elle est indépendante de la nature des objets qui servent à la représenter, c'est donc une opéralion idéale, et non intuitive. D'ailleurs, la liaison qu'elle établit entre les deux nombres, ou plutôt entre leurs unités, est de la même nature que la liaison qui existe entre les unités de chaque nombre, et qui constitue ce nombre; il serait donc absurde d'admettre un lien idéal entre les unités constituantes de chaque nombre, et de n'admettre qu'un lien intuitif entre les unités respectives des deux nombres. Si donc on considère laddition comme une opération essentiellement intuitive, il faut soutenir que les nombres eux-mêmes n'existent que dans

nombres au delà de 7, et que par conséquent. 12 existe (Noch einmal : analytischy synthetisch, ap. Zeitschnft fur Philosophie^ t. 96,1889). Assurément : mais cette prolongation indéfinie est « contenue » dans la notion même de nombre entier, puisque le principe d'induction fait partie de sa définition.

rintuition (ce qui est la thèse des empirisles), et que les « concepts » de nombres se réduisent à des mots ou à des signes vides de sens*.

Le raisonnement précédent répond à l'argument assez étrange contenu dans cette phrase ajoutée à la 2"* édition de la Critique: « Que Ton doive ajouter 5 à 7, je Tai sans doute pensé dans le concept d'une somme = 7 H- 5, mais non pas que celte somme soit égale au nombre 12 » (B. 16). Kuno Fischer a commenté ce passage d'une manière qui en constitue la meilleure réfutation : «7-1-5, le sujet de la proposition, dit : Additionne les deux grandeurs! Le prédicat 12 dit qu'elles sont additionnées. Le sujet est un problème , le prédicat est la solution *. » C'est là une conception logique bien bizarre : où a-t-on jamais vu qu'un problème soit le sujet d'une proposition, et que sa solution en soit le prédicat? Un problème est une proposition (interrogative ou problématique), et sa solution est une autre proposition (assertorique ou apodictique). D'ailleurs, comment passe-t-on des données d'un problème à la solution? Ce ne peut être que par un acte d'intelligence, par un raisonnement, et non par une opération mécanique ou par une intuition. Mais c'est là une façon illégitime de dramatiser la question, car c'est faire intervenir des considérations psychologiques qui n'ont rien à faire ici. Peu importe qu'une proposition se présente à l'esprit comme un problème ou comme un théorème; peu importe le temps qu'on met à la vérifier ou la manière dont on y parvient; tout cela est affaire personnelle. D'abord, un membre d'une égalité mathématique ne peut pas être un problème; c'est celte égalité tout entière qui est, ou un problème, ou une solution, au point de vue psychologique'; et, logiquement, c'est une vérité éternelle qui ne dépend pas des conditions dans lesquelles nous parvenons à sa connaissance *. Mais ce qu'il y

i. Nous avons été heureux de retrouver cette objection dans Yaihlnoer, Commcntar, 1, 296, notel.