Aux philosophes {particulièrement au

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!ns) qui seraient lenlés

de considérer les tiéfinitions comme des ji

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M. Fheob, citée p. 41, note 1.

METHODOLOGIE 41

nolions indélioissables : et ii y a (jiieique contradiction, au moins verbale, à dire qu'on les définit par les posluïats. Ce n'est pasià une vraie dérmilion, puisque cela suppose l'absence d'une définition (formelle et explicite). Ce qu'il faut dire, c'est qu'un ensemble de postulats détermine le sens des symboles non définis qui y figurent. Et encore, il ne le détermine que dans une certaine mesure ; car, nous l'avons déjà dit, un même système de poslnlats peut être vérifié par plusieurs interprétations assignées aux symboles non définis. Il en est de la Logique comme de l'Algèbre : un système de postulats est analogue à un système d'équations entre plusieurs inconnues; il peut délerminer la valeur de ces inconnues, et encore, d'une manière équivoque, s'il admet plusieurs solutions (voire une infinité) ; mais il peut aussi les laisser plus ou moins indéterminées. Pour savoir si vraiment ii détermine les inconnues, c'est-à-dire le sens des symboles non définis, il faudrait pouvoir le résoudre par rapport à ces symboles, c'est-à-dire en extraire leur valeur ou leur expression en fonction des tei-mes connus : mais alors on aurait la définition esplicile de chacun d'eux. Ainsi une définition par postulats ne peut être considérée que comme provisoire, et doit être finalement remplacée par un ensemble de définitions explicites; elle constitue un problème dont celles-ci forment la solution '.

Dans le cas où un ensemble de postulats ne contient qu'une seule notion première, il est facile d'en extraire la définition explicite de celle-ci : il suffit de dire que cette notion est telle qu'elle vérifie cet ensemble de postulats (ce qui s'énonce formellement au moyen du symbole s) ^. Hais il faut ensuite

4. Ainsi s'explique qu'on ait pu dire de certains des déiiaitions déguisées ou des parties de déllniltons. Mais il ne faut jamais oublier la distinction absolue des définitions et des principes. Citons à ce propos une remarque de M. G. Fheoe : Si les axiomes pouvaient rentrer dans les définitions, l'argument ontologique serait justifié: on pourrait dire que Dieu existe par définition (Ueber die G'-undlagen der Géométrie, ap, Jahreitxii-ieht der dealscken Maihematiker-Vereinigung, t. XII, p. 371; 1903).

2. C'est, nous le verrons, ce qui a lieu pour la définilior^ lie la gran-

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démontrer l'existence et runicilê de cette notion, comme pour toute autre définition explicite.

Une autre espèce de définition implicite est la définition par abUraclion. Elle s'applique totijoui's à une fonction (mathématique ou logique), et consiste à dire dans quels cas celte fonction est égale à elle-même (pour des valeurs différentes de la variable), c'est-à-dire a quelle condition on a i'égalitc formelle :

'j étant la fonction à définir. La notion de la fonction o se dégage en quelque sorte par ubslraclion de la considération des divers cas qui correspondent à une même valeur. Ce procédé de définition est très fréquemment employé en Mathématique : toutes les fois, par exemple, que, pour définir une espèce de grandeurs, on indique les conditions d'égalité de deux grandeurs de cette espèce '. Mais une telle définition est évidemment fort imparfaite, et doit être remplacée, autant que possible, par une définition explicite. Or la Logique des relations fournit le moyen de transformer une définition par abstraction en une définition explicite. Une définition par ■ibslraction a la forme suivante :

« Quels que soient les individus x, ij d'une certaine classe k, l'égalité ojr:^^;/ équivaut à une certaine relation R entre X et 'j. »

Or la relation R est symétrique et transitive par hypothèse, sans quoi elle no pourrait pas servir à définir une égalité (qui jouit des mêmes propriétés formelles). Donc, en vertu du pHncipe d'abstraction, il existe une relation unifornie S entre chacun des individus x, y et un même terme ;, de telle sorte que :

.£ l! ij .=^ .X Hz . y S z

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C'est ce terme ~ qui est désigné par o J^, 9 'j, etc., et qui est la i< propriété commune » à x, //, etc. On peut le délioir comme le conséquent de la relation S, et déiînîi' la fonction tf au moyen de la relation 5. Ainsi les définitions par ahslraction proviennent simplement d'une insuffisante analyse logique, et disparaissent devant la Logique des relations.

En résumé, les seules déflnitions véritables sont les définitions nominales et explicites; les définitions implicites ne sont que provisoires, et doivent se ramener à ceiles-là.