LES JUGEMENTS GÉOMÉTRIQUES

Dullement un axiome, mais un théorème démontrable et démontre *. Ce ne peut pas être un principe, car celte proposition suppose que l'on sait ce qu*est la longueur d'une ligne quelconque. Or la longueur d'une ligne courbe ne peut se définir que dans la Géométrie analytique et infînîtésimale, et elle se déflnit en fonction de la ligne droite. C'est donc par définition que la ligne droite est le prototype ou l'étalon des longueurs. Kant se place au point de vue du sens commun empiriste, qui croit voir la longueur d'une courbe, parce qu'il imagine un fil souple et inextensible appliqué sur cette courbe, puis tendu sous forme de ligne droite. Mais cette intuition n*intcrvient nullement comme principe scientifique en Géométrie, et pour cause : car c'est seulement lorsqu'on a déQni la longueur d'une courbe qu'on peut concevoir clairement qu'un fil conserve sa longueur en se déformant. Par conséquent, tout appel à l'intuition, en cette matière, constituerait un cercle vicieux. *

On ne peut donc pas dire que la ligne droite soit par ellemême et primitivement une quantité; dans tous les cas, du re>:tc, ce n'est pas la ligne droite (illimitée) qui peut être une quantité, c'est le segment fini que l'on découpe sur elle*. On ne peut pas non plus dire que la ligne droite est une qualité, comme le ronge ou le chaud. Tout ce qu'on peut dire, au point de vue do la grammaire (qui est celui de la logique d'Aristote),

1. Nous avons déjà traité celte question dans la Revue de Métaphysique, t. 1, p. n (janv. 1893). Pour démontrer que la ligne droite est plus courte que toute ligne brisée ayant les mêmes extrémités, on démontre que, dans un triangle, un côté quelconque est plus petit que la somme des deux autres. Ce théorème, à son tour, repose sur celui-ci : Dans un triangle, à un plus grand angle est opposé un plus grand côté. Et celui-ci enfin dérive de cet autre : Dans un triangle, un angle extérieur est plus grand que chacun des angles intérieurs non adjacents, lequel est indépendant du postulatum d'Euclide (V. Niewenolowski et Gérard, Cours de Géométrie élémentaire, t. 1, p. 27, 31,32. Paris, Naud, 1898). Tous ces théorëmf's se démontrent, non par un simple appel à Tintuition, mais par les délinitions de l'inégalité et de la somme des segments et des angles. Que ces défitiitions impliquent des éléments intuitifs, ce n'est pas là présentement la question; il suffit que, ces définitions une fois posées, toutes les propositions énoncées s'en déduisent logiquement.

2. ZiiiiiKRMA.xN (op. ciY.)a déjà observé que ce n'est pas la droite tout entière qui est la plus courte, mais bien la partie de droite comprise entre deux points. C'est ce qu'on appelle aujourd'hui segment

c*est que la rectitude est une qualité, et que la droite est le sujet de celle qualité. Mais, à vrai dire, ces « catégories » scolastiques n'ont pas de sens, appliquées aux entités géométriques. En réalité, la ligne droite est une figure : au point de vue projectif (qu'on peut appeler, si Ton veut, qualitatif) et considérée dans sa totalité, elle est absolument infinie, elle comprend tous les points situés sur sa direction. Elle n*est pas une grandeur; mais elle devient le support d^une série de grandeurs (les longueurs) lorsque Ton y fixe des points, et qu'on définit enlre eux certaines relations appelées distances. On dira, par exemple, que, si le point B est entre A et C, la distance AG est plus grande que les distances AB et BG, et qu'elle est leur somme. Moyennant ces définitions de Tinégalilé et de la somme, les distances deviennent des grandeurs mesurables. Y a-t-il là une « synthèse » de la qualité et de la quantité? Nous n'en savons rien; il y a là simplement la définition d'une espèce de grandeurs. Toujours est-il que celte grandeur ne caractérise pas la ligne droite comma telle : ce n'est pas de la ligne droite tout entière^ dans son inGnité et son unité indivise, qu'on peut dire qu'elle est u la plus courte * »> ; c'est seulement d'un segment de droite limité par deux points^. Et quand on dit que ce segment est plus court que toute ligne brisée yant les mêmes extrémités, on compare, au fond, un segment de druite à un autre segment de droite, et l'on afûrme que le premier est ou peut être contenu dans le second. La relation d'inégalité [plus grand que) se trouve donc définie par la relation de tout à partie, et le théorème en question n'est qu'une application de cette proposition : a Le tout est plus grand que la partie », que Kant considérait comme un principe, et même comme un principe analytique. Ainsi, lorsque

1. Aussi cel axiome on postulat : « Toute ligne droite peut être prolongée », que Kant considère comme synthétique, est-il au contraire tout ce qu'il y a de plus analytique : car la ligne droite doit être conçue primitivement dans sa totalité infinie. La conception vulgaire de la dmile comme limitée a évidemment une origine empirique et pratique qui lui ôte toute valeur scientifique.