LE NOMBRE ET LA GRANDEUR

repose sur la répétilion successive, par suite sur le temps et sur la synthèse de rhomogène dans le temps (c'est-à-dire le nombre). On se demande alors comment on a jamais pu arriver à la notion de grandeur continue. Car de deux choses Tune : ou bien c'est le nombre qui « imite » la grandeur, suivant le mot de Pascal, et alors on ne peut expliquer la généralisation du nombre (les nombres fractionnaires, négatifs, irrationnels) qu'en supposant que nous avons une notion primitive et originale de la grandeur, indépendamment du nombre *; ou bien nous ne pouvons concevoir la grandeur que par l'intermédiaire (le schème) du nombre, et alors, pour expliquer la continuité de la grandeur, il faut définir les nombres fractionnaires, négatifs et irrationnels d'une manière autonome, sans faire appel à ridée de grandeur ni à l'intuition spatiale. Cette dernière alternative est parfaitement possible*, mais elle réfute par son existence même la thèse kantienne, car elle aboutit à faire reposer toute la mathématique sur des fondements analytiques. Tout au moins, elle oblige à abandonner cette conception empiriste du nombre, suivant laquelle il devrait nécessairement s'incarner dans des collections d'objets visibles et palpables, car celle-ci ne permet évidemment pas de dépasser les nombres entiers cardinaux.

En tout cas, nous pouvons de toute cette théorie retenir cet aveu : que la notion de grandeur est, en soi, distincte de l'espace et du temps, puisque ces deux formes d'intuition ne font que lui prêter des images ou des schèmes '. Or la mathématique est, selon Kant, la science de la grandeur en général; donc, comme telle, elle est indépendante de l'espace et du temps;

i. C*est ce que nous avons essayé de soutenir dans notre livre De Vinfini maihf^maiique.

2. C'est la théorie de M. Kussell, suivant laquelle toutes les espèces de nombres sont susceptibles d'une définition purement logique.

3. Dans les Prolégomènes (§ 20) Kant dit que « ce principe : « La ligne • droite est le plus court chemin d'un point à un autre », suppose que la Ugne est subsumée sous le concept de grandeur, qui certainement n'est pas une siniple intuition, mais qui, au contraire, a son siège dans le seul entendement.... » Gomment cette thèse s'accorde-t-elle avec l'affirmation, que l'espace et le temps sont les seules grandeurs originaires, et que la mathématique pure ne s'applique qu'à l'espace et au temps?

CouTURAT. -- Les principes des mathémaliques. 18

elle ne repose pas sur Tiatuition, mais sur le concept a priori de grandeur. Seulement, on peut en dire autant du nombre, car il résulte de la discussion précédente que, si le nombre trouve dans l'espace et dans le temps des schèmes appropriés, il est en lui-même un concept distinct et indépendant des deux formes d'intuition, par cela seul qu*il peut iadifféremment être « construit » dans Tune et dans l'autre. Concluons donc que les sciences du nombre et de la grandeur sont des sciences rationnelles pures, indépendantes de l'intuition.

Kant lui-même a parfois considéré le nombre comme un concept intellectuel, non seulement dans sa Disserlatio de 1770, que Ton pourrait récuser ', mais dans la Critique de la Raison pure. Il dit en effet ceci : « La synthèse pure, représentée d'une manière générale, donne le concept intellectuel pur. Mais j'entends par cette synthèse celle qui repose sur un principe d'unité synthétique a priori : ainsi notre numération (cela se remarque surtout dans les nombres élevés] est une synthèse diaprés des concepts^ parce qu'elle a lieu suivant un principe d*unité commun (par ex. le système décimal] » (À. 78, B. 104). Ce passage semble bien impliquer que le nombre, produit d'une synthèse pure, est un concept intellectuel pur; ce qui parait contredire la théorie du schématisme. On pourrait expliquer ce fait en disant que, lorsqu'il écrivait ces lignes, Kant n'avait pas encore élaboré la théorie du schématisme. Cependant, dans ce même passage, il parle du rôle de l'imagination, et lui attribue même toutes les synthèses en général (B. 103). 11 est d'autant plus remarquable que dans ce passage il considère le nombre comme le produit d'une synthèse intellectuelle, | et non d'une synthèse Imaginative, et qu'il n'y soit aucunement question de l'intuition (du temps) qui, selon le schémalisme, sert de base ou de matière à cette synthèse*.