L'ALGÈBRE

L'Algèbre.

Kant reconnaît d'ailleurs que la malhémalique n'a pas seulement pour objet des grandeurs concrètes, comme celles qa'étudie la Géométrie, mais aussi la grandeur pure, en faisant abstraction de tout objet; et c'est là, selon lui, Toffice de TAU gèbre (B. 745). 11 semble donc admettre que la grandeur est quelque chose de supérieur aux formes de Tintuition, et par conséquent d'intellectuel; cela dément tout au moins cette assertion, que l'espace et le temps sont les seules grandeurs originaires (R. 753). Mais il essaie de sauver sa doctrine en soutenant que TAlgèbre, elle aussi, procède par construction de concepts; seulement, ce n'est plus une construction « oslensive ou géométrique » qui porte sur les objets, c'est une construction « symbolique » ou « caractéristique », qui porte sur les signes algébriques (B. 745, 762). Il y a là une exagération manifeste : car, en admettant qu'il soit indispensable (et non simplement commode) de représenter les concepts par des signes, on ne peut pas appeler cela une construction de ces concepts, ni en conclure qu'ils sont intuitifs de leur nature. C'est tout bonnement confondre le signe avec la chose signifiée *. On peut représenter même des rapports logiques par des signes analogues aux signes algébriques (dans l'Algèbre de la Logique); il ne s'ensuit pas que ces rapports ne puissent être pensés qu'au moyen de l'intuition. Nous avons vu Kant loimême figurer la composition d'un concept par la formule symbolique a H- 6; faudra-t-il en conclure que cette composition est une synthèse intuitive? Il réfute donc sa propre théorie en la poussant à l'extrême, car, en raisonnant de cette manière, il n'y a aucune notion, aucune relation dont on ne puisse prouver qu'elle est fondée sur l'intuition. Toutes nos idées ne se traduisent-elles pas par des mots, et ces mots sont-ils autre

de totalité » (Critique, § 11; B. 111). Il semble ressortir de là encore que le nombre est un concept purement intellectuel.

1. R. Seydel {pp, cit.) soutient avec raison que Kant confond ici le processus psychique avec le contenu logique, et que les vérités de l'Algèbre portent, non sur les signes, mais sur les idées qu'ils représentent.

chose que des signes visibles ou audibles, qui « construisent » nos idées dans Tespace et dans les temps?

Sans doute, Kant distingue les mots des signes algébriques, en disant qu'en philosophie on ne raisonne pas sur les mots, tandis qu*en Algèbre on raisonne sur les signes et on laisse de côté les objets signifiés jusqu'à la fin du raisonnement ^ Mais il y a ici une confusion d'idées. Il n'esl pas vrai qu'en Algèbre on raisonne sur les signes; on raisonne toujours sur les idées qu'ils représentent; et si Ton peut opérer mécaniquement avec eux, c'est à la condition d'avoir justifié une fois pour toutes les règles formelles des opérations, ce qui ne peut se faire qu'en considérant le sens réel de ces opérations et des signes euxmêmes. Il est vrai qu'en un sens on fi^it abstraction de la nature des objets, mais c'est parce qu'elle est réellement indifférente et étrangère au raisonnement. En Algèbre, on ne s'inquiète pas de savoir si les lettres représentent des nombres entiers ou fractionnaires, de même qu'en Arithmétique (pure, non appliquée) on ne s'inquiète pas de savoir si un nombre représente une collection, ou une longueur, ou un poids, et de même qu'en Géométrie on ne s'inquiète pas de savoir si un solide est en bois ou en métal; ce sont là des abstractions essentielles à chacune de ces sciences, par lesquelles on dépouille les notions qui en sont l'objet spécial de toute immixtion d'éléments étrangers. Mais il n'en résulte pas qu^en Algèbre on fasse abstraction même du nombre général ou de la grandeur, qui en est l'objet propre, et qui est le contenu même des formules algébriques. Lors donc que dans un problème d'Algèbre on fait abstraction de la nature particulière des grandeurs que l'on traite, ce n'est pas pour vider les symboles et les formules de tout contenu, mais pour les réduire à leur contenu essentiel, qui est l'idée de grandeur en général.

Enfin Kant attribue au « calcul littéral » (comme il appelle assez improprement l'Algèbre) une vertu d'infaillibilité toute spéciale, qui serait due à ce qu'on y raisonne uniquement

1. Untei'suchung ilber die Deullichkeit..,, !'• considération, § 2 (1764).

l'algèbre 277

sur des signes sensibles^ qui soulagent la mémoire et Tattention et garantissent contre toute omission et tout oubli. Les mots, au contraire, ne peuvent pas rendre le même service : car on ne peut les manier sans penser plus ou moins à leur senti; et alors on est toujours exposé à confondre ou à altérer leurs significations. Ces avantages du symbolisme algébrique sont réels, mais ils ne constituent pas un argument en faveur de la thèse kantienne ; et la preuve en est qu'ils ont été reconnus par des rationalistes tels que Doscartes et Leibniz. Celui-ci surtout considérait si bien le calcul algébrique comme une méthode dlnfaillibilité, qu'il voulait Tétendre à toute espèce de déduction, et constituer une Caractéristique universelle qui fût un « juge des controverses ». Il vantait, bien plus fortement que Kant, le secours que la pensée tire de Templdi de signes « commodes et appropriés », sans pour cela tomber dans le nominalisme et réduire TAlgèbre, la Mathématique et la Logique elle-même à un pur jeu de symboles dénués de sens. Ce qui fait la supériorité du calcul algébrique sur le raisonnement verbal, ce n*est pas que dans le premier on raisonne sur les signes et dans le second sur les idées; c'est que dans le premier les signes correspondent à des idées claires et bien définies, tandis que dans le second les signes, c'est-à-dire les mots, correspondent à des idées confuses, flottantes et équivoques, que l'usage vulgaire y associe d'ordinaire. Le signe est simplement un moyen d'identifier un concept précis et rigoureusement défini; et le mot rendrait le même service, à la condition que son sens fût lui aussi bien défini, et qu'on ne lui en attribuât jamais d'autre. Il ne faut donc pas attribuer aux signes une vertu quasi mystérieuse qui garantisse sûrement de l'erreur; on commet des fautes de calcul aussi bien que des fautes de raisonnement, ce qui n'empêche pas le calcul, comme le raisonnement, de donner la certitude et d'être théoriquement infaillible. Il est étrange de voir Kant faire consister, comme un simple empiriste, « Tévidence » dans la « certitude intuitive », faire appel au témoignage des « yeux » pour « préserver toutes les déductions de l'erreur », et ne reconnaître comme

démonstrations que celles qui s'appuient sur rintuilîon. Où bien il y a là une simple question de mots, c'est-à-dire une définition nominale et arbitraire du mot démons f ration; ou bien c'est une erreur palpable, car on ne peut nier qu'il n'y ait des démonstrations purement logiques et intellectuelles, et Kant ne serait sans doute pas allé jusqu'à soutenir que la valeur du syllogisme est fondée sur l'intuition.

Les JUGEMENTS GÉOMÉTRIQUES.

Il nous reste à discuter la théorie de Kant au sujet de la Géométrie. S'il y a une science qui paraisse reposer sur l'intuition, c'est bien celle-là, puisque c'est la science de Tespace; aussi bien des mathématiciens-philosophes, qui considèrent l'Analyse comme une science pure et a priori^ regardent-ils la Géométrie comme une science empirique ou du moins intuitive. Cela prouve en tout cas qu'il y a lieu de séparer la Géométrie de la science générale des grandeurs, et qu'on ne peut pas conclure de l'une à l'autre.

Ici encore, c'est par des exemples que Kant essaie d'établir sa thèse. Nous serons donc obligé de les examiner tour à tour. Pour montrer que les jugements géométriques sont synthétiques, il cite cette proposition : « La ligne droite est la plus courte entre deux points. » En effet, dit-il, mon concept de droite ne contient rien de quantitatif, mais seulement une qualité. Le concept quantitatif de « le'plus court » ne peut donc être contenu dans le sujet, ni en être tiré par analyse; il ne peut lui être adjoint que par une synthèse fondée sur lintuition.

Demandons-nous d'abord quelle est pour Kant la valeur méthodologique de la proposition citée : est-ce une définition, un axiome ou un théorème? 11 semble que ce soit un axiome, car il parle de « principe »> (Grundsatz) *. Eh bien! ce n'est

1. On sait que pour Leoerdre celte proposition est la définition de la ligne droite. Il n'en est pas ainsi pour Kant, car il paraît considérer comme définition de la ligne droite cette propriété, qu'il n'y en a qu'une entre deux points donnes (Rerhlslehre, Introduction, § E).